บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion)

บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion)

ตัวอย่างที่ 6.1 Rotating wheel วงล้ออันหนึ่งมีการหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่เท่ากับ 3.5 rad/s2 ถ้าอัตราเร็วเชิงมุม ของวงล้อคือ 2.00 rad/s ณ เวลา ti = 0 จงหาว่า (a) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะหมุนได้มุมเท่าไร (b) เมื่อวงล้อหมุนไป ณ. เวลา t = 2 s วงล้อจะมีอัตราเร็วเชิงมุมเท่าไร วิธีทำ (a) จากสูตร หรือ

(b) จากสูตร

ตัวอย่าง 10.2 CD player บนแผ่น CD ข้อมูลของเสียงจะถูกบันทึกลงในร่องและผิวเรียบบน CD ในรูปของเลขฐานสอง เมื่อมีการอ่านโดยเครื่องเล่น CD ข้อมูลจะถูกแปลกลับไปเป็นคลื่นเสียง ร่องและพื้นที่เรียบ ที่มีความยาวเท่ากันจะถูกอ่านโดยเลเซอร์และเลนส์ เพื่อให้เวลาในการอ่านสัญญาณแต่ละ สัญญาณมีค่าเท่ากันทั่วทั้งแผ่น ๆ อัตราเร็วเชิงเส้นของแผ่น ณ ตำแหน่งที่ผ่านเลเซอร์ จะต้อง มีค่าคงที่ ดังนั้นอัตราเร็วเชิงเส้นจะต้องมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อระบบเลเซอร์มีการเปลี่ยนตำแหน่ง ตามแนวรัศมีถ้าแผ่น CD มีการหมุนทวนเข็มนาฬิกาและมีความเร็วของพื้นผิวที่ตำแหน่ง เลเซอร์เป็น 1.3 m/s รูปที่ 6.6 A compact disk

(a) จงหาว่าอัตราเร็วเชิงมุมของแผ่นดิสก์เป็นกี่รอบต่อนาทีเมื่อเริ่มต้นอ่านจาก track ด้านใน ซึ่งมี r = 23 mm ออกไปยัง track ด้านนอกที่มี r = 58 mm วิธีทำ ใช้สมการ 6.10 เราสามารถหาอัตราเร็วเชิงมุมได้ สำหรับ track ด้านใน จำนวนรอบต่อนาที =

สำหรับ track ด้านนอก จำนวนรอบต่อนาที = เครื่องเล่นจะต้องปรับอัตราเร็วเชิงมุมให้อยู่ในช่วงนี้ โดยถ้าอัตราเร็วเชิงมุมเป็นบวก ดิสก์จะเคลื่อนที่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

(b) ถ้าเวลามาตรฐานในการเล่น CD คือ 77 นาที 33 วินาที ดิสก์จะเคลื่อนที่ได้กี่รอบ วิธีทำ เราพบว่าอัตราเร็วเชิงมุมมีค่าลดลงสมมติว่าให้ลดลงด้วยค่าคงที่ a ในช่วงเวลาทั้งหมด t โดยกำหนดให้ตำแหน่งเชิงมุม(angular position ) qi = 0 และพิจารณา ที่ qf ใช้สมการ 6.3 ในการคำนวณ แทนอัตราเร็วเชิงมุมเฉลี่ย ด้วย ด้วย

(c ) จงหาความยาวของ track ที่เคลื่อนที่ผ่าน เลนส์ในช่วงเวลา 4473 s วิธีทำ เราทราบความเร็วเชิงเส้นซึ่งคงที่ และช่วงเวลาที่ใช้ทำให้สามารถคำนวณความยาว track ได้โดยตรง

