带电粒子在复合场中的运动

1. 带电粒子在复合场中的运动

2. 一、高考趋势展望 带电粒子在磁场，特别是在包括磁场在内的复合场中运动的问题，因其涉及的知识点比较多，易于考查学生综合利用中学物理知识分析处理实际问题的能力，所以该专题知识几乎是高考每年必考的内容，且多以难度中等或中等偏上的计算题出现在高考试卷中。其中带电粒子在磁场中的圆周运动问题是本专题的复习重点，特别是要在理解和掌握分析处理此类问题的方法上多下功夫。带电粒子在复合场中的运动问题，因其涉及的知识点多，且题目限定的物理情景较难分析清楚，是本专题知识中的难点。

3. 二、带电位子在复合场中的运动 复合场是指电场、磁场、重力场中三者或其中任意两者共存的场。在复合场中运动的电荷有时可不计重力，如电子、质子、a粒子等微观粒子，也有重力不能忽略的宏观带电体，如小球、液滴、微粒等。同时注意分析场中的约束条件。 虽然电荷在复合场中的运动情况一般较为复杂，但是它作为一个力学问题，同样遵循联系力和运动的各条基本规律。在分析和解决具体问题时，还是要从力的观点（牛顿运动定律)、动量的观点、能量的观点入手。

4. 电荷在复合场中的运动一般有两种情况——直线运动和圆周运动。电荷在复合场中的运动一般有两种情况——直线运动和圆周运动。 若电荷在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动，由于电场力和重力为恒力，洛伦兹力方向和速度方向垂直且大小随速度的大小而改变，所以只要电荷速度大小发生变化，垂直于速度方向的合力就要发生变化，该方向电荷的运动状态就会发生变化，电荷就会脱离原来的直线轨道而沿曲线运动。可见，只有电荷的速度大小不变，才可能做直线运动，也就是说，电荷在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下做直线运动时，一定是做匀速直线运动。 若电荷在上述复合场中做匀速圆周运动时，由于物体做匀速圆周运动的条件是所受合外力大小恒定、方向时刻和速度方向垂直，这是任何几个恒力或恒力和某一变力无法合成实现的，只有洛伦兹力可满足该条件。也就是说，电荷在上述复合场中如果做匀速圆周运动，只能是除洛伦兹力以外的所有恒力的合力为零才能实现。处理此类问题，一定要牢牢把握这一隐含条件。

5. 总之，对本专题的内容,一定透彻理解、熟练掌握。在具体解决实际问题时，要认真做好以下三点：总之，对本专题的内容,一定透彻理解、熟练掌握。在具体解决实际问题时，要认真做好以下三点： 1、正确分析受力情况； 2、充分理解和掌握不同场对电荷作用的特点和差异； 3、认真分析运动的详细过程，充分发掘题目中的隐含条件，建立清晰的物理情景，最终把物理模型转化为数学表达式。

6. 三、典型例题解析与变式 例1 、如图所示，在互相垂直的水平方向的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为m、电荷量为q的小球，它们之间的动摩擦因数为μ，现由静止释放小球，分析小球运动的加速度和速度的变化情况，并求出最大速度。(设绝缘杆足够长，电场、磁场范围足够大。)

7. 解析：假设小球带正电（本题结论与电荷的正负无关，小球带负电的情况同学们自己分析），小球受力分析如图所示。由牛顿运动定律得，解析：假设小球带正电（本题结论与电荷的正负无关，小球带负电的情况同学们自己分析），小球受力分析如图所示。由牛顿运动定律得， mg-f=ma N=qE+Bqv f=μN mg-μ(qE+Bqv)=ma

8. 由上式可知，由于速度v的增大，加速度a减小，所以小球做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减至零时，速度达到最大，最后以最大速度做匀速直线运动。 mg-μ(qE+Bqvm)=0 vm= (mg-μqE)/μBq

9. 变式一 如图所示，在方向相同的水平匀强电场E和匀强磁场B中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为m、电荷量为q的小球，它们之间的动摩擦因数为μ，现由静止释放小球，分析小球运动的加速度和速度的变化情况，并求出最大速度。(设绝缘杆足够长，电场、磁场范围足够大。)

10. 变式二如图所示，在互相垂直的水平方向的匀强电场E和匀强磁场B中，有一固定的竖直绝缘杆，杆上套一个质量为m、电荷量为q的小球，它们之间的动摩擦因数为μ，现由静止释放小球，分析小球运动的加速度和速度的变化情况，并求出最大速度和最大加速度。(设绝缘杆足够长，电场、磁场范围足够大。) vm=(mg+μqE)/μBq am=g

11. 例2（2005年广东卷）如图12所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。例2（2005年广东卷）如图12所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。

