Gazdaságstatisztika

1. Gazdaságstatisztika 22. előadás GYAKORLÓ FELADATOK A STATISZTIKAI PRÓBÁK ÉS KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL

2. Gazdaságstatisztika FELADATOK A KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS TÉMAKÖRÉBŐL

3. 1. Feladat • Egy vállalat havi árbevétele (x) és havi üzleti eredménye (y) közötti kapcsolat egy 10 elemű minta alapján az y = -9+0,1x lineáris regressziós függvénnyel írható le. A mintában az árbevétel korrigált empirikus szórása 9,8 millió Ft, az üzleti eredményé 1,1 millió Ft. • a.) Értelmezze a regressziós egyenes meredekségét! • b.) Határozza meg az árbevétel és az üzleti eredmény közötti determinációs együtthatót, és értelmezze az eredményt! Gazdaságstatisztika

4. 1. Feladat - megoldás • a.) A regressziós egyenes: y = -9+0,1x. Ennek meredeksége 0,1. Ez azt jeleneti, hogy az árbevétel egységnyi növekedése az üzleti eredmény átlagosan 0,1 egységnyi növekedését vonja maga után. • b.) Az árbevétel (x) és az üzleti eredmény (y) közötti determinációs együttható meghatározása • Egyrészt a determinációs együttható: • Másrészt a regressziós egyenes meredeksége: • Ez utóbbi két összefüggésből a determinációs együttható: Gazdaságstatisztika

5. 1. Feladat - megoldás • A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: • A determinációs együttható: • A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben ez azt jelenti, hogy az üzleti eredmény varianciáját (változékonyságát) 79,37%-ban magyarázza az árbevétel . Gazdaságstatisztika

6. 2. Feladat • Teherhajók tömege (x) és kirakodási idejük (y) között a tapasztalati lineáris korrelációs együttható értéke egy 10 elemű minta alapján 0,87. A mintában a hajótömegek korrigált tapasztalati szórása 7,2 tonna, a kirakodási időé 2,1 óra. • a.) Hány %-ban magyarázza a kirakodási idő varianciáját a teherhajók tömege? • b.) Adja meg a kirakodási idő és a hajótömeg közötti regressziós egyenes meredekségét! Gazdaságstatisztika

7. 2. Feladat - megoldás • a.) A determinációs együttható megadja, hogy az eredményváltozó (y) varianciáját mekkora hányadban magyarázza a magyarázó változó (x). Esetünkben a korrelációs együttható értéke 0,87. Ennek négyzete 0,7569 a determinációs együttható értéke, azaz a kirakodási idő varianciájának 75,69%-át magyarázza a teherhajók tömege. • b.) A regressziós egyenes meredekségének meghatározása: • Egyrészt a regressziós egyenes meredeksége: • Másrészt a korrelációs együttható: • Ez utóbbi két összefüggésből a regressziós egyenes meredekségére: Gazdaságstatisztika

8. 2. Feladat - megoldás • A megadott empirikus szórások felhasználásával és meghatározható: • A regressziós egyenes meredekségéről tudjuk, hogy • A teherhajók tömegének 1 egységnyi növekedése a kirakodási idő átlagosan 0,254 egységnyi növekedését eredményezi. Gazdaságstatisztika

9. Gazdaságstatisztika FELADATOK A NEMPARAMÉTERES PRÓBÁKTÉMAKÖRÉBŐL

10. 1. Feladat • Egy ipari parkban az elmúlt 70 évben az évente bekövetkező áramkimaradások gyakorisága az alábbi táblázat szerint alakult. • 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az áramkimaradások száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? Gazdaságstatisztika

11. 1. Feladat - megoldás • A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg • H0: az áramkimaradások éves száma Poisson-eloszlást követ • H1: az áramkimaradások éves száma nem Poisson-eloszlást követ • A feltételezett eloszlás (Poisson-eloszlás) paramétere nem ismert, ezért becsléses illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

12. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

13. 1. Feladat - megoldás • A megoldás menete • Tudjuk, hogy a nullhipotézis teljesülése esetén az áramkimaradások éves száma Poisson-eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. • A mintából becslést adunk az eloszlás paraméterére. • Meghatározzuk, hogy az áramkimaradások száma a feladatban megadott értékeket mekkora valószínűséggel veszi fel. • Kiszámítjuk az áramkimaradások számának elméleti gyakoriságait. • Az elméleti és tapasztalati gyakoriságok ismeretében – a khi-négyzet próba alkalmazásával – illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