ตัวอย่าง 6.3 The oxygen molecule พิจารณาโมเลกุลออกซิเจน O2 ในระนาบ xy หมุนรอบแกน Z ซึ่งผ่านจุดศูนย์กลาง ของโมเลกุลตั้งฉากระหว่างระยะทางระหว่างออกซิเจนทั้งสองมวลอะตอมของออกซิเจนเท่ากับ 2.66 x 10-26 kg ที่อุณหภูมิห้องระยะห่างระหว่างอะตอมออกซิเจนคือ d = 1.21x 10-10 (พิจารณา อะตอมให้เป็นจุด) (a) จงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของโมเลกุลรอบแกน z วิธีทำ เพราะว่าระยะห่างระหว่างแกน Z และอะตอมคือ d/2 ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยคือ

(b) ถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของโมเลกุลรอบแกน Z คือ 4.60 x 1012 พลังงานจลน์ของการหมุน มีค่าเท่าไร วิธีทำ โดยการใช้ค่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้จากการคำนวณและสมการที่ 6.16 จะได้ว่า

ตัวอย่าง 6.3 Four rotating masses ทรงกลมเล็ก ๆ 4 อันยึดติดกับมุมทั้งสี่ของกรอบ วางตัวอยู่ในระนาบ xy ดังรูป 6.8 โดยสมมุติว่าทรงกลมมีรัศมีน้อยมากเมื่อเทียบกับขนาดของกรอบ รูป6.8 ทรงกลม 4 ลูกยึดที่ตำแหน่งต่าง ๆดังรูป โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ ขึ้นอยู่กับแกนที่ พิจารณา

(a) ถ้าระบบหมุนรอบแกน y ด้วยอัตราเร็วเชิงมุม w จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์ ของการหมุนรอบแกนนี้ วิธีทำ พิจารณาทรงกลมมวล m สองอันซึ่งอยู่บนแกน y จะไม่เป็นส่วนประกอบของ Iy ( ri = 0 สำหรับทรงกลมมวล m รอบแกน y) จากสมการที่ 6.15 จะได้ว่า ดังนั้นพลังงานจลน์ของการหมุนรอบแกน y คือ

จะเห็นว่าการที่มวล m ไม่ปรากฏอยู่ในคำตอบ เพราะว่ามันไม่ได้เกิดการหมุนรอบ แกน y ดังนั้นมันจึงไม่มีพลังงานจลน์เนื่องจากการหมุน ในกรณีที่คล้ายกันเราคาดเดาได้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x คือ พลังงานจลน์เนื่องจากการหมุนรอบแกน x (b) สมมุติว่าระบบหมุนในระนาบ xy ผ่านจุด O ( แกน z ) จงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยและ พลังงานจลน์ในการหมุนรอบแกนนี้ วิธีทำ เพราะว่า ri ในสมการที่ 6.15 คือระยะทางตั้งฉากกับแกนหมุนจะได้ว่า

เปรียบเทียบผลที่ได้จากข้อ (a) และ (b) เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยและพลังงานจลน์ ในการหมุนซึ่งมีอัตราเร็วเชิงมุมเดียวกันขึ้นอยู่กับแกนของการหมุนในข้อ (b) เราคาดว่าผลที่ ได้เกิดจากทรงกลมและระยะทางทั้งสี่ เพราะว่าทรงกลมทั้งสี่หมุนในระนาบ xy นอกจากนี้ พลังงานจลน์ในการหมุนในข้อ (a) จะมีค่าน้อยกว่าในข้อ (b) แสดงให้เห็นว่ามันใช้งาน ในการทำให้ระบบหมุนรอบแกน y น้อยกว่าการทำให้ระบบหมุนรอบแกน z

ตัวอย่าง 6.5 Uniform hoop จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของห่วงเอกรูปมวล M รัศมี R ซึ่งหมุนรอบแกน ซึ่ง ตั้งฉากกับระนาบและผ่านจุดศูนย์กลางของห่วงเอกรูปดังรูป 6.9 รูปที่ 6.9 มวลเล็ก ๆ dm ของห่วงเอกรูปซึ่งมี ระยะห่างจากจุด O เท่ากัน

