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1. 向量运算

复习. 设. 1. 向量运算. 加减 :. 数乘 :. 点积 :. 叉积 :. //. 混合积 :. 2. 向量关系 :. 共面. 第三节. 曲面及其方程. 一、曲面方程的概念. 二、旋转曲面. 三、柱面. 四、二次曲面. 一、曲面方程的概念. 引例 :. 求到两定点 A (1,2,3) 和 B (2,-1,4) 等距离的点的. 轨迹 方程. 解 : 设轨迹上的动点为. 由 得. 化简得. 说明 : 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程 ,.

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1. 向量运算

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  1. 复习 设 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:

  2. // 混合积: 2. 向量关系: 共面

  3. 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面

  4. 一、曲面方程的概念 引例: 求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 由 得 化简得 说明:动点轨迹为线段AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.

  5. 曲面的实例： 水桶的表面、球的外表面等． 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：

  6. 两个基本问题 : 求曲面方程. (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹, (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

  7. 距离为R的轨迹 例1. 求动点到定点 方程. 依题意 解:设轨迹上动点为 即 故所求方程为 特别地,当M0在原点时,球面方程为 表示上(下)球面.

  8. 表示怎样 例2.研究方程 的曲面. 解:配方得 可见此方程表示一个球面 半径为 球心为 说明:如下形式的三元二次方程( A≠ 0 ) 其图形可能是 都可通过配方研究它的图形. , 或点 , 或虚轨迹. 一个球面

  9. 设 是曲面上任一点 解 根据题意有 所求方程为

  10. 设 是所求平面上任一点， ，求线段 的垂直 例4 已知 平分面的方程. 解 根据题意有 化简得所求方程

  11. 去截图形得圆： 用平面 当平面 上下移动时，得到一系列圆 图形上不封顶，下封底． 半径随 的增大而增大. 例5.方程的图形 解 根据题意有 圆心在 ，半径为 以上方法称为截痕法.

  12. 二、旋转曲面 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 定义 这条定直线叫旋转 曲面的轴．

  13. 建立yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程: 给定yOz面上曲线C: 若点 则有 当绕z 轴旋转时, 该点转到 则有 故旋转曲面方程为

  14. 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？

  15. 例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方

  16. 分别绕x 例7.求坐标面 xOz上的双曲线 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕x轴旋转 所成曲面方程为 绕z轴旋转 所成曲面方程为 这两种曲面都叫做旋转双曲面.

  17. x x o z z y o y 1）xOz 面上双曲线 分别绕 轴和 轴； 轴旋转 绕 旋转双叶双曲面

  18. z z y y o o x x 2）xOz 面上双曲线 分别绕 轴和 轴； 轴旋转 绕 旋转单叶双曲面

  19. z z y y x x 3）yOz面上椭圆 分别绕 轴和 轴； 绕 轴旋转 旋转椭球面 绕 轴旋转

  20. z z y y o o x x 3）yOz面上抛物线 绕 轴 旋转抛物面

  21. 三、柱面 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线. 定义 观察柱面的形成过程:

  22. 柱面举例： 平面 抛物柱面 平面方程： 抛物柱面方程：

  23. 一般地,在三维空间 O O 柱面, 母线 平行于z轴; 准线 xOy面上的曲线 l1. 柱面, 母线 平行于 x轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2. 柱面, 母线 平行于y轴; 准线 xOz面上的曲线 l3.

  24. 从柱面方程看柱面的特征： 母线// 轴 椭圆柱面， 实 例 母线// 轴 双曲柱面， 母线// 轴 抛物柱面，

  25. 四. 二次曲面 三元二次方程 (二次项系数不全为 0 ) 的图形统称为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 下面仅 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 就几种常见标准型的特点进行介绍 .

  26. 1. 椭球面 (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆

  27. 讨论二次曲面形状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌． 与 的交线为椭圆： (3)截痕: 的截痕 及 同样 也为椭圆.

  28. 由椭圆 绕 轴旋转而成． 与平面 的交线为圆. 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 方程可写为 旋转椭球面与椭球面的区别：

  29. 截面上圆的方程 圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 球面 方程可写为

  30. 设 (1) 用坐标面 与曲面相截 （ 与同号） 截得一点，即坐标原点 2. 椭圆抛物面 椭圆抛物面 用截痕法讨论： 原点也叫椭圆抛物面的顶点.

  31. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. （2）用坐标面 与曲面相截 与平面的交线为椭圆. 截得抛物线

  32. 它的轴平行于 轴. 顶点 （3）用坐标面 与曲面相截 同理当 时可类似讨论. 与平面 的交线为抛物线. 均可得抛物线.

  33. z z o y x y o x 椭圆抛物面的图形：

  34. （由 面上的抛物线 绕z 轴旋转而成） 与平面 的交线为圆. 当 变动时，这种圆的中心都在 轴上. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面

  35. z 设 （ 与 同号） o y x 3. 双曲抛物面（马鞍面） 双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论： 图形如下：

  36. （1）用坐标面 与 曲面相截截得中心在原点 的椭圆. 4. 单叶双曲面 单叶双曲面

  37. 当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上. （2）用坐标面 与曲面相截 实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合. 与平面 的交线为椭圆. 截得中心在原点的双曲线.

  38. z y o x （3）用坐标面 ，与曲面相截 均可得双曲线. 单叶双曲面图形

  39. z y o x 5. 双叶双曲面 双叶双曲面

  40. 6. 椭圆锥面 椭圆锥面 请同学们自己用截痕法 研究其形状.

  41. z o y x 双叶： 渐进锥面： 单叶：

  42. z O y x 8. 双曲柱面 7. 椭圆柱面

  43. 9. 抛物柱面

  44. 小 结 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线). 二次曲面： 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面

  45. （ 与同号） （ 与同号） 椭球面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 椭圆抛物面 双曲抛物面（马鞍面）

  46. 思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

  47. 思考与练习 1. 指出下列方程的图形: 方 程 平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 yOz 面的平面 平行于 y轴的直线 圆心在(0,0) 以 z 轴为中心轴的圆柱面 半径为 3 的圆 平行于 z轴的平面 斜率为1的直线

  48. 思考题 方程 表示怎样的曲线？

  49. 思考题解答 表示双曲线.

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