14. 1. Feladat - megoldás • Jelölje az áramkimaradások éves számát, mint valószínűségi változót. • Ha a nullhipotézis teljesül, akkor paraméterű Poisson-eloszlású. • A paraméter (maximum likelihood) becslése a mintaátlag: • Az elméleti gyakoriságok meghatározásához a következő valószínűségeket kell kiszámítanunk Gazdaságstatisztika

15. 1. Feladat - megoldás • A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok az összefüggés alapján számíthatók, ahol N=70 a minta elemszáma. • A következő táblázat a próba végrehajtásához szükséges tapasztalati és kiszámított elméleti gyakoriságokat tartalmazza. Gazdaságstatisztika

16. 1. Feladat - megoldás • A próba végrehajtása • Tesztstatisztika kiszámítása: • A kritikus érték meghatározása • A szabadságfok: DF = r-l-1 = 9-1-1 = 7 (r=9, l=1, mert 1 paramétert becsültünk.) • és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából: • Döntés • , ezért a nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk. Gazdaságstatisztika

17. 2. Feladat • Egy faipari üzemben a méretre gyártott asztallapok vastagságát vizsgálták. 200 asztallap vastagságát megmérve az adatokat az alábbi táblázatban rögzítették. • 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással? Gazdaságstatisztika

18. 2. Feladat - megoldás • A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. • H0: az asztallapok vastagsága 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ • H1: az asztallapok vastagsága nem 50,2mm várható értékű, 1,3mm szórású normális eloszlást követ • Mivel ismertek a feltételezett eloszlás elméleti paraméterei, ezért tiszta illeszkedésvizsgálatot hajtunk végre. Gazdaságstatisztika

19. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

20. 2. Feladat - megoldás • A feladat megoldásához meg kell határoznunk az asztallap vastagságának a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságait. A nullhipotézis teljesülése esetén az asztallap vastagság megadott kategóriákba esési valószínűségeit a , paraméterű normális eloszlásfüggvény segítségével számíthatjuk ki. E valószínűségek ismeretében a megadott kategóriákba esési elméleti gyakoriságok kiszámíthatóak. • A megadott kategóriákba esési valószínűségek meghatározása • Jelölje az asztallapok vastagságát, mint valószínűségi változót. A következő valószínűségeket kell meghatároznunk: Gazdaságstatisztika

21. 2. Feladat - megoldás • A , paraméterű normális eloszlás helyett a standard normális eloszlásfüggvénnyel számolunk Gazdaságstatisztika

22. 2. Feladat - megoldás • A valószínűségek ismeretében az elméleti gyakoriságok azösszefüggéssel meghatározhatóak, ahol N=200 a minta elemszáma. Megjegyzés: • Próba végrehajtása • Tesztstatisztika kiszámítása: a kategóriák száma Gazdaságstatisztika

23. 2. Feladat - megoldás • A kritikus érték meghatározása • A szabadságfok: DF = r-l-1 = 5-0-1 = 4 (l=0, mert nem becsültünk egyetlen paramétert sem) • és a szabadságfok ismeretében a khi-négyzet eloszlás táblázatából • Döntés • , ezért a nullhipotézist elfogdajuk, azaz 5%-os szignifikancia szinten elfogadható az a feltételezés, hogy az asztallapok vastagsága normális eloszlású valószínűségi változó 50,2mm várható értékkel és 1,3mm szórással. Gazdaságstatisztika

24. 3. Feladat • A csokoládé, a vanília és az eper-fagylaltok iránti preferenciát vizsgálták kisiskolások körében. 4 korcsoportban, összesen 289 kisiskolástól kérdezték meg, hogy melyik fagylaltot kedveli a leginkább. A felmérés eredményét a következő táblázat összegzi. • 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az a feltételezés, hogy a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától? Gazdaságstatisztika

25. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálatχ2-próbával H0: F=F0 Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Többnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálatχ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálatχ2-próbával H0: ξésηfüggetlen Egymintás próbák Kétmintás próbák Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékére Normáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzetére Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozóvárhatóértékeire Kétnormáliseloszlásúvalószínűségiváltozószórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