วิธีทำ มวลเล็ก ๆ dm ทุกชิ้นอยู่ห่างจากแกนหมุนเป็นระยะทาง r = R โดยการใช้สมการ 6.17 ในการคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน z ซึ่งผ่านจุด O จะได้ว่า นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าเท่ากันสำหรับอนุภาคเดี่ยวมวล M ซึ่งอยู่ห่างจากแกนหมุน เป็นระยะทาง R

ตัวอย่างที่ 6.6 Uniform rigid rod จงคำนวณหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งแข็งเกร็งเอกรูป มีความยาว L มวล M ดังรูป 6.10 รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งแข็งเกร็งเอกรูป (แกน y) และผ่านจุดศูนย์กลางของมวล รูปที่ 6.10 แท่งแข็งเกร็งเอกรูปความยาว L โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน y จะน้อยกว่า รอบแกน y/

วิธีทำ ส่วนที่แรเงา dx มีมวล dm ซึ่งมีค่าเท่ากับมวลต่อหนึ่งหน่วยความยาว l คูณกับ dx แทนค่า dm ลงในสมการ 6.17 เมื่อ r = x จะได้ว่า

ตัวอย่าง 6.7 Uniform solid cylinder ทรงกระบอกแข็งเอกรูปมีรัศมี R มวล M และมีความยาว L จงคำนวณโมเมนต์ ความเฉื่อยรอบแกนกลาง (แกน z ) ดังรูป 6.11 รูปที่ 6.11 แสดงการหาค่า I รอบแกน z สำหรับทรงกระบอกตันที่สมมาตร วิธีทำ เพื่อความสะดวก จะทำการแบ่งทรงกระบอกออกเป็นชั้นทรงกระบอก จำนวนมาก ซึ่งมีรัศมี r ความหนา dr มีความยาว L ดังรูป 6.11 ปริมาตร dV ของชั้นทรงกระบอก คือค่า ภาคตัดขวางคูณกับความยาวของมัน ถ้ามวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรคือ r มวลของความแตกต่างของปริมาตรของชั้นทรงกระบอกคือ แทนสูตรนี้ลงในสมการ 6.17

เพราะว่าปริมาตรรวมของทรงกระบอกคือ เราพบว่า แทนค่า r ลงในสมการข้างบนจะได้ว่า (1) จะพบว่าผลที่ได้ไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของทรงกระบอก L

ตัวอย่างที่ 6.8 การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน พิจารณาแท่งวัตถุแข็งเกร็งเอกรูป มวล M ความยาว L ดังรูป 6.10 จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของ แท่งรอบแกนซึ่งตั้งฉากกับแท่งซึ่งผ่านปลายด้านหนึ่ง (แกน y/ ในรูปที่ 6.10) วิธีทำ เราคาดว่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่ปลายแท่งจะมีค่ามากกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยที่จุดศูนย์กลาง มวล จากรูป 6.10 ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลและแกนหมุนคือ D = L/2 Questionจงคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งซึ่งหมุนรอบแกนตั้งฉากซึ่งผ่านจุด x =L/4 ตอบ

ตัวอย่าง 6.9 The net torque on a cylinder ทรงกระบอกชิ้นหนึ่งลักษณะดังรูป 6.14 มีส่วนของแกนโผล่ออกมาจากทรงกระบอก ใหญ่ ทรงกระบอกหมุนอย่างอิสระรอบแกนกลาง มีเส้นเชือกคล้องรอบทรงกระบอกรัศมี R1 ออกแรง กระทำไปทางขวาของทรงกระบอก ออกแรง กับเส้นเชือกที่คล้องอยู่ที่แกนซึ่งมี รัศมี R2 ในแนวดิ่ง (a) ทอร์กสุทธิที่กระทำต่อทรงกระบอกรอบแกนหมุน ( แกน z ) มีค่าเท่าไร รูปที่ 6.14 ทรงกระบอกแข็งหมุนรอบแกนหมุน z ซึ่ง ผ่านจุด O แขนโมเมนต์ของ คือ R1 และ แขนโมเมนต์ ของ คือ R2

