روش عناصر محدود Finite Element Procedures

2. روش عناصر محدود Finite Element Procedures کریم عابدی

3. فصل دوم مقدمه اي بنيادي بر روش عناصر محدود و مباني رياضي آن

4. 1- تاريخچه روش عناصر محدود • گر چه نام عناصر محدود اخيرا به اين روش اطلاق گرديده است، اما اين مفهوم چندين قرن پيش نيز مورد استفاده قرار گرفته است. • براي مثال رياضي دانان قديمي محيط دايره را با تقريب آن به يك چند ضلعي (محاطي يا محيطي) بدست مي آوردند. بر حسب نامگذاري امروزي هر ضلع اين چند ضلعي را مي توان يك المان محدود ناميد. با در نظر گرفتن چند ضلعي هاي تقريبي به صورت محاطي و محيطي مي توان به ترتيب يك حد پايين يا يك حد بالا براي مقدار كامل (Exact) محيط به دست آورد. • مشخص است كه با افزايش اضلاع چند ضلعي، دقت جواب ها (Accuracy) افزايش يافته و مقادير تقريبي به مقدار كامل محيط همگرا مي شوند ( Convergence). • بحثی در مورد Exact solution یا Analytical solution یا Closed Form Solution و Approximate Solution یا Numerical Solution • بحثی در مورد Convergence و Accuracy

5. 1- تاريخچه روش عناصر محدود روش عناصر محدودي كه به صورت شناخته شده امروزي است، در سال 1956 به وسيله Clough، Turner، Top و Martin در مقاله مشهور زير ارائه شده است: “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, Journal of Aeronautical Sciences, 23, 805-825 (1956). اين مقاله كاربرد عناصر محدود ساده (ميله هاي مفصل شده و ورق مثلثي) براي تحليل سازه هواپيما را نشان مي دهد و به عنوان يكي از پيشرفت هاي كليدي در توسعه روش عناصر محدود در نظر گرفته مي شود.

6. 1- تاريخچه روش عناصر محدود همراه با توسعه كامپيوترهاي ديجيتالي با سرعت هاي بالا، كاربرد روش عناصر محدود هم با نرخ فزاينده اي پيشرفت نمود. بعد از اينكه روابط عناصر محدود در حالت استاتيكي خطي توسعه يافت، كاربرد روش عناصر محدود در زمينه هاي ديگر نيز ادامه يافت. براي مثال مي توان زمينه هايي مانند پاسخ ديناميكي و ارتعاشي، كمانشي، غير خطي هندسي و مادي، اثرات حرارتي، اندركنش سازه و سيال، اندركنش سازه و اكوستيك، شكست، مواد مركب لايه اي، انتشار موج، ديناميك سازه هاي فضايي و هواپيما را نام برد.

7. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود مراحل كلي تحليل يك سيستم مهندسي عبارتند از: انتخاب يك مدل رياضي براي يك مساله فيزيكي. فرمول بندي مدل رياضي و حل آن و يافتن و تفسير نتايج. 1- مدل پارامتر متمركز (Lumped parameter model‌) يا مدل گسسته سيستم (Discrete system model) 2- مدل مبتني بر مكانيك محيط پيوسته (Continuum mechanics-based model) يا مدل پيوسته سيستم ( Continuous system) مدل هاي رياضي :

8. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود • در يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم : • پاسخ واقعي سيستم مستقيما به وسيله جواب تعداد محدودي متغير حالت (State Variable) توصيف مي گردد (بحثی در مورد متغیر حالت). • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، مجموعه اي از معادلات جبري بدست مي آيند. • مثال: مدل رياضي يك سازه اسكلتي كه با استفاده از مباني تحلیل ماتريسي سازه ها حل مي شود، يك مدل رياضي پارامتر متمركز يا گسسته سيستم است.

9. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود • در يك مدل رياضي پيوسته سيستم : • پاسخ واقعي سيستم به وسيله بينهايت متغير حالت توصيف مي گردد. • براي يافتن متغيرهاي حالت مجهول، به جاي يك مجموعه از معادلات جبري، معادلات ديفرانسيل بر پاسخ سيستم حاكم مي باشد. • مثال: مدل رياضي يك سازه پيوسته صفحه اي يا پوسته اي يك مدل رياضي پيوسته سيستم است. - حل كامل معادلات ديفرانسيل كه همراه با ارضاء تمامي شرايط مرزي باشد، تنها براي مدل هاي رياضي نسبتا ساده امكان پذير است. روش هاي عددي

10. 2- مدل هاي رياضي و روش عناصر محدود روش هاي عددي، مدل هاي رياضي پيوسته سيستم را به صورت يك ايده آل سازي گسسته در مي آورند كه مي تواند به طريق مشابه مدل هاي پارامتر متمركز حل شود. • روش Ritz • روش Galerkin به عنوان يك روش باقيمانده وزن دار • روش تفاضلات محدود روش هاي مهم كلاسيك عددی: روش هاي فوق در واقع شالوده اصلي روش هاي نوين عناصر محدود را فراهم مي آورند. روش عناصر محدود يك روش عددي است براي گسسته سازی مدل ریاضی پیوسته به مدل ریاضی گسسته (تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری).

11. 3- حوزه هاي كاربرد روش عناصر محدود:

12. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود اساس يك روش حل عناصر محدود يك مساله فيزيكي مهندسي، ايجاد و حل يك مجموعه معادلات جبري حاكم است. ايده آل سازي مساله فيزيكي به يك مدل رياضي، در نظر گرفتن فرض هاي معيني را ايجاب مي كند كه منجر به معادلات ديفرانسيل حاكم بر يك مدل رياضي مي شود (مانند معادله ديفرانسيل تغيير شكل تير). تحليل عناصر محدود اين مدل رياضي را حل مي كند.

13. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود - روش عناصر محدود يك روش عددي است و بايد دقت حل آن مورد ارزيابي قرار گيرد. اگر معيارهاي دقت ارضا نشوند، بايد در اين صورت روش عددي عناصر محدود با پارامترهاي حل تظريف شده بايد تكرار شود، تا اينكه دقت كافي حاصل گردد. - روشن است كه روش عناصر محدود تنها مدل رياضي را به دقت حل خواهد كرد و تمامي فرضيات در پيش بيني پاسخ انعكاس خواهد يافت. - بنابراين انتخاب مدل رياضي نقش بنيادي و كليدي در يك روش عناصر محدود ايفا مي كند.

14. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود - يك نكته مهم اين است كه نمي توان پاسخ يك مساله فيزيكي را به طور كامل (Exact) پيش بيني نمود. - ولي مي توان يك مدل رياضي كاملا جامع ( very comprehensive mathematical model) را تعريف كرد و سپس پاسخ مدل رياضي انتخابي را با آن مقايسه كرد (مثلا مدل رياضي بسيار جامع مي تواند يك مدل سه بعدي به همراه اثرات غير خطي باشد). - مدل رياضي بسته به پديده مورد پيش بيني انتخاب مي شود و داراي دو مشخصه اصلي موثر بودن (Effectiveness) و قابليت اطمينان ( Reliability) آن مدل است. تعريف موثر بودن و قابلیت اطمینان يك مدل رياضي :يك مدل رياضي بسيار موثر و قابل اطمینان مدلي است كه منجر به پاسخ مورد نياز با دقت كافي و با هزينه حداقل شود.

15. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود سلسله مراتب مدل ها: دنباله اي از مدل ها كه به طور فزاينده اثرات پيچيده تر را در بر دارند. مثال 1 تحليل با استفاده از نظريه تير Bernoulli ( با اثرات غير خطي) تحليل با استفاده از نظريه تير Timoshenko( با اثرات غير خطي) نظريه تنش مسطح دو بعدي ( با اثرات غير خطي) مدل سه بعدي (با اثرات غير خطي) سازه تيري:

16. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود مثال 2

17. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود نكات عمده اي كه در يك تحليل عناصر محدود بايد در نظر گرفت (چالش هاي عناصر محدود): • نحوه انتخاب مدل رياضي با توجه به نوع مساله و خواسته هاي آن (فرضيات مورد استفاده در مدل سازي ها) • انتخاب نوع عناصر محدود و هندسه آن • ميزان تظريف شبكه عناصر محدود • تعيين ماتريس سختي المان • معيارهاي ارزيابي دقت ( بررسي موثر بودن و قابليت اطمينان مدل رياضي)