26. 3. Feladat - megoldás • r=3; s=4; DF=(r-1)(s-1)=(3-1)(4-1)=6; =5% • A 6 szabadságfokú khi-négyzet eloszlás táblázatából az =5%-hoz tartozó érték: • Döntés: χ 2sz≤ χ20,05 =>a nullhipotézis elfogadható, a fagylaltok iránti preferencia független a kisiskolás korától. F11= 148*50/289 = 25,606 F21= 44*50/289 = 7,612 … F34=97*29/289=9,734 f1· f2· f3· f·1 f·2 f·3 f·4 Gazdaságstatisztika

27. Gazdaságstatisztika FELADATOK A PARAMÉTERES PRÓBÁKTÉMAKÖRÉBŐL

28. 1. Feladat • Egy fémipari üzemben a 300mm névleges átmérőjű tárcsákat az “A” és “B” jelű műszakokban gyártják. A két műszakban gyártott tárcsák átmérőjének hosszára vonatkozóan elvégzett mérések eredményeit az alábbi táblázat összegzi. (A gyártott tárcsák átmérőjének hossza normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető.) • 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké? Gazdaságstatisztika

29. 1. Feladat - megoldás • A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. • H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értékével. • H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké. • A tárcsák átmérőjének hossza normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségének tesztelése. Gazdaságstatisztika

30. 1. Feladat - megoldás • A megoldás menete • Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségét • Kétmintás z-próbával tesztelhetjük, ha ismertek az elméleti szórások vagy a minták elemszáma nagyobb 30-nál • Kétmintás t-próbával tesztelhetjük, ha az elméleti szórások ismeretlenek, de azok egyenlősége feltételezhető • Esetünkben az elméleti szórások ismeretlenek és a minták elemszámai 30-nál nem nagyobbak, ezért a kétmintás z-próba nem alkalmazható • F-próbát alkalmazunk az elméleti szórások egyenlőségének tesztelésére • Ha az F-próba eredményeként feltételezhető az elméleti szórások egyenlősége, akkor kétmintás t-próbával teszteljük a várható értékek egyenlőségét Gazdaságstatisztika

31. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

32. 1. Feladat - megoldás • F-próba • H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórása egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórásával. • H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének szórása nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké. • Számlálóhoz tartozó szabadságfok: 11-1=10 • Nevezőhöz tartozó szabadságfok: 10-1=9 • ezért 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk az elméleti szórások egyenlőségét és a várható értékek egyenlőségét kétmintás t-pórbával teszteljük Gazdaságstatisztika

33. 1. Feladat - megoldás • Kétmintás t-próba • H0: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke egyenlő a “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értékével. • H1: az “A” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke nagyobb, mint a “B” műszakban gyártottaké. • Szabadságfok: DF=11+10-2=19 • Egyoldali próba • Elfogadási tartomány: Gazdaságstatisztika

34. 1. Feladat - megoldás • az elfogadási tartományba esik, ezért 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk a nullhipotézist, azaz az “A” és “B” műszakban gyártott tárcsák átmérőjének várható értéke között nincs szignifikáns különbség. Gazdaságstatisztika

35. 2. Feladat • Egy palackozó üzemben az 1-es és 2-es gyártósorokon palackozott 1 liter névleges űrtartalmú üdítőitalok töltési térfogatát vizsgálták. Egy-egy mintát vettek a két soron palackozott üdítőitalokból, s a mintákból meghatározták a töltési térfogatok átlagát és tapasztalati szórásnégyzetét. Az eredményeket az alábbi táblázatban rögzítették. (A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető.) • a. ) 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké? • b.) 5%-os szignifikancia szinten elfogadható-e az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása kisebb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké? Gazdaságstatisztika

36. 2. Feladat - megoldás • a.) • A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. • H0: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke egyenlő a 2-es gyártósóron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értékével • H1: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké • A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségének tesztelése. Gazdaságstatisztika

37. 2. Feladat - megoldás • a.) • A megoldás menete • Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékei egyenlőségét • Kétmintás z-próbával tesztelhetjük, ha ismertek az elméleti szórások vagy a minták elemszáma nagyobb 30-nál • Kétmintás t-próbával tesztelhetjük, ha az elméleti szórások ismeretlenek, de azok egyenlősége feltételezhető • Esetünkben az elméleti szórások ismeretlenek és a minták elemszámai 30-nél nagyobbak, ezért a kétmintás z-próba alkalmazható • Az kétmintás t-próba szintén alkalmazható, ha az elméleti szórások egyenlősége feltételezhető. Ez utóbbi feltételezést F-próbával tesztelhetjük. Gazdaságstatisztika