วิธีทำ ทอร์กที่เกิดจากแรง คือ ( เครื่องหมายเป็นลบหมายความว่าทอร์กทำให้เกิด การหมุนตามเข็มนาฬิกา)ทอร์กที่เกิดจากแรง คือ (เครื่องหมายเป็นบวกหมายความว่า ทอร์กทำให้เกิดการหมุนทวนเข็มนาฬิกา) ดังนั้นทอร์กรวมรอบแกนหมุนคือ สมมุติว่าแรงที่กระทำมีค่าเท่ากัน ทอร์กสุทธิมีค่าเป็นบวกเพราะว่า R1 > R2 ถ้าระบบ เริ่มแรกหยุดนิ่งแล้วออกแรงทั้งสองกระทำต่อระบบทรงกระบอกจะหมุนตามเข็มนาฬิกาเพราะว่า แรง ทำให้เกิดผลการหมุนมากกว่าแรง

ตัวอย่าง 6.11 ทรงกลมกลิ้งลงจากพื้นเอียง จากรูปที่ 6.5 ทรงกลมตันกลิ้งลงจากพื้นเอียงจงคำนวณอัตราเร็วเชิงเส้นของศูนย์กลาง มวลที่จุดต่ำสุดของพื้นเอียง และขนาดของอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล วิธีทำ ทรงกลมมีจุดเริ่มต้นอยู่ที่ส่วนบนสุดของพื้นเอียงมีพลังงานศักดิ์ พลังงานจลน์ K= 0 ถ้าทรงกลมตกลงมาในแนวดิ่งจะพบว่าอัตราเร็วเชิงเส้นก่อนที่มันจะ กระทบพื้น คือ ภายหลังกลิ้งลงจากพื้นเอียงอัตราเร็วเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล จะน้อยกว่าค่านี้เพราะว่า พลังงานศักย์ ในตอนเริ่มต้นจะเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ในการหมุนมากกว่าพลังงานจลน์ใน การเคลื่อนย้ายสำหรับทรงกลมตันเอกรูป (ตาราง 6.2) จากสมการที่ 6.27 จะได้ว่า

ซึ่งค่าที่ได้น้อยกว่า ในการคำนวณอัตราเร่งเชิงเส้น ของจุดศูนย์กลางมวล โดยที่ระยะขจัดในแนวดิ่งจะสัมพันธ์กับระยะขจัด x ในแนวพื้นเอียงโดยใช้สมการ ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า เปรียบเทียบกับสูตรทางกลศาสตร์ เราจะพบว่าอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลาง มวลคือ

คำตอบที่ได้แสดงให้เห็นว่า อัตราเร็ว และอัตราเร่งเชิงเส้นของจุดศูนย์กลางมวล ไม่ขึ้นอยู่กับมวลและรัศมีของทรงกลม นั่นคือทรงกลมตันเอกรูปใด ๆ จะมีอัตราเร็วและอัตรา เร่งเชิงเส้นเดียวกันบนพื้นเอียงเดียวกัน สำหรับทรงกลมกลวง,ทรงกระบอกตัน ,ห่วงวงกลม จะได้ผลการคำนวณที่คล้ายกัน โดยจะมีความแตกต่างกันตรงค่า ค่าคงที่ในสูตร vCM และ aCM ขึ้นอยู่กับค่าโมเมนต์ ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่มีรูปทรงต่าง ๆ กัน โดยในทุก ๆ กรณีอัตราเร่ง ของจุดศูนย์กลางมวลจะน้อยกว่าค่า ซึ่งเป็นค่าอัตราเร่งที่ได้ในกรณีที่พื้นเอียงไม่มีความ ฝืดและไม่มีการกลิ้งเกิดขึ้น