12. 解析 设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动再逆时针做圆周运动，最后从A4点射出。用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度、轨道半径和周期 qvB1=mv2/R1, qvB2=mv2/R2 T1=2πR1/v=2πm/qB1, T2=2πR2/v=2πm/qB2

13. 0 圆心角∠A1A20=60，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为 t1=T1/6 设圆形区域的半径为r,如图所示，已知带电粒子过圆心且垂直A2A4进入Ⅱ区磁场。连接A1A2，ΔA10A2为等边三角形，A2为带电拉子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径 R1=A1A2=0A2=r 带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在0 A4的中点，即 R2=r/2

14. 带电粒子在Ⅱ区磁场中运动的时间为 t2=T2/2 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t= t1+ t2 由以上各式可得： B1=5πm/6qt， B2=5πm/3qt

15. 变式一AB、CD、EF为三条平行的边界线，AB、CD相距L1，CD、EF相距L2如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1，CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场。现从A点沿AB方向垂直磁场射入一带负电的粒子，该粒子质量为m，带电量为-q，重力不计。求: （1）若粒子运动到CD边时速度方向恰好与CD边垂直，则它从A点射入时速度v0为多少? （2）若已知粒子从A 点射入时速度为u（u> v0），则粒子运动到CD边界时，速度方向与CD边的夹角θ为多少？(用反三角函数表示)若粒子运动到EF边界时恰好不穿出磁场，则CD、EF之间磁场的磁感应强度B2为多少？ • B1qL1/m • θ=arccos〔(mu- B1qL1)/mu) 〕 • B2=(2mu- B1qL1)/qL2

16. 变式二 如图所示，在坐标Ⅰ象限内有一匀强磁场区域，磁感强度为B，y轴是磁场左侧的边界，直线0A是磁场的右侧边界。在第Ⅱ象限y〉0的区域，有一束带电量为q的负粒子(重力不计)垂直y轴射人磁场，粒子的质量为m，粒子在各入射点的速度与入射点的y轴坐标值成正比，即v=by(b是常数，且b〉0)。要求粒子穿过磁场区域后，都垂直于x轴射出，求：直线0A与x轴的夹角θ多大？（用题中已知物理量符号表示） θ=arctan〔(Bq-mb)/mb〕

17. 四、高考链接 1、（2000年天津、江西卷）如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝、、和，外筒的外半径为，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场，一质量为、带电量为的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在直空中） （本题考查带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，注意圆心位置的确定，如何求半径。） 2 Bqr0/2m 2

18. 2、（2001年全国卷）如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ。若粒子射出磁场的位置与O点的距离为l，求该粒子的电量和质量之比。 （本题考查带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，注意粒子进入磁场和射出磁场的对称性。） 2v0sinθ/BL

19. 3、（2006年天津卷）在以坐标原点 O为圆心、半径为 r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。 一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x轴的交点 A处以速度 v沿－x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与 y轴的交点 C处沿+y方向飞出。 （1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ； （2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为，该粒子仍从 A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？ （1）

20. 4、（2006年全国卷）20分）如图所示，在x＜0与x＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B1与B2的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且B1＞B2。一个带负电荷的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O点，B1与B2的比值应满足什么条件？ B1/B2＝n/(n+1) n＝1,2,3，……

21. 5、（2005年江苏卷）如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立X轴。M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。5、（2005年江苏卷）如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里，磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立X轴。M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。 (1)当两板间电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子的速度v0 (2)求两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域而打到荧光屏上． (3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在答题卡的图上定性地画出电子运动的轨迹．

22. 6、（2006年四川卷）(20分)如图所示，在足够大的空间范围内，同时存在着竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度B=1.57T.小球1带正电，其电量与质量之比q1/m1=4 C/kg,所受重力与电场力的大小相等;小球2不带电，静止放置于固定的水平悬空支架上。小球向右以v0=23.59 m/s的水平速度与小球2正碰，碰后经过0.75 s再次相碰。设碰撞前后两小球带电情况不发生改变，且始终保持在同一竖直平面内。 （取g=10 m/s2)问(1)电场强度E的大小是多少？ (2)两小球的质量之比是多少？ E=2.5 N/C

23. 方向竖直向上 （1）E＝B 2）v＝ v0 7.(06年重庆卷)(19分)有人设想用题24图所示的装置来选择密度相同、大小不同的球状纳米粒子。粒子在电离室中电离后带正电，电量与其表面积成正比。电离后，粒子缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域I,再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域II,其中磁场的磁感应强度大小为B,方向如图。收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上。半径为r0的粒子，其质量为m0、电量为q0,刚好能沿O1O3直线射入收集室。不计纳米粒子重力。 (1) 试求图中区域II的电场强度; (2) 试求半径为r的粒子通过O2时的速率; (3)讨论半径r≠r2的粒子刚进入区域II时向哪个极板偏转。 （3）r＞r0时，v＜v0，F总＞0，粒子会向上极板偏转；r＜r0时，v＞v0，F总＜0，粒子会向下极板偏转；