18. 4- فرآيند تحليل عناصر محدود حل كامل معادله ديفرانسيل حاكم مدل رياضي كاملا جامع نتايج آزمايشگاهي بررسي همگرايي جوابها تجربيات مهندسي در محدوده تحليل معيارهاي بررسي دقت حل عناصر محدود:

19. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه ها روش عناصر محدود بسط روش هاي ماتريسي تحليل اسكلت هاي ساختماني Skeletal structures تحليل سازه هاي پيوسته Continum structures سطح سازه به جاي تشكيل يافتن از تعدادي اعضا، به صورت پيوسته است. صفحات، پوسته ها، سازه هاي پليسه اي، ديوارهاي سدها متشكل از مجموعه اي از اعضا كه در تعدادي نقاط –Nodal points- به يكديگر متصل شده اند. تيرهاي سرتاسري و قاب ها

20. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه ها مجموعه اي از عناصر محدود كه فقط در نقاط گرهي به همديگر متصل هستند يك سيستم با درجات آزادي محدود محيط پيوسته با درجات آزادي نامحدود روش عناصر محدود - در روش عناصر محدود، تقريب طبيعت فيزيكي داشته و احتياج به هيچگونه تخمين در تحليل رياضي سيستم جايگزين شده نمي باشد. به عبارت ديگر معادلات سيستم تقريبي فيزيكي با روش هاي دقيق رياضي حل مي شوند.

21. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه ها یک نکته مهم در مورد عناصر محدود: • عناصر محدود فقط در گره ها به يكديگر متصل هستند، يعني شرايط پيوستگي فقط در نقاط گرهي ارضا خواهند شد. • ولي، تغيير شكل عناصر به يك فرم خاصي مقيد مي شود. بنابراين هر چند پيوستگي فقط در نقاط مشخص شده گرهي ارضاء مي شود، ولي با انتخاب توابع تغيير شكل مناسب براي عناصر، پيوستگي در تمام يا لااقل قسمتي از كناره هاي عناصر مجاور هم ارضاء مي گردد. بنابراين همانطوري كه Clough بيان نموده است: • “عناصر محدود صرفا قطعات بريده شده از سازه نبوده، بلكه يك نوع عناصر ارتجاعي بوده و تغيير شكل آنها طوري مقيد گرديده كه پيوستگي كلي مجموعه حتي الامكان حفظ شود”.

22. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه ها • تقسيم بندي اوليه به عناصر • ) Initial subdivision into elements( • تعيين خصوصيات ماتريس سختي عناصر • ) Dirivation of the element stiffness characteristics( فرق تحليل يك محيط پيوسته با تحليل يك محیط گسسته به عبارت ديگر در يك سیستم گسسته مانند سازه اسكلتي، ماتريس سختي اعضا با استفاده از روابط شيب-افت تعيين مي شود، ولي در روش عناصر محدود، ماتريس سختي عناصر به شيوه اي خاص بدست مي آيد. ساير مراحل روش سختي در تحليل سازه هاي پيوسته دقيقا مانند تحليل سازه هاي اسكلتي است.

23. 5- ايده بنيادي روش عناصر محدود و ارتباط آن با تحليل ماتريسي سازه ها مراحل مشابه تحليل سازه هاي اسكلتي و پيوسته: • نحوه تشكيل ماتريس سختي عنصر یا عضو در مختصات كلي، • نحوه تشكيل و سوار نمودن ماتريس سختي كل سازه P=KΔ، • اعمال شرايط مرزي، • حل معادلات تعادل و بدست آوردن مجهولات تغيير مكاني.