38. Hipotézisvizsgálatok Nemparaméteres próbák Paraméteres próbák Többmintás próbák Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával H0: F=F0 Több normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Több normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire Homogenitásvizsgálat χ2-próbával H0: F(ξ)=G(η) Variancia analízis H0: μ1=μ2=…=μn σ1=σ2=…=σn Cochran-féle C próba H0: σ1=σ2=…=σr n1=n2=…=nr=n Függetlenségvizsgálat χ2-próbával H0: ξ és η független Egymintás próbák Kétmintás próbák Normális eloszlású valószínűségi változó várható értékére Normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzetére Két normális eloszlású valószínűségi változó várható értékeire Két normális eloszlású valószínűségi változó szórásnégyzeteire χ2-próba a szórásnégyzetre H0: σ2=σ20 Egymintás z-próba H0: μ=μ0 σ ismert,vagy n>30 F-próba H0: σ21 =σ22 Független minták esetén Páros minták esetén Egymintás t-próba H0: μ=μ0 σ ismeretlen Kétmintás z-próba H0: μ1=μ2 σ1, σ2 ismert, vagy n1,n2>30 Páros t-próba H0: μ1-μ2=d0 Kétmintás t-próba H0: μ1=μ2 σ1,σ2 ismeretlen, σ1 = σ2

39. 2. Feladat - megoldás • a.) feladat megoldása kétmintás z-próbával • H0:H1: • => • Elfogadási tartomány: • Próbastatisztika: • Döntés • A próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, ezért a két gyártósoron palackozott üdítőitalok várható töltési térfogatát 5%-os szignifikancia szinten egyenlőnek tekinthetjük. Nem fogadható el az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké. Gazdaságstatisztika

40. 2. Feladat - megoldás • b.) • A feladat szövege alapján a következő hipotézisek fogalmazhatók meg. • H0: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása egyenlő a 2-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórásával • H1: az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának szórása kisebb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké • A töltési térfogat normális eloszlású valószínűségi változó, ezért a feladatunk két normális eloszlású valószínűségi változó szórásai egyenlőségének tesztelése. A szórások egyenlőségének tesztelésére F-próbát alkalmazunk. Gazdaságstatisztika

41. 2. Feladat - megoldás • b.) feladat megoldása F-próbával • H0:H1: • ezért a próbastatisztika: • A számlálóhoz tartozó szabadságfok:A nevezőhöz tartozó szabadásfok: • Döntés • , azaz a nullhipotézis 5%-os szignifikancia szinten elfogadható, így ezen a szignifikancia szinten elfogadható a szórások egyenlősége, s nem fogadható el az az állítás, miszerint az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok szórása kisebb, mint a 2-es soron palackozottaké. Gazdaságstatisztika

42. 2. Feladat - megoldás • Mivel 5%-os szignifikancia szinten a szórások egyenlősége elfogadható, így az a.) feladat kétmintás t-próbával is megoldható. • H0:H1: • DF= 61+61-2=120; => • Elfogadási tartomány: • Próbastatisztika: Gazdaságstatisztika

43. 2. Feladat - megoldás • Döntés • A próbastatisztika értéke az elfogadási tartományba esik, ezért a két gyártósoron palackozott üdítőitalok várható töltési térfogatát 5%-os szignifikancia szinten egyenlőnek tekinthetjük. Nem fogadható el az az állítás, hogy az 1-es gyártósoron palackozott üdítőitalok töltési térfogatának várható értéke nagyobb, mint a 2-es gyártósoron palackozottaké. • Megjegyzés • A kétmintás z-próbánál, valamint a kétmintás t-próbánál a próbastatisztikák és az elfogadási tartományok: • A kapott értékek jól érzékeltetik, hogy a két próba végrehajtása a gyakorlat szempontjából azonos eredményt hoz. Gazdaságstatisztika

44. Elméleti feladatok • Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! • Mutassa be az egymintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! • Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és additív dekompozícióját! • Ismertesse az idősorok determinisztikus modell szerinti összetevőit és multiplikatív dekompozícióját! • Ismertesse az empirikus regressziós egyenes meghatározásának módszerét! • Ismertesse az empirikus korrelációs együttható és a regressziós egyenes összefüggését! • Mutassa be az empirikus lineáris regresszió jellemzésére vonatkozó variancia analízist és értelmezze a determinációs együtthatót! • Ismertesse a kétmintás t-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! Gazdaságstatisztika