第九章 矩 阵

1. 第九章 矩 阵 第九章 矩 阵 §9.1 矩阵的概念 §9.2 矩阵的运算 §9.3 矩阵的逆 §9.4 矩阵的秩 §9.1 矩阵的概念 §9.2 矩阵的运算 §9.3 矩阵的逆 §9.4 矩阵的秩 §9.1 矩阵的概念 §9.2 矩阵的运算 §9.3 矩阵的逆 §9.4 矩阵的秩

2. §9.1 矩阵的概念 一、矩阵概念 在日常工作中，当我们处理一些错综复杂的数据时，常把它系统地整理为表格． 例1 某车间一月份有三台车床进行生产，则生产情况可列成表9-1： 表9-1 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 20 30 21 15 乙 10 20 31 18 丙 40 43 5 0 人们更关心的是表内的数据．将表格内的数据分离出来，就可简化为如上的数表

3. 例2某种物资有个 产地运往 个销地，设 表示第 个产地运往第 个销地的数量，那么调运方案如下表: 同样我们分离出其中人们所关心的调运量,便可得到如下的矩形数表

4. 定义9.1由 个数 排列成的 行 列的矩阵数表 称为 行 列的矩阵，简称 矩阵．通常用大写字母 表示，上述矩阵可记作 或 有时也记作 ，其中 称为 的第 行 列元素． 如果矩阵所有元素 均为零，则称其为零矩阵．记作 ，简记为

5. 如果矩阵只有一行，即 ；或只有一列，即 ，则此时 或 称其为行矩阵 称其为列矩阵

6. 在矩阵 中各个元素前面添上 符号(即取相反数)得到的矩阵，称为 的负 矩阵，记作 ，即 如果矩阵 的行数 与列数 相等, 即 ,,则称 为 阶矩阵或 阶方阵． 在 阶矩阵中，称从左上角到右下角的连 线为主对角线. 称行列式 对于 阶矩阵

7. 为矩阵 的行列式．记为 ,即 注意：矩阵 与其行列式 虽然非常相似,但它们有本质的区别．行列式 是一个算式，一个数字行列式通过计算可求得其值，而矩阵 仅仅是一个数表，其行数和列

8. 二、特殊的 阶矩阵 定义9.2主对角线下(或上)方元素都是零的方阵，称为 阶上(或下)三角矩阵，上、下三角矩阵统称为三角矩阵． 数可以不同． 如 分别称为三阶上三角矩阵和四阶下三角矩阵．

9. 如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为对角矩阵．如果一个矩阵既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则称其为对角矩阵． 如 是三阶对角矩阵． 主对角线上的元素都是非零数 的对角矩阵，称为数量矩阵． 如 是 阶数量矩阵．

10. 主对角线上的元素都是1的 阶数量 矩阵，称为 阶单位矩阵，简称单位矩 阵，记为 或 ． 如

11. §9.2 矩阵的运算 一、矩阵相等 定义9.3如果两个矩阵 ， 有相同的行数、列数，而且各对 应元素相等，则称矩阵 与 相等，记作

12. 例1设矩阵 且 ，求 的值． 解 根据矩阵相等的定义，有 则

13. 二、矩阵的运算 1.矩阵的加法 定义9.4设有两个 矩阵 ， 由 与 对应元素相加所得的 矩阵，称为 与 的和．记作 即

14. 注意:由矩阵加法的定义易见,两个矩阵 和 要进行加法运算,必须满足 的行数、列数与 的行数、列数对应相等才可,否则是不能相加(减)的. 矩阵的加法满足下列运算规律： (1)加法交换律 (2)加法结合律 (3)零矩阵满足 (4)对任意矩阵 满足

15. 2.矩阵的数乘 定义9.5 设 是一个 矩阵， 是一个任意的实数，规定 称该矩阵为数 与矩阵 的乘积，简称为数乘． 例2 设三个产地与四个销地之间的里程(单位： )为：

16. 销地1 销地2 销地3 销地4 产地1 产地2 产地3 已知货物每吨公里的运费为1.5元，则各产地与各销地之间每吨货物运费可以记为

17. 矩阵的数乘运算满足以下运算规律： (1)数对矩阵的分配律 ； (2)矩阵对数的分配律 ； (3)数乘矩阵的结合律 ； (4)数-1与矩阵 满足 ； (5)数0与矩阵 满足

18. 3.矩阵的乘法 设某公司下属甲、乙两厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三种产品，这三种产品 的生产都需消耗 三种资源．如果用矩阵 表示甲、乙两厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三种产品的月产量，用矩阵 表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三种产品消耗 三种资源的月消耗量： 月产量 月消耗

19. 用矩阵 表示甲、乙两厂每月所需三种资源的需求量， 那么 中的元素分别是： 甲厂的需求量

20. 乙厂的需求量, 即

21. 定义9.6 设 是一个 阶的矩阵,即 是一个 阶的矩阵,即,称矩阵 积矩阵 为矩阵 与 的乘积．其中 记作 右矩阵 左矩阵 可见两个矩阵当且仅当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，才能相乘. 即 积矩阵的行数就等于左矩阵的行数,积矩阵的行数就等于右矩阵的列数. 积矩阵 的第 行第 列处的元素等于左矩阵的第 行元素与右矩阵的第 列对应元素乘积之和．