24. a O' O b 五、 做一做 练一练 1、图中为一“滤速器”装置示意图。a、b为水平放置的平行金属板，一束具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔O进入a、b两板之间。为了选取具有某种特定速率的电子，可在a、b间加上电压，并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场，使所选 电子仍能够沿水平直线OO'运动，由O'射出。不计重力作用。可能达到上述目的的办法是OabO‘ ( ) A.使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向里 B.使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向里 C.使a板电势高于b板，磁场方向垂直纸面向外 D.使a板电势低于b板，磁场方向垂直纸面向外 AD

25. 2、如图所示，带电平行板中匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑绝缘轨道上的a点自由滑下，经过轨道端点P进入板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从稍低些的b点开始自由滑下，在经P点进入板间的运动过程中（ ） A．其动能将会增大 B．其电势能将会增大 C．小球所受的洛伦兹力将会增大 D．小球所受的电场力将会增大 ABC

26. 3、如图所示，一束质量、速度和电荷量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，未发生任何偏转。如果让这些不偏转的离子进入另一个匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束。对这些进入后一磁场的离子，可得出结论 （ ） A．它们的动能一定各不相同 B．它们的电荷量一定各不相同 C．它们的质量一定各不相同 D．它们的电荷量与质量之比一定各不相同 D

27. 4、关于回旋加速器加速带电粒子所获得的能量，下列正确的说法是 ( ) A．与加速器的半径有关，半径越大，能量越大 B．与加速器的磁场有关，磁场越强，能量越大 C．与加速器的电场有关，电场越强，能量越大 D．与带电粒子的质量与电量均有关，质量和电量越大能量越大 AB

28. 5、一块长方体金属导体的宽度为b，厚度为h，长度为L，如图所示，在金属导体上加有与侧面垂直的匀强磁场B，并通以电流I，此时测得导体上下表面的电压为U。己知自由电子的电量为e，如图所示的方法可以测得金属导体中单位体积内的自由电子数n为 ( ) A．BI/eUh B．BI/euL C．BI/eUb D．无法确定 A

29. 6、如图所示，匀强磁场的方向垂直纸面向里，一带电微粒从磁场边界d点垂直于磁场方向射入，沿曲线dpa打到屏MN上的a点，通过pa段用时为t，若该微粒经过P点时，与一个静止的不带电微粒碰撞并结合为一个新微粒，最终打到屏MN上。两个微粒所受重力均忽略。新微粒运动的 ( ) A.轨迹为pb,至屏幕的时间将小于t B.轨迹为pc,至屏幕的时间将大于t C.轨迹为pb，至屏幕的时间将等于t D.轨迹为pa，至屏幕的时间将大于t D

30. 7、如图所示，AF是一块粗糙的、长为L、水平放置的绝缘平板，平板以上空间中存在着从左向右的匀强电场；板的右半部分上方空间存在着垂直纸面向外的匀强磁场。一个质量为m，带电量为q的物体，从板的左端A点处，由静止开始在电场力驱动下做匀加速运动，进入磁场区域后恰能做匀速运动，碰到B端的挡板后被反向弹回，若碰撞后立即撤去电场，物体返回，在磁场中运动时仍为匀速运动，离开磁场后又做减速运动，最后停在C点，已知AC=L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ，求：物体与挡板碰撞前后的速度各是多少？磁场的磁感应强度B和电场强度E各是多少？7、如图所示，AF是一块粗糙的、长为L、水平放置的绝缘平板，平板以上空间中存在着从左向右的匀强电场；板的右半部分上方空间存在着垂直纸面向外的匀强磁场。一个质量为m，带电量为q的物体，从板的左端A点处，由静止开始在电场力驱动下做匀加速运动，进入磁场区域后恰能做匀速运动，碰到B端的挡板后被反向弹回，若碰撞后立即撤去电场，物体返回，在磁场中运动时仍为匀速运动，离开磁场后又做减速运动，最后停在C点，已知AC=L/4，物体与平板间的动摩擦因数为μ，求：物体与挡板碰撞前后的速度各是多少？磁场的磁感应强度B和电场强度E各是多少？

31. 8、如图所示，在y 〉0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y=-2h处的P3点。不计重力。求： （1）电场强度的大小； （2）粒子到达P2点时速度的大小和方向； （3）磁感应强度的大小。