ตัวอย่าง 6.12 การกลิ้งของทรงกลม ในส่วนนี้จะใช้วิธีทางกลศาสตร์ในการหาคำตอบจากตัวอย่างที่ 6.11 แสดงแผนภาพ ของทรงกลมอิสระในรูปที่ 6.22 รูปที่ 6.22 ทรงกลมตันกลิ้งลงมาจากพื้นเอียง

วิธีทำ ใช้กฎข้อที่สองของนิวตันกับจุดศูนย์กลางมวล (1) เมื่อวัด x ในแนวพื้นผิวของพื้นเอียง ต่อไปทำการหาทอร์คที่กระทำต่อทรงกลม โดยเลือกแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลางของ ทรงกลมและตั้งฉากกับระนาบของรูป เนื่องจาก n และ Mg ผ่านจุดศูนย์กลางมวล มันจึงมีแขน โมเมนต์ เป็นศูนย์รอบแกนหมุนนี้ ดังนั้นจึงไม่ทำให้เกิดทอร์ค อย่างไรก็ตามแรงเสียดทาน f จะเป็นตัวทำให้เกิดทอร์ครอบแกนหมุนซึ่งมีค่าเท่ากับ fR ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา

เพราะว่า และ จะได้ว่า (2) แทนค่าสมการ (2) ลงใน (1) ซึ่งให้ผลสอดคล้องกับตัวอย่างที่ 6.11 สูตร จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อแรง ที่กระทำกับ ทรงกลมเป็นแรงสุทธิ จากภายนอก และ a คืออัตราเร่งของจุดศูนย์กลางมวล ในกรณีที่ ทรงกลมกลิ้งลงมาตามพื้นเอียงแรงเสียดทาน ไม่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์รวม ของทรงกลมแรงเสียดทานที่รวมอยู่ใน และทำให้อัตราเร่งของจุดศูนย์กลางมวลมีค่าลดลง

ตัวอย่างที่ 6.4 การเคลื่อนที่เป็นวงกลม อนุภาคตัวหนึ่งเคลื่อนที่ในระนาบ xy ในเส้นทางวงกลมรัศมี r ดังรูปที่ 6.11 รูปที่ 6.27 อนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี r มีขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมรอบจุด O เท่ากับ มีทิศพุ่งออกจากแผนภาพ

(a) จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมที่สัมพัทธ์กับจุด O เมื่ออนุภาคมีความเร็วเชิงเส้น v วิธีทำ เนื่องจากโมเมนตัมเชิงเส้นของอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา (ขนาดไม่เปลี่ยนแต่ ทิศทางเปลี่ยน ) ขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม เมื่อ ตั้งฉากกับ มีค่าดังนี้ จะเห็นว่าขนาดของโมเมนตัมเชิงมุม มีค่าคงที่เนื่องจากเทอมทางซ้ายมือมีค่าคงที่และทิศทาง ของ คงที่ด้วย โดยการพิจารณาทิศของโมเมนตัมเชิงมุม ซึ่งมีทิศเปลี่ยนตลอดเวลา และถ้าเราเลื่อนให้หาง ต่อกับหางของ จากสูตร เนื่องจาก มีทิศทางเดียวกับ ใช้ กฎมือขวาในการหาทิศของ โดยนิ้วทั้งสี่วนรอบจาก ไปยัง จะพบว่า มีทิศพุ่งออกจาก ระนาบ xy หรืออาจเขียนว่า และถ้าอนุภาคเคลื่อนที่ตามเข็มนาฬิกา มีทิศพุ่งเข้า ระนาบ xy

Question รถมวล 1500 kg เคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเชิงเส้น 40 m/s เป็นวงกลมรัศมี 50 m โมเมนตัมเชิงมุม สัมพัทธ์กับจุดศูนย์กลางการเคลื่อนที่ของรถมีค่าเท่าใด

ตัวอย่างที่ 6.15 ลูกโบลิ่ง จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของลูกโบลิ่งมวล 6 kg รัศมี 12 cm ซึ่งหมุน 10 รอบ/s ดังรูปที่ 6.29 รูปที่ 6.29 ลูกโบลิ่งหมุนรอบแกน z ในทิศทางดังรูปมี โมเมนตัมเชิงมุม ในทิศทางบวก z ถ้ากลับทิศการหมุน จะชี้ในทิศทางลบ z

