Matemáticas Discretas

1. Matemáticas Discretas (Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante hugojair@inaoep.mx http://ccc.inaoep.mx/~hugojair Oficina 8319 Este material se basa en versionesprevias del mismopor: Dr. Enrique Muñoz de Cote Dr. Enrique Sucar Dr. Luis Villaseñor

2. CUARTA PARTE • Relaciones y funciones • Relaciones • Propiedades de relaciones • Clases de equivalencia • Conjuntos parciales y totalmente ordenados • Funciones

3. Producto cartesiano • Dados dos conjuntos A y B, el productocartesiano AB se define por: • AB = { (x, y) | xA, yB} • Ejemplo: • {a,b}{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} • Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a) • En general: AB ≠ BA Cuántos pares ordenados se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?

4. Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U. a) b) c) d) Relaciones El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

5. Relaciones • Dados dos conjuntos A y B, una relaciónbinaria R de A en B es determinada por cualquier subconjunto R  AB • Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)R • Si A=B, se dice que R es una relación binaria en A Cuántas relaciones se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?

6. EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos, Relaciones Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

7. Relaciones En general, para conjuntos finitos A, B donde |A| = my |B| = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación AB.

8. Ejemplo • Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B: • Ø • {(2, 4), (2, 5)} • {(2, 4), (3, 4), (4, 5)} • {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}

9. Ejemplo • La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto: • {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…}  NN • La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto: • {(x, x) | xR}  RR

10. Propiedades de las relaciones • Una relación R en A es reflexiva si: • Si (a, a)  R para toda a  A • Una relación R en A es antireflexiva si: • Si (a, a)  R para toda a  A

11. Ejemplo • Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas: • R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)} • No es reflexiva • R={(x, y)| x, y  A, x ≤ y} • Es reflexiva

12. Propiedades de las relaciones • Una relación R en A es simétrica si: • Si (a,b)R entonces (b,a)R para todo a,bA • Una relación R en A es antisimétrica si: • Si (a,b)R y (b,a)R entonces a=b • Una relación R en A es transitiva si: • Si (a,b)R y (b,c)R entonces (a,c)R para todo a,bA

13. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A • R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)} • Simétrica y no reflexiva • R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)} • Reflexiva y no simétrica • R={(1,1),(2,3),(3,3)} • No Simétrica y no reflexiva

14. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3, 4} • R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)} • Es una relación transitiva en A • R={(1,3),(3,2)} • No es transitiva

15. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3} • R={(1,2),(2,1),(2,3)} • No simétrica y no antisimetrica • R={(1,1),(2,2)} • Simétrica y antisimetrica

16. Ordenamientos • Relaciones comunes tales como ≤ definen ordenamientos • Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva • (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A

17. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y)  R si x divide exactamente a y • R es reflexiva? • R es transitiva? • R es antisimétrica? • Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A

18. Particiones • Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que: • AiAj =  para todo ij • A = jAj

19. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A: • A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10} • A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10} • A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10} • Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5

20. Funciones • Una función f:AB del conjunto A a B es la relación fAB tal que cada aA está relacionada con un único b tal que (a,b)f • Notación f(a)=b, o f:a  b • A es el dominio de f y B es el codominio • El valor f(a)=b es la imagen de aA bajo f • El conjunto { f(a) | aA } es el rango de f

21. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}: • ¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B? • No • ¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B? • No • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B? • Si

22. Composición de funciones • Sean f: A  B y g: B  C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función: • (g o f): A  C tal que • Para todo a  A, (g o f)= g(f(a))

23. Tipos de funciones • Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x  A tiene una única imagen f(a): • Si f(x)=f(y) entonces x=y. • Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas • Sea f: R  R donde f(x)= 3x + 7 para toda x • Es una función uno a uno

24. Ejemplo • Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}. • ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B? • No

25. Tipos de funciones • Una función es sobre o suprayectiva si para cada yB existe al menos una xA tal que f(x)=y: • Si yB entonces existe una xA tal que f(x)=y • Sea f: R  R donde f(x)= x3 para toda x • ¿Es una función sobre o suprayectiva? • Si

26. Tipos de funciones • Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica • Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}. • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección? • Si

27. Ejemplos • La función lineal f: ZZ, definida por f(x)=x+2 • Es inyectiva • Es suprayectiva • Es biyectiva

28. Composición de funciones Si f: A->B y g:B->C, definimos la función compuesta que se denota g o f: A->C, como (g o f)(a)= g(f(a)), para cada a en A

29. Composición de funciones • Sea A={1,2,3,4}; B={a,b,c}; C={w,x,y,z}, con f: A->B; g: B->C, dadas por f={(1,a),(2,a), (3,b), (4,c)} y g={(a,x), (b,y), (c,z)}, calcule: • g o f (1) • g o f (2) • g o f (3) • g o f (4)