曲线和曲面上的积分

1. 曲线和曲面上的积分 曲面积分 1.曲面上的测度

2. 曲面积分 • 曲面表示和曲面上的测度 • 第一型曲面积分(质量) • 第二型曲面积分(流量)

3. 曲面的映射观点定义 • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1) • 若连续,称S=([a,b])为 Rn中的连续超曲面 • 若具有一阶连续导数, 且t[a,b],(t)满秩, 称S= ([a,b])为 Rn中的k维光滑超曲面; 若是单射, S= ([a,b])为 Rn中的k维正则超曲面 • 若连续,且存在[a,b]可以分成m个内部不相交的闭区域Wj, Lj=(Wj)是k维光滑(正则)超曲面,称S=([a,b])为 Rn中的k维分片光滑(正则)超曲面

4. 曲面的集合观点定义 • 设SRn, 若存在: [a,b] Rk Rn, 有S= ([a,b]) • 若连续, 就称S为Rn中的一个连续超曲面, 称为S的一个表示 • 若光滑且导数点点不为零, 就称S为Rn中的k维光滑超曲面, 称为S的光滑表示 • 若光滑,单射且导数点点不为零, 就称S为 Rn中的一条正则曲面, 称为S的正则表示

5. 同一超曲面可以有不同的表示 • 同一超曲面可以有不同表示： • 集合观点下的正则超曲面一定有非正则的表示; • 几何上正则的超曲面未必有正则表示; • 几何上非正则的超曲面一定没有正则表示 • 在下面的讨论中, 我们总假设 • 连续, • S是正则或分片正则超曲面,是其相应的表示 • 因此将对超曲面的两种观点统一

6. 超曲面的分类 • 设: [a,b] Rn (n2), 连续 • 若是单射,称L=([a,b])为Rn中的简单曲面 • Rn中的闭超曲面：？？ • Rn中的简单闭超曲面：不带边的紧流形

7. 超曲面的方向(定向) • 可定向曲面(双侧曲面) • 不可定向曲面(单侧曲面)

8. 正则超曲面面积的定义 • 设[a,b]Rk, :[a,b] Rn(nk+1), 正则,S=([a,b]), 定义S的k维面积 为 其中上标T表示矩阵的转置

9. 对超曲面面积公式的说明 • 面积公式的推导 • Rn中k维平行2k面体的体积计算 • 用切超平面块近似超曲面面积 • n-1维超曲面的面积公式 • 由参数方程给出的曲面体积公式 • 由函数图像给出的曲面体积公式

10. Rn中k维平行2k面体的体积 • 设E是由Rn中k个线性无关向量V1,V2,…,Vk所张成的平行2k面体, 由Schmidt正交化方法得到与其等体积的直角平行2k面体E0, 张成E0的k个向量是a1,a2,...,ak两组向量间的关系

11. 平行2k面体的体积(续1) • 体积公式: |E|=|E0|=|a1|•|a2|•…•|ak|也就是 • 也就是

12. 平行2k面体的体积(续2) • 由此就得到 其中 注意Vj都是列向量.

13. 平行2k面体体积公式解释 • Binet-Cauchy公式: 设A=(aij)nk, B=(bij)nk, 则 • 对这个公式的解释: Rn中的平行2k面体的体积的平方等于其在 Rn中所有k维坐标面中投影的平方和(一般勾股定理)

14. 用切超平面块近似超曲面面积 • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1),正则, S= ([a,b]). 下面按微元法给出超曲面的面积公式: 任取[a,b]的一个分法W: W1,…,Wm. Sj=(Wj), j= 1, …,m. 取tjWj, 用 近似Sj的体积, 然后求和-取极限就得到公式.

15. n-1维超曲面的面积公式(1) • 由参数方程给出的曲面体积公式: • 设[a,b]Rn-1, : [a,b]  Rn (nk+1) , 正则, S=([a,b]). 此时, 习惯上有下面的记法 其中e表示第i个元素标准基向量ei的列向量

16. n-1维超曲面的面积公式(2) • 由函数图像给出的曲面体积公式: • 函数图像公式[a,b]Rn-1, g: [a,b]  R, (t)=(t, g(t)), S=([a,b])

17. 正则超曲面上的测度 • 设[a,b]Rk,: [a,b] Rn (nk+1),正则, S= ([a,b]). ES, 如果-1(E)是[a,b]的可测集, 就说E是S的可测集,其测度定义为