24. 6-بسته هاي نرم افزاري عناصر محدود و نحوه توسعه و حوزه كاركردي آنها نرم افزارهاي موجود را مي توان از ديدگاه هاي مختلف و با در نظر گرفتن محورهاي گوناگون مورد مقايسه قرار داد. برخي از محورها عبارتند از: • هدف بسته نرم افزار ( از قبيل عمومي، تجاري، تحقيقاتي، آموزشي و ... )، • نوع كامپيوتري كه بسته نرم افزار مي تواند در آن عمل كند، • نوع ارائه و سند بندي ( Documentation) بسته نرم افزار، • نوع عناصري كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع تحليل هايي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع فرمول بندي هاي مورد استفاده، • نوع روش هاي حل كه در بسته نرم افزار مورد استفاده قرار گرفته اند، • نوع بارگذاري هاي ممكن كه بسته نرم افزار اجازه استفاده از آنها را مي دهد، • نوع شرايط مرزي و قيدهاي مورد استفاده در نرم افزار، • نوع رفتارهاي مصالحي كه در بسته نرم افزار پياده سازي شده اند، • نوع ظرفيت هاي مدل سازي در بسته نرم افزاري، • نوع عمليات پيش پردازي و پس پردازي مورد استفاده در بسته نرم افزاري.

25. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: گفتيم كه اساس يك مدل رياضي پارامتر متمركز یا گسسته اين است كه حالت سيستم را مي توان مستقيما با دقت كافي به وسيله مقادير تعداد محدودی از متغيرهاي حالت توصيف نمود. الف) روش مستقیم در روش مستقيم انجام مراحل زير ضروري است: 1- ايده آل سازي سيستم (System idealization) : سيستم واقعي به عنوان مجموعه همبسته عناصر محدود ايده آل سازي مي شود. 2- تعادل عناصر(Equilibrium of elements): شرايط تعادل هر عنصر بر حسب متغيرهاي حالت ايجاد مي شوند. 3- سوار كردن عناصر (Element assemblage): شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند تا مجموعه اي از معادلات همزمان بر حسب متغيرهاي حالت مجهول ايجاد شود. 4- محاسبه پاسخ: معادلات همزمان جهت پيدا كردن متغيرهاي حالت حل مي شوند و با استفاده از شرايط تعادل عناصر پاسخ هر عنصري محاسبه مي گردد. براي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم دو روش اساسي مورد استفاده قرار مي گيرد: - روش مستقيم (Direct method) - روش وردشي (Variational method)

26. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال:شكل زير يك سيستم متشكل از 3 گاري صلب را در صفحه افقي نشان مي دهد كه به وسيله سيستمي از فنرهاي ارتجاعي خطي به همديگر اتصال يافته اند. تغييرمكان هاي گاري ها را محاسبه نموده و نيروهاي موجود در فنرها را براي بارگذاري نشان داده شده محاسبه كنيد. آرايش فيزيكي حل:تحليل را با دنبال نمودن مراحل 1 تا 4 انجام مي دهيم. تغيير مكان هاي U1 ،U2، U3 را به عنوان متغيرهاي حالت كه پاسخ سيستم را مشخص مي نمايند انتخاب مي كنيم. تغيير مكان هاي مذكور از موقعيت اوليه گاري ها اندازه گرفته مي شوند كه در آن فنرها در حالت آزاد و بدون كشش مي باشند. عناصر انفرادي فنري و شرايط تعادل آنها در شكل هاي بعدي نشان داده مي شوند.

27. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: روابط تعادل عناصر Fi(j)= نیرویی که به فنرj در اثر تغییرمکان Ui وارد می شود. براي ايجاد معادلات حاكم به ازاي متغيرهاي حالت، شرايط اتصال متقابل عناصر مورد استفاده قرار مي گيرند كه متناظر با تعادل ايستايي هر يك از سه گاري مي باشند:

28. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: حال مي توان نيروهاي انتهايي عنصري Fi(j)، J=1,2,…,5 و i=1,2‌ را با استفاده از شرايط تعادل عناصر كه در شكل (ب) نشان داده شده است، جايگذاري نمود. در اين جا متناظر با مولفه هاي تغييرمكان U1 ،U2، U3مي توان براي عنصر شماره 1 نوشت: يا براي عنصر شماره 2: به همین ترتیب برای سایر عناصر این مرحله را انجام می دهیم.

29. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: بنابراين شرايط اتصال متقابل عناصر به صورت رو به رو در مي آيد: اين نكته بايد يادآوري شود كه ماتريس ضريب K را مي توان با استفاده از رابطه زير بدست آورد: كه در آن K(i) ماتريس هاي سختي عنصري اند. به فرآيند جمع براي يافتن ماتريس سختي كل سازه در رابطه بالا با استفاده از جمع مستقيم ماتريس هاي سختي عناصر، روش مستقيم سختی اطلاق مي شود.

30. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: ب) روش وردشی (Variational method) - معادلات تعادل حاکم بر یک مدل ریاضی گسسته سیستم را می توان بر حسب متغیرهای حالت با استفاده از فرمول بندی اکسترمم یا وردشی بدست آورد. یک مساله اکسترموم شامل تعیین مجموعه ای از مقادیر متغیرهای حالت Ui و i=1,…,n است که به ازای آنها یک تابعک(Functional) داده شده ماکزیمم، مینیمم یا یک نقطه زینی (Saddle point) است. در تحلیل سازه ها هنگامی که تغییر مکان های تعمیم یافته به عنوان متغیرهای حالت مورد استفاده قرار می گیرند، پتانسیل کلی ( یا تابعک انرژی پتانسیل کلی ) می باشد، یعنی: U =انرژی کرنشی سیستم W = پتانسیل کلی بارها

31. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: - در فرمول بندی اکسترموم یا وردشی مسائل سازه ای دو اصل موضوع(Axiom) مطرح است: اصل موضوع اول : مساوی صفر بودن مشتق تابعک انرژی پتانسیل کلی (Total Potential Energy) نسبت به یک متغیر حالت ( یا متغیرهای حالت)، شرط لازم و کافی برای تعادل یک سیستم سازه ای است. (Stationary requirement)شرط مانا بودن معادلات تعادل بر حسب متغیرهای حالت بدست می آیند.

32. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: اصل موضوع دوم: مینیمم نسبی تابعک انرژی پتانسیل کلی نسبت به متغیر حالت (یا متغیر های حالت)، شرط لازم و کافی برای پایداری یک حالت تعادل (Equilibrium state) می باشد. Minimum Stable Saddle point Critical state Maximum Unstable

33. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: ترکیب دو اصل مذکور به عنوان اصل مینیمم انرژی پتانسیل (Principle of Minimum Potential Energy) نیز شناخته می شود: برای سیستم های پایستار (Conservative) از میان تمامی میدان های تغییر مکان که از نظر سینماتیکی قابل قبول (ارضاء کننده شرایط سازگاری و شرایط مرزی) می باشند، آن میدان های تغییر مکان که که انرژی پتانسیل کلی را اکسترموم می کنند ، متناظر با حالت تعادل سیستم می باشند. اگر شرط اکسترموم، یک مینیمم باشد ، در این صورت حالت تعادل پایدار خواهد بود.

34. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال: یک فنر ساده با سختی K و بار وارده P را در نظر بگیرید و با استفاده از روش وردشی معادله تعادل را بدست آورید. معادله تعادل سیستم پایدار است. یعنی انرژی پتانسیل کلی مینیمم مقدار خود را دارا می باشد. لازم به ذکر است که حسن استفاده از روش وردشی برای ایجاد معادلات تعادل آن است که با استفاده از شرط مانا بودن به طور خودکار شرایط اتصال متقابل عناصر تامین می شود.

35. 7- روش هاي حل مدل هاي رياضي گسسته سيستم: مثال: شکل زیر یک سیستم متشکل از سه گاری صلب که بوسیله سیستمی از فنرهای ارتجاعی خطی به همدیگر اتصال یافته اند را نشان می دهد. تغییر مکان های گاری ها را به روش وردشی محاسبه نموده و نیروهای موجود در فنرها را برای بارگذاری نشان داده شده محاسبه کنید.

36. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: گفتیم که در یک مدل ریاضی پیوسته سیستم، پاسخ واقعی سیستم به وسیله بی نهایت متغیر حالت توصیف می گردد و به جای یک مجموعه از معادلات جبری برای یافتن متغیرهای حالت مجهول، معادلات دیفرانسیل بر پاسخ سیستم حاکم می باشند. همانند حالت تحلیل مدل های گسسته دو روش مختلف را می توان برای ایجاد معادلات دیفرانسیل حاکم بر سیستم دنبال نمود: روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی) روش وردشی الف) روش مستقیم (فرمول بندی دیفرانسیلی) در فرمول بندی دیفرانسیلی، شرایط تعادل و روابط مشخصه عناصر دیفرانسیلی نمونه را بر حسب متغیرهای حالت ایجاد می کنیم. ملاحظات مذکور منجر به یک دستگاه معادلات دیفرانسیل بر حسب متغیرهای حالت می شوند.

37. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: در حالت کلی این معادلات باید با معادلات دیفرانسیل کمکی تکمیل شوند. معادلات دیفرانسیل کمکی قیدهای مناسبی را بر متغیرهای حالت اعمال می کنند تا اینکه تمامی شرایط سازگاری ارضا شوند. سرانجام برای تکمیل فرمول بندی مساله، تمامی شرایط مرزی ( و در یک تحلیل دینامیکی، شرایط اولیه) نیز بیان می شوند. مثال: معادلات دیفرانسیل تعادل یک سازه تیری و سازه صفحه ای

38. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادله دیفرانسیل حاکم بر میله یک بعدی تحت اثر بار گسترده f B(x)ویک بار متمرکز R در سمت راست را بدست آورید. شرایط مرزی تغییر مکانی شرایط مرزی نیرویی

39. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادلات دیفرانسیل حاکم بر مساله میله ای را که در شکل زیر نشان داده شده است بدست آورید. میله در ابتدا در حالت سکون بوده و بار R(t)ناگهان بر انتهای آن وارد می شود. با استفاده از اصل دالامبرت داریم: (الف)

40. رابطه مشخصه (ب) با ترکیب (الف) و (ب) رابطه روبرو حاصل می گردد: تغییر مکانی شرایط مرزی (Boundary condition) نیرویی شرایط اولیه (Initial condition)

41. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: در اینجا لازم است که به دو نوع مساله اشاره شود: • 1) مسائل مقدار مرزی (Boundary value problems) • در این گونه مسائل، متغیرهای حالت مجهول (یا مشتقات معمولی آنها) در مرز داده می شوند. • جواب در یک نقطه عمومی داخلی بستگی به اطلاعات موجود در تمامی نقاط مرزی دارد. • مسائل حالت پایا (Steady state) یا مسائل استاتیکی از این نوع هستند. • 2) مسائل مقدار اولیه (Initial value problems) • در این گونه مسائل، زمان به عنوان یک متغیر مستقل مطرح می شود. • جواب این مساله به شرایط اولیه بستگی دارد. • در این گونه مسائل، جواب در یک نقطه داخلی می تواند به شرایط مرزی بخشی از مرز و شرایط اولیه در بخشی از میدان داخلی بستگی داشته باشد. • مسائل حالت انتشار (Propagation) یا مسائل دینامیکی از این نوع مسائل هستند.

42. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: ب) روش وردشی (یا فرمول بندی وردشی) همان گونه که عنوان شد، اساس روش فرمول بندی وردشی آن است که پتانسیل کلی سیستم محاسبه می شود و با استفاده از شرط مانا بودن (stationary) ، مشتق آن نسبت به متغیرهای حالت صفر قرار داده می شود و در نتیجه معادله دیفرانسیل و یا دستگاه معادلات دیفرانسیل بدست می آیند. روش وردشی مکانیزم موثر و نیرومندی را برای تحلیل سیستم های پیوسته فراهم می نماید. علت اصلی موثر و نیرومند بودن روش وردشی، در چگونگی ایجاد شرایط مرزی و نحوه در نظر گرفتن این شرایط در هنگام استفاده از روش وردشی نهفته است. به پتانسیل کلی تابعک مساله (Functional) اطلاق می شود. فرض کنید که در تابعک بالاترین مشتق یک متغیر حالت از مرتبه m است، در این صورت مساله مذکور را مساله وردشی Cm-1 می نامیم.

43. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: شرایط مرزی بر دو نوع هستند: الف) شرایط مرزی اساسی (هندسی)Essential boundary condition)( تغییر مکان ها و دوران های از پیش تعیین شده (دارای مشتقات حداکثر با مرتبه m-1 ) ب) شرایط مرزی طبیعی (نیرویی) (Natural boundary conditions) نیروها و متغیرهای مرزی از پیش تعیین شده (دارای مشتقات از مرتبهm تا 2m-1 )

44. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال: معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله میله ای را که در شکل زیر نشان داده شده است، با استفاده از روش وردشی بدست آورید.

45. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: مثال) معادله دیفرانسیل حاکم و شرایط مرزی طبیعی حاکم بر کمانش ایستایی ستون شکل زیر را بدست آورید.

46. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: تابعک انرژی پتانسیل کلی m=2 , C1 شرط مرزی اساسی یا هندسی دارای حداکثر مشتق از مرتبه 1=m-1 اکنون شرط مانا بودن را مورد استفاده قرار می دهیم:

47. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: با استفاده از انتگرال گیری جزء به جزء در نهایت به روابط زیر می رسیم: نکته مهم این است که تغییرات در متغیرهای حالت و مشتقات آنها باید در شرایط مرزی اساسی صفر باشند، به عبارت دیگر ، بنابراین عبارات 3 و 5 صفر هستند. تغییرات در w و مشتقات آن در سایر نقاط اختیاری می باشند، بنابراین باید داشته باشیم: معادله دیفرانسیل حاکم (دارای حداکثر مشتق از مرتبه 4، (2m)) شرایط مرزی نیرویی شرط تعادل لنگر در x =L شرط تعادل برش در x =L (دارای حداکثر مشتق از مرتبه 3، (2m-1))

48. 8- روش های حل مدل های ریاضی پیوسته سیستم: در هر دو مثال یک نکته بارز به چشم می خورد: نکته مهم این است که شرایط مرزی طبیعی (نیرویی) به طور ضمنی در وارد می شوند، در حالی که شرایط مرزی اساسی (هندسی) به طور جداگانه بیان می گردند. در نهایت به نکات زیر در فرمول بندی وردشی می توان اشاره نمود: 1- روش وردشی می تواند روش نسبتا ساده ای را برای ایجاد معادلات حاکم بر سیستم فراهم نماید. سهولت مذکور در استفاده از یک اصل وردشی عمدتا در نتیجه این واقعیت است که در فرمول بندی وردشی به جای اینکه کمیت های برداری نظیر (نیروها، تغییر مکان ها و ...) استفاده شوند، کمیت های اسکالر (نظیر انرژی ها ، پتانسیل ها و ...) در نظر گرفته می شوند. 2- یک روش وردشی می تواند به طور مستقیم منجر به معادلات حاکم بر سیستم و شرایط مرزی شود. 3-روش وردشی در فهم عمیق مساله به طور موثری کمک می کند و نیز کنترل مستقلی را در فرمول بندی مساله فراهم می کند. 4-اگر تحلیلگر به جای فرمول بندی دیفرانسیلی مساله در روی فرمول بندی وردشی عمل کند، در این صورت برای راه حل های عددی تقریبی، در حالات زیادی می تواند رده های بیشتری از توابع آزمون را به کار گیرد، به عنوان مثال لازم نیست که توابع آزمون شرایط مرزی طبیعی را ارضا نماید، زیرا این شرایط مرزی به طور ضمنی درتابعک در نظر گرفته شده اند.

49. 10) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل • روش Ritz یک روش عددی است که برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل بکار می رود. • روش Ritz روی تابعک انرژی پتانسیل کلی عمل می کند (نه روی معادله دیفرانسیل مساله). • گام اساسی در روش Ritz آن است که جواب مساله به صورت تابع آزمون زیر است (Trial function) : ai= ضرایب مجهول Ritz fi = توابع Ritz در این روش توابع آزمون را در جایگذاری می کنیم و با استفاده از شرط مانا بودن ، n معادله همزمان جبری را بر حسب پارامترهای مجهول ai به صورت زیر بدست می آوریم:

50. 10) روش Ritz در حل معادلات دیفرانسیل نکته مهم این است که توابع Ritz(fi) باید به گونه ای انتخاب شوند که شرایط مرزی اساسی (و نه طبیعی) را ارضا نمایند. دلیل این شرط ساده در توابع آزمون این است که شرایط مرزی طبیعی به طور ضمنی در تابعک منظور شده اند. مثال) پاسخ کمانش ایستایی ستون اشاره شده در مثال قبل را با استفاده از روش Ritz به دست آورید. حل: فرض می کنیم که تابع آزمون زیر را برای متغیر حالت w در نظر می گیریم: مشخص است که تابع آزمون مذکور فقط شرایط مرزی اساسی (تغییر مکان و شیب صفر در انتهای گیردار ) را ارضا می نماید.