Задачи оптимизации производства в Никифоровском районе Тамбовской области

1. Задачи оптимизации производства в Никифоровском районе Тамбовской области Авторы работы: Васильев Пётр , Корякина Алёна, Попова Светлана, учащиеся 10б класса (социально-экономический профиль). МОУ« Никифоровская СОШ №1» Руководитель работы: Муравьёва Инна Николаевна, учитель математики и экономики. 2008г.

2. Задачи Обработать и обобщить информацию по историческому краеведению, полученную в результате самостоятельного исследования. Решить реальные задачи оптимизации, связанные с планированием производства в Никифоровском районе Тамбовской области. Цель:рассмотреть математические модели в экономике Никифоровского района Тамбовской области на примере решения задач линейного программирования, адаптированных к социально-экономическим реалиям жизни.

3. Содержание Что такое линейное программирование? • краткий исторически очерк; • постановка задачи линейного программирования; • каноническая форма линейного программирования; • симплекс-метод. Задача оптимизации. • Экономика Никифоровского района Тамбовской области; • Задача№1; • Задача№2; • Задача№3. • Вывод

4. Краткий исторический очерк

5. Постановка задачи линейного программирования Многие практические задачи сводятся к системам неравенств относительно нескольких переменных.В качестве примера можно указать задачи, связанные с планированием производства. Обычно эти задачи формируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах, которые, как правило, задаются при помощи ряда неравенств. В итоге приходится искать наибольшее или наименьшее значение некоторой функции в области, которая задаётся системой неравенств. Задачи такого типа относятся к задачам линейного программирования.

6. Каноническая форма задачи линейного программирования Каждую задачу линейного программирования можно свести к следующей стандартной форме: найти неотрицательные значения переменных x1, x2,…, xn, которые удовлетворяли бы системе уравнений: а11x1+ a12x2+ …………+a1nxn = b1 а21x1 + a22x2 + ………… + a2nxn = b2 ………………………………………………… аm1x1 + am2x2 + ………… + amnxn = bm и обращали в минимум функцию L(x1, x2,…, xn) = c1x1+ c2x2 + … + cnxn. Так сформулированную задачу специалисты называют общей задачей линейного программирования в канонической форме.

7. Симплекс-метод Симплекс-метод даёт возможность минимизировать функцию на выпуклой многогранной области многомерного пространства путём определённого перебора вершин этой области. Этот метод используется для решения задач линейного программирования с помощью ЭВМ.

8. Алгоритм симплекс-метода Определяется некоторый опорный план, которому соответствует вершина области допустимых решений. Найденный опорный план (вершина) проверяется на оптимальность. Пусть этот план не оптимален. Определяется следующий опорный план (вершина) лучший по отношению к предыдущему в результате движения по ребру. Вершина проверяется на оптимальность. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная вершина, то есть решение задачи линейного программирования.

9. Задача оптимизации По своей сущности задача оптимизации – это математическая модель определённого процесса производства продукции, его распределении, хранении, переработки, транспортирования, покупки или продажи и т.д. Это обычная математическая задача типа: дано /найти/ при условии, но которая имеет множество возможных решений. Таким образом, задача оптимизации – задача выбора из множества вариантов наилучшего, оптимального.

10. Экономика Никифоровского района Тамбовской области • В состав холдинга «Русский сахар» входит один из крупнейших в России производителей сахара-песка ОАО «Сахарный завод «Никифоровский». В 2008 году в течение свекловичного сезона переработано 581,3 тыс.тонн сахарной свёклы и выработано из неё 89,978 тыс.тонн сахара-песка. • Сегодня ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» - ведущее предприятие отрасли, которое не раз получало высокую оценку в различных конкурсах и рейтингах. • ООО «АгроНик» играет значительную роль в социально-экономической жизни района. • Валовой сбор за 2008 год составил: - озимой пшеницы – 14019т.; - гороха – 2355т.; - ячменя – 6230т.; - рапса – 202т.; - яровой пшеницы – 1155т.; - сахарной свёклы – 54608т. • За годы существования ООО было создано более 100 новых рабочих мест. Люди имеют высокий заработок. • На территории Никифоровского района осуществляется реализация национального проекта «Развитие АПК». Основные надежды возлагаются на создание нового крупного производства с запрограммированной высокой экономической эффективностью: строительство свиноводческого комплекса в ООО «Центральное» по выращиванию и откорму 50 тыс. голов свиней в год с ежегодным производством 5,691 тыс. т. свинины.

11. Задача №1 С растворобетонного узла ООО «Центральное» привозят бетон для строительства свинокомплекса КАМАЗами – миксерами вместительностью по 5 и 10 кубов. За один час комплекс может принять не более 10 КАМАЗов, при этом не более 8 КАМАЗов по 5 кубов и не более 6 КАМАЗов по 10 кубов. Сколько КАМАЗов по 5 и 10 кубов нужно отправлять с РБУ на свинокомплекс за 1 час, чтобы перевозить наибольшее количество бетона?