วิธีทำ จากตารางที่ 6.2 บอกให้เราทราบว่าลูกโบลิ่งทรงกลมตันมีโมเมนต์ความเฉื่อยดังนี้ ดังนั้นขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมคือ

ตัวอย่าง 6.16 แท่งแข็งเกร็งที่เกิดการหมุน แท่งแข็งเกร็งมวล M ยาว l ติดอยู่กับเดือยที่ไม่มีความเสียดทาน ที่จุดกึ่งกลางของมัน ดังรูปที่ 6.30 อนุภาคมวล m1 และ m2 ติดอยู่ที่ปลายทั้งสองของมัน แท่งและมวลทั้งสอง หมุนในแนวดิ่งด้วยอัตราเร็วเชิงมุม รูปที่ 6.30 แท่งแข็งเกร็งติดอยู่กับเดือย

a) จงหาขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบ วิธีทำ โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนประกอบ ทั้งสามส่วนจากตาราง 10.2 โมเมนความเฉื่อยของแท่ง ที่มีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางคือ และ สำหรับแต่ละอนุภาค โดยโมเมนต์ความเฉื่อยรวมรอบจุด O คือ ดังนั้นขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมคือ

b) จงแสดงสูตรของขนาดของอัตราเร่งเชิงมุมของระบบเมื่อแท่งหมุนทำมุมกับแนวระดับ วิธีทำ ถ้ามวลของอนุภาทั้งสองเท่ากันระบบจะไม่มีอัตราเร่งเชิงมุมเพราะว่าทอร์คสุทธิที่ กระทำในระบบเท่ากับศูนย์เมื่อ m1 = m2 ถ้ามุม (vertical position) ระบบ จะอยู่ในสมดุล ในการหาอัตราเร่งเชิงเส้นของระบบที่มุม q ใด ๆ จะเริ่มจากการคำนวณหา ทอร์คสุทธิของระบบ โดยทอร์คที่เกิดจากแรง m1g กระทำรอบเดือยคือ มีทิศพุ่งออกจากกระดาษ โดยทอร์คที่เกิดจากแรง m2g กระทำรอบเดือยคือ มีทิศพุ่งเข้าไปในกระดาษ

ดังนั้นทอร์คสุทธิจากภายนอกที่กระทำรอบจุด O คือ ทิศทางของ จะพุ่งออกจากกระดาษถ้า m1 > m2 และพุ่งเข้ากระดาษถ้า m1 < m2 ในการ หาอัตราเร่งเชิงมุม a เริ่มจาก โดยใช้ I จากข้อ (a) a จะมีค่าเป็นศูนย์ถ้า (vertical position) และ a จะมีค่ามากที่สุดถ้า (horizontal position) Question ถ้า m1 > m2 มุม q ที่ทำให้ w มีค่ามากที่สุดมีค่าเท่าไร

ตัวอย่างที่ 6.17 มวล 2 ชิ้นที่เชื่อมต่อกัน ทรงกลมมวล m1 และกล่องสี่เหลี่ยมมวล m2 เชื่อมต่อกันด้วยเชือกเบา ซึ่งคล้องผ่าน รอกดังรูปที่ 6.31 รอกมีรัศมี R โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนคือ I กล่องลื่นไถลบนพื้นที่ ไม่มีความฝืด จงหาสูตรที่แสดงอัตราเร่งเชิงเส้นของวัตถุทั้งสองโดยใช้แนวคิดของโมเมนตัม เชิงมุมและทอร์ค รูปที่ 6.31 ทรงกลมมวล m1 ผูกติดกับกล่อง สี่เหลี่ยมมวล m2 ด้วยเชือกเบาคล้องผ่านรอก

