DIFEREN C IALNE ENA ČBE

1. DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. Primeri diferencialna enačba za y kot funkcijo x diferencialna enačba 2. reda Reddiferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa. diferencialna enačba 3. reda parcialna diferencialna enačba (2. reda) Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, ko nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa pravimo, da so to parcialne diferencialne enačbe

2. je rešitev diferencialne enačbe , saj je ni rešitev diferencialne enačbe , čeprav je za nekatere vrednosti x. F(x,y,y’)=0 splošna oblika diferencialne enačbe 1.reda Rešitev diferencialne enačbe je funkcijay=y(x), pri kateri je F(x,y(x),y’(x))=0 za vse xna nekem definicijskem območju. Primeri: Enačba mora biti izpolnjena za vsex na nekem intervalu.

3. Splošna rešitev je običajno odvisna od nekaj parametrov. Na primer, vse rešitve enačbeso oblike , kjer sta A in B poljubni realni števili. je rešitev enačbe je tudi rešitev enačbe je prav tako rešitev zgornje enačbe... Diferencialne enačbe imajo praviloma veliko rešitev, kar je posledica dejstva, da odvajanje ni injektivno. Velja pravilo: diferencialna enačba reda n ima splošno rešitev,ki je odvisna od n poljubnih parametrov.

4. Geometrični pomen diferencialne enačbe y=y(x) je rešitev enačbe y’=f(x,y) smerni koeficient tangente na graf rešitve v točki x0 je enak f(x0,y(x0)) funkcija f(x,y) določa polje smeri: pri vsaki točki (x,y)z majhno daljico označimo smer s koeficientom f(x,y). vsaka krivulja, ki je v svojih točkah tangentna na polje smeri, je graf ene izmed rešitev diferencialne enačbe f(x,y)=x-y

5. f(x,y)=-y-sin3x f(x,y)=x2-y2+1

6. Fizikalni primer: radioaktivni razpad Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5gizotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t y’=-kykje sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k=3.83 10-12s-1) y(0)=C, torej je Czačetna količina opazovane snovi Za 14C: Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema. Hitrost razpadanja pogostopodamo z razpolovno doboT: zveza s k je kT=ln2 Razpolovna doba14Cje (0.6931/3.83) 1012s ≈ 5730 let.

7. Datiranje s 14C kozmični žarki stopnja radioaktivnosti 0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost Rastline absorbirajo CO2v biosfero. Razmerje med 12C in14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi. Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2. Razmerje med 14CO2in 12CO2 v atmosferi je dokaj stabilno. Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

8. Pri diferencialnih enačbah obravnavamo dva tipa nalog: • iskanje splošne rešitve npr. enačba splošna rešitev • začetni problem iščemo rešitev enačbe, ki ima v nekih točkah predpisane funkcijske vrednosti (in morda vrednosti odvodov) npr. začetni problem rešitev

9. V družini krivulj gre le ena skozi točko (0,3). V dvoparametrični družini krivulj je le ena, ki gre skozi izhodišče in ima tam tangento s smernim koeficientom 2.

10. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami V diferencialni enačbi 1. reda lahko ločimo spremenljivki, če jo lahko zapišemo v obliki Primeri nista enačbi z ločljivimi spremenljivkami

11. Praktično navodilo: v diferencialni enačbi pišemo , prestavimo vse x na eno stran enačbe, vse y na drugo stran enačbe in potem integriramo vsako stran posebej. Reševanje enačb z ločljivimi spremenljivkami U(y) primitivna funkcija za u(y) V(x) primitivna funkcija za v(x) implicitna oblika splošne rešitve

12. A ∈ ℝ Primeri spremenljivk se ne da ločiti! nova spremenljivka:

13. Začetni problem pri enačbah z ločljivimi spremenljivkami Primer

14. Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopajo odvodi iskane funkcije. • Rešitev DE je funkcija y=y(x), ki za vse x ustreza enačbi. Število prostih parametrov, od katerih je odvisna rešitev je enako redu enačbe. • Geometrično je rešitev DE vsaka krivulja, ki je tangentna na polje smeri. • Začetni problem je iskanje rešitve DE, ki ustreza nekim začetnim pogojem. • DE z ločljivimi spremenljivkami rešimo tako, da ločimo spremenljivki in potem integriramo vsako stran enačbe posebej.

15. Primer modeliranja z DE Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo. y0........... začetna koncentracija tripsina y(t) ........... koncentracija tripsina v času t y’=ky...........hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji rešitev: y=y0ekt začetni problem: Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato model popravimo.

16. Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo začetni problem: Logistična krivulja: model predvideva, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

17. Logistična krivulja je dober model za omejeno rast, vendar ni vedno povsem ustrezna. Npr. pri tumorjih število rakastih celic najprej narašča eksponencialno, potem pa se rast umiri in sčasoma ustavi. S poskusi so ugotovili, da krivulja naraščanja ni logistična temveč t.im. Gompertzova krivulja (ena od vidnih razlik je, da pri njej prevoj nastopi precej prej kot pri logistični). Gompertzova funkcija

18. Diferencialna enačba pomeni, da število rakastih celic narašča sorazmerno z velikostjo tumorja, vendar se sorazmernostni faktor spreminja s časom. Vzroke za spremembo razlagajo različno: Eksperimentalno ugotovljeno zakonitost poskušamo razložiti tako, da pogledamo, kateri diferencialni enačbi ustreza Gompertzova funkcija. a s staranjem se reproduktivna moč celic zmanjšuje reproduktivni faktor se ne spreminja, vendar je naraščanje sorazmerno le z delom števila celic v tumorju, ker se v notranjosti tumorja ustvari nekrotično območje

19. rešitve homogene LDE 1.reda so oblike , kjer je A(x) primitivna funkcija zaa(x). • je rešitev splošne LDE 1.reda Linearne diferencialne enačbe 1. reda splošna LDE 1.reda homogena LDE 1.reda Velja: • poljubni rešitvi LDE 1.reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. • splošna rešitev LDE 1.reda je oblikey=yP+yH

20. Reševanje LDE 1. reda: • izračunamo primitivno funkcijo A(x) za a(x); • izračunamo integral ; • splošna rešitev enačbe je Primer

21. E(t) vir napetosti: Primer LDE 1.reda RL- električni krog konstantni vir napetosti E: padec napetosti na tuljavi: EL=LI’ L R padec napetosti na uporu: ER=RI Kirchhoffov zakon:E=ER+EL

22. Začetni problem za LDE 1.reda izračunamo: rešitev: Primer

23. L E(t) R Primer izmenični vir napetosti:

24. Začetni problem ima edino rešitevy(x)=x+1. • Začetni problem ima neskončno rešitev oblikey(x)=Cx+1. Primeri Rešljivost DE 1. reda • Začetni problemnima rešitev, ker je edina rešitev enačbe dana z y(x)=0.

25. Rešitev začetnega problema lahko zapišemo v integralski obliki ki je primerna za približno reševanje. numerična metoda za reševanje DE 1.reda Picardova iteracijska metoda zadostni pogoji za obstoj in edinost rešitve DE 1.reda (Podobno smo pri Newtonovi metodi enačbo f(x)=0 preoblikovali v x=g(x).)

26. Privzemimo, da obstaja limitna funkcija ; tedaj je Tvorimo zaporedje funkcij y0(x), y1(x), y2(x),... po rekurzivnem pravilu: Za vse n velja: (če je f zvezna in če smemo odvajati limito) in limitna funkcijay(x)je rešitev začetnega problema.

27. Primer ...... Taylorjeva vrsta za funkcijo y(x)=ex.

28. Primer Picardove iteracije za začetni problem 0 1 2 ...... 3

29. Če staf(x,y) in fy’(x,y)zvezni na neki okolici točke(x0,y0) potem začetni problem ima natanko eno rešitev y=y(x) na neki okolici točke x0. Pri določenih pogojih Picardove iteracije konvergirajo proti rešitvi začetnega problema, dobljena rešitev pa je enolična. Primer Rešitve ni vedno mogoče podaljšati na celo realno os!

30. Linearne diferencialne enačbe 2.reda splošna LDE 2.reda homogena LDE 2.reda Velja: • poljubni rešitvi LDE 2.reda se razlikujeta za rešitev pripadajoče homogene enačbe. • splošna rešitev LDE 2.reda je oblikey=yP+yH , kjer je yP neka rešitevsplošne enačbe, yH pa poljubna rešitev homogene enačbe.

31. če sta y1 in y2 rešitvi homogene enačbe, potem je tudi c1y1+c2y2 rešitev homogene enačbe. (principsuperpozicije) funkciji y1 in y2 sta neodvisni, če nobena ni večkratnik druge • če sta y1 in y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe, potem lahko vse rešitve homogene enačbe zapišemo kot superpozicijo y1 in y2. (sledi iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb) yH=c1y1+c2y2

32. Če sta y1, y2 neodvisni rešitvi homogene enačbe , potem lahko dobimo rešitev splošne enačbe , ki je oblike . dodatni pogoj: = 0 = 0 rešimo sistem linearnih enačb integriramo

33. Če je y1 ena rešitev homogene enačbe , lahko dobimo še eno neodvisno rešitev oblike y2=uy1 Homogena LDE 1. reda za u’ u (A(x) primitivna funkcija za a(x))

34. Reševanje LDE 2.reda: • Drugo rešitev homogene enačbe dobimo v obliki , kjer je • Partikularno rešitev splošne enačbe dobimo v obliki , • kjer u in vdoločimo iz sistemaenačb • Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe • Splošna rešitev enačbe je oblike y=yP+c1y1+c2y2.

35. Primer HOMOGENA • eno rešitev uganemo: y1=x • druga rešitev: SPLOŠNA

36. LDE 2. reda s konstantnimi koeficienti • preprosto rešljiva homogena enačba • lažje računanje posebne rešitve • Primeri uporabe: • nihanja • električna vezja • modeliranje metabolizma .......

37. HOMOGENA ENAČBA Poskušamo z nastavkom: y=erx(analogija z LDE 1.reda) par realnih ničel dvojna realna ničla par konjugiranih kompleksnih ničel

38. 1.primer: par realnih ničelr1,r2: bazični rešitvi: splošna rešitev: 2.primer: dvojna realna ničlar bazični rešitvi: drugo bazično rešitev dobimo