22. 求 例4设 例3 设 求 解 解

23. 例5设 试求 和 注:从上述几例易见矩阵的乘法不满足交换律.即 解

24. 例6设 求 和 解 注1 :易见两个非零矩阵的乘积可以为零矩阵.即 或 或 注2 :矩阵的乘积无消去律.即 且

25. 矩阵乘法 满足下列运算规律： (1)结合律 ； (2)分配律 ； ； (3)数乘结合律 ， (其中 是个常数)； (4) ， ，(其中 是单位矩阵)．

26. 例5已知 且 求 解 由 得 所以

28. 例6 证明：如果 , , 则 • ; • (2) • 证明 由 ， 知 • (1) • ; • (2)

29. 对于 阶矩阵 ， 为自然数， 规定 ，称 为 矩阵 的 次幂． 并规定 设 是方阵， 是自然数，则有 (1) ； (2)

30. 例 设 求 解

31. 例7设 为 阶矩阵，且 ，证明: 其中 为正整数， 为单位矩阵． 证 这里涉及自然数 ，故考虑用数学归纳法 当 时，结论显然成立． 再设 时结论成立，即有 故有数学归纳法知原式对任何自然数 均成立． 则

32. 定理9.1设是 两个 阶矩阵，那么乘积矩阵 的行列式等于矩阵 与矩阵 的行列式的乘积，即 推论1: 设 是 阶矩阵， 是任意常数， 是正整数，那么 (1) ；(2) 推论2:设 是 阶矩阵，那么

33. 三、矩阵的转置 定义9.7 将 矩阵 的行与列互换得到的矩阵

34. 解 称为矩阵 的转置矩阵,简称为 的转置,记 作 ,即 例1设 求

35. 例8 设矩阵 求 • 矩阵的转置满足以下规律： • ； • ； • (3) ( 为任意实数)； • (4)

36. 解 因为 所以 又因 所以，由此题验证了， 而

37. 例9 设矩阵 求(1) ；(2) ；(3) 解 因为

38. 所以

39. 定义9.8如果 阶矩阵 满足 则称 是一个对称矩阵．即 例如，矩阵 分别是三阶对称矩阵和四阶对称矩阵．显然，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵都是对称矩阵． 定义9.9如果 阶矩阵 满足 ， 则称 是一个反对称矩阵．即

40. 例如，矩阵 分别是三阶和四阶反对称矩阵． 注1: 对称矩阵中的元素关于主对角线对称. 注2: 反对称矩阵中关于主对角线对称的元素互为相反数,且主对角线上的元素均为零. 例10 设 是 阶矩阵，且 为对称矩阵，证明 也是对称矩阵． 证明：因为 为对称矩阵,所以 则 从而 也是对称矩阵．

41. 注2: 初等变换用符号 “ ”来表示,初等行变换标在其上,而初等列变换标在其下. 例如 四、矩阵的初等变换 定义9.10 对矩阵进行下列三种变换,称为矩阵的初等变换： (1)交换矩阵中两行(列)元素的位置； (2)矩阵的某一行(列)同乘上一个常数 ； (3)矩阵的某一行(列)加上另一行(列)的 倍. 注1: 凡是对行所做的初等变换称之为初等行变换;凡是对列所做的初等变换称之为初等列变换.

42. 定义9.11对单位矩阵 经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵． 初等矩阵可分为三类: (1)交换单位矩阵中第 行(列)与第 行(列)元素的位置后所得到的矩阵.用符号 表示.如 (2)单位矩阵中第 行(列)同乘以常数 后所得到的矩阵.用符号 表示.如 (3)单位矩阵的第 行(列)加上第 行(列)元素的 倍后所得到的矩阵.用符号 表示.

43. 定理9.2 设 ，对 进行一次初等行变换相当于在 的左边乘一个相应的 阶初等矩阵；对 进行一次初等列变换相当于在 的右边乘一个相应的 阶初等矩阵． 如 例如 则 再比如 则

44. 则

45. 如 §9.3 矩阵的逆 一、逆矩阵的定义 定义9.12 设 为 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 成立，则称矩阵 为可逆矩阵，并称矩阵 为矩阵 的逆矩阵，简称为 的逆，记作 ，即 (1)当 为可逆矩阵时,有 (2)若 为 的逆矩阵, 则 也必是 的逆矩阵,且此时 与 互为逆矩阵.

46. 所以可见矩阵 与矩阵 互为逆矩阵. 如矩阵 显然是非奇异矩阵; 而矩阵 显然是奇异矩阵; 二、可逆矩阵的判别 定义9.13 若 阶矩阵 的行列式 ，则称 为非奇异矩阵，否则称 为奇异矩阵． 定义9.14 设 阶矩阵 则称同阶矩阵

47. 为 的伴随矩阵,记作 .其中 为 中元素 的代数余子式. 注意:伴随矩阵 中“元素 ”的排列方法与原来矩阵 中元素 注1: 对任意 阶矩阵 必存在伴随矩阵 .且有 的排列顺序不一样. 即

48. 事实上

49. 该式给出了求逆矩阵的一种方法,即伴随矩阵法该式给出了求逆矩阵的一种方法,即伴随矩阵法 定理9.3 阶矩阵 可逆的充要条件是 为非奇异矩阵，且 例1 求矩阵 的逆矩阵． 解 因为 所以矩阵 可逆 又

50. 于是