วิธีทำ กำหนดโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่ประกอบด้วย ทรงกลม กล่องสี่เหลี่ยม และ รอก รอบแกนหมุนของรอกในกรณีที่ทรงกลมและกล่องสี่เหลี่ยมมีอัตราเร็ว v โมเมนตัมเชิงมุมของ ทรงกลมคือ กล่องสี่เหลี่ยมคือ และรอกคือ ดังนั้น โมเมนตัมเชิงมุมรวม ของระบบมีค่าเท่ากับ (1) ต่อไปหาค่าทอร์คภายนอกสุทธิที่กระทำกับระบบรอบแกนหมุน แรงในแนวตั้งฉากที่ พื้นกระทำต่อกล่องสี่เหลี่ยมมีค่าเท่ากับแรงเนื่องแรงโน้มถ่วง m2g ดังนั้น m2g ไม่ทำให้เกิด ทอร์ค แรง m1g เนื่องจากทรงกลมทำให้เกิดทอร์ครอบแกนหมุนมีขนาดเท่ากับ m1gR เมื่อ R คือแขนโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุน ทอร์คภายนอกสุทธิรอบแกนหมุนมีค่าเท่ากับ จากสมการ (1) และสมการที่ 6.44 เราพบว่า

(2) เนื่องจาก dv/dt = a ดังนั้น

ตัวอย่าง 11.8 การเกิดดาวนิวตรอน ดาวดวงหนึ่งหมุนด้วยคาบเวลา 30 วัน รอบแกนซึ่งผ่านศูนย์กลางมวล ภายหลังจาก ดาวดวงนั้นวิวัฒนาการระเบิดไปเป็น supernova แกนกลางของดาวซึ่งมีรัศมี เกิดการ ยุบตัวไปเป็นดาวนิวตรอนซึ่งมีรัศมี 3 km จงบอกคาบเวลาของการหมุนของดาวนิวตรอน วิธีทำ ใช้หลักฟิสิกส์เหมือนกับการหมุนตัวได้เร็วขึ้นของนักสเก็ต เมื่อเขาหดแขนและขา เข้าหาตัวโดยสมมุติว่าในการหดตัวของแกนกลางมีเงื่อนไขดังนี้ (1) ไม่มีทอร์คกระทำต่อดาว (2) รูปร่างของดาวยังเป็นทรงกลม (3) มวลของดาวมีค่าคงที่

ถ้า T แทนคาบเวลา TI แทนคาบเวลาในตอนเริ่มต้นของดาว Tf แทนคาบเวลาของดาว นิวตรอน โดยคาบเวลาหมายถึงช่วงเวลาที่จุดๆ หนึ่งที่อยู่บนเส้นศูนย์สูตรเคลื่อนที่เป็นวงกลม ได้ครบหนึ่งรอบ รอบแกนของการหมุน เมื่ออัตราเร็วเชิงมุมของดาวคือ และโมเมนต์ความเฉื่อย I เป็นสัดส่วนตรง กับ r2 จากสมการที่ 6.48 จะได้ว่า นั่นคือดาวนิวตรอนจะหมุนได้ 4 รอบใน 1 วินาที

ตัวอย่างที่ 11.9 ม้าเวียน (the Merry-Go-Round) แผ่นรูปร่างเป็นวงกลมอยู่ในแนวราบหมุนในแนวระนาบรอบแกนซึ่งอยู่ในแนวดิ่ง ดังรูปที่ 11.6 ถ้าแผ่นวงกลมมีมวล M = 100 kg และมีรัศมี R = 2.0 m มีเด็กมวล 60 kg เดินอย่างช้า ๆ จากขอบไปยังจุดศูนย์กลางของแผ่นวงกลมถ้าอัตราเร็วเชิงมุมของระบบมีค่าเป็น 2.0 rad/s เมื่อเด็กอยู่ที่ขอบ อัตราเร็วเชิงมุมจะมีค่าเท่าไรถ้าเด็กเดินเข้าใกล้จุดศูนย์กลางโดยห่าง จากจุดศูนย์กลางของแผ่นวงกลมเป็นระยะ r = 0.50 m รูปที่ 6.32 เมื่อเด็กเดินเข้าสู่ศูนย์กลางของแผ่นกลม ที่หมุนอัตราเร็วเชิงมุมของระบบเพิ่มขึ้น เพราะว่า โมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่