12. Решение у Всего за один час перевозится 5x +10y кубов бетона. Задача свелась к нахождению наибольшего значения линейной функции: S(x;y) = 5x + 10y в области, заданной системой неравенств. Множеством решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. 8 6 (4;6) F 4 2 Пусть за один час отправляется x КАМАЗов по 5 кубов и y КАМАЗов по 10 кубов. По условию задачи получим систему неравенств: x≥0, y≥0, x≤8, y≤6, x+y≤10. х 4 8 16 Среди всех точек многоугольника F функция S(x;y) = 5x + 10y принимает наибольшее значение в вершине многоугольника (4;6). Это значение равно S(4;6) = 5∙4 + 10∙6 = 80. Ответ: 4 КАМАЗа по 5 кубов и 6 КАМАЗов по 10 кубов бетона.

13. Задача №2 Таблица 1 С полей ОАО «Голицыно» и ООО «АгроНик» на склады ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» нужно привести сахарную свёклу. ОАО «Голицыно» всю свёклу может погрузить на 80 машин, а ООО «АгроНик» на 100 машин. Склады ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» должны принять: склад №1 – 50 машин, склад №2 – 70 машин, склад №3 – 60 машин. Количество бензина (в литрах), которое расходует одна машина на пробег с полей до склада, задаётся таблицей 1. Требуется составить план перевозок сахарной свёклы, при котором общий расход бензина будет наименьшим.

14. Решение Таблица 2 Пусть х – число машин, отправленных с полей ОАО «Голицыно» на склад №1, а у – на склад №2. Тогда план перевозок задаётся таблицей 2. Их таблицы 1 и 2 находим общий расход бензина: S(x;y)= 2x+4y+5(80-x-y)+4(50-x)+5(70-y)+3(x+y-20)=890-4x-3y. В таблице 2 все числа должны быть неотрицательными. x≥0, y≥0, 80-x-y≥0, 50-x≥0, x+y-20≥10, 70-y≥0

15. Множество решений данной системы является многоугольник F, изображённый на рисунке. Наименьшее (и наибольшее) значение функции S(x;y) принимает в одной из вершин многоугольника F. Вычисляя её значение в этих вершинах, получаем: S(0;20)=830 S(50;30)=600 S(0;70)=680 S(50;0)=690 S(10;70)= 640 S(20;0)=810 у (0;70) (10;70) (50;30) F (0;20) х (20;0) (50;0) Наименьшее из этих значений, равное 600, функция принимает при x=50, у=30. При этих значениях x и y таблица 2 принимает вид. Задача свелась к нахождению наименьшего значения линейной функции S(x;y)=890-4x-3y в области, заданной системой неравенств. Ответ: наименьший расход бензина 600 литров

16. Задача №3 ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» производит 2 продукта: сахарный песок и патоку мелассу в количестве x1 и x2 т. за месяц соответственно. Тонна сахарного песка приносит 12000 рублей прибыли, а тонна патоки мелассы – 8000 рублей. Производственные мощности завода позволяют выпускать не более 100 тонн двух продуктов вместе, при этом производство сахарного песка не может превышать более чем в 3 раза производства патоки. Надо определить оптимальный объём производства, приносящий ОАО «Сахарный завод «Никифоровский» максимальную прибыль.

17. Решение Графическая интерпретация задачи оптимизации x2,тонн В точке А, соответствующей координатам x1=75, x2=25, достигается наибольший из допустимых значений x1=75. Следовательно, S=12x1+8x2=12∙75+8∙25=1100 тыс. рублей 100 25 20 x1+x2=100 x1=3x2 A Линейная функция имеет вид: S=12x1+8x2 тысяч рублей. x1≥0, x2 ≥0, x1+x2 ≤100, x1≤3x2. 20 75 100 x1,тонн Ответ: x1=75т., x2=25т.

18. Вывод В результате работы с краеведческим материалом мы выяснили, что математические модели в экономике Никифоровского района Тамбовской области представляют формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающего заранее заданные известные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие вместе состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, формул. Экономико-математические модели представляют обширный и достаточно мощный научно-исследовательский, аналитический инструмент познания.

19. Информационные ресурсы Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике. – М.: Просвещение, 1999г. Математика в современном мире. – М.: Мир, 1967г. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука, 1984г. Подшивки районных газет «Знамя» и «Уездная жизнь», 2007-2008г. CD-ROM. Intel.Обучение для будущего. http://kvant.mirror1.mccme.ru/1974/07/transportnaya_zadacha.htm http://kvant.mirror1.mccme.ru/1976/07/simpleks-metod.htm http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_2/1.php