วิธีทำ การเปลี่ยนแปลงความเร็วในที่นี้คล้ายกับการเพิ่มอัตราเร็วเชิงมุมในการหมุนตัวของ นักสเก็ตขณะดึงแขนเข้าหาตัวเอง ถ้าโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นวงกลม คือ IP และโมเมนต ความเฉื่อยของเด็ก คือ IS ถ้าพิจารณาให้เด็กเป็นมวลแบบจุด m ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อย เริ่มแรกของระบบรอบแกนหมุนคือ เมื่อเด็กเดินเข้าไปที่ตำแหน่ง r < R โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะมีค่าลดลง เราใช้รัศมี R ในการคำนวณ Ipf เนื่องจากรัศมีของแผ่นวงกลมมีค่าคงที่ และเนื่องจากไม่มี ทอร์คจากภายนอกกระทำกับระบบรอบแกนหมุนเราจึงสามารถใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เชิงมุมได้

นั่นคืออัตราเร็วเชิงเส้นมีค่าเพิ่มขึ้นนั่นคืออัตราเร็วเชิงเส้นมีค่าเพิ่มขึ้น

ตัวอย่างที่ 11.10 การหมุนของล้อรถจักรยาน นักเรียนถือแกนหมุนของล้อรถจักรยานขณะนั่งอยู่บนม้านั่ง ซึ่งสามารถหมุนได้ อย่างอิสระดังรูป 11.17 นักเรียนและม้าหมุนจะหยุดนิ่งในตอนเริ่มต้น ขณะที่ล้อรถหมุนอยู่ใน แนวระนาบด้วยโมเมนตัมเชิงมุมเริ่มต้น มีทิศชี้ขึ้นข้างบน (ทวนเข็มนาฬิกา) เมื่อนักเรียน จับล้อหมุนพลิกคว่ำลงเป็นมุม 180o รอบแกนของมัน เด็กและม้านั่งจะเริ่มเกิดการหมุนด้วย โมเมนตัมเชิงมุม จงหาขนาดและทิศของโมเมนตัมเชิงมุม ของเด็กรวมกับม้านั่ง รูปที่ 6.33 ล้อรถเริ่มหมุนในขณะที่เด็กนักเรียน นั่งนิ่งอยู่กับที่

วิธีทำ ระบบประกอบด้วยเด็กนักเรียน ม้านั่ง และ วงล้อรถจักรยาน ในตอนแรกโมเมนตัม เชิงมุม รวมของระบบเป็น ซึ่งได้จากการหมุนของวงล้อรถจักรยาน เมื่องวงล้อรถจักรยาน มีการหมุนกลับทิศ แม้ว่าเด็กให้ทอร์คกับวงล้อ แต่ทอร์คที่ให้เป็นทอร์คภายในระบบ นั่นคือ ไม่มีทอร์คจากภายนอก กระทำกับระบบรอบแกนหมุนในแนวดิ่ง ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของ ระบบจะมีค่าคงที่จะได้ว่า หลังจากวงล้อหมุนไปในทิศตรงข้ามจะได้ว่า

เนื่องจากโมเมนตัมเชิงมุมมีค่าคงที่ บางส่วนของระบบ (เด็กนักเรียนและม้านั่ง) จะเริ่มต้น หมุนนั่นคือโมเมนตัมเชิงมุมรวมยังคงเท่ากับโมเมนตัมเชิงมุมรวมเริ่มแรก ดังนั้นสามารถ แสดงให้เห็นว่า

บทที่ 6 การเคลื่อนที่แบบหมุนและแบบกลิ้ง ( Rotational and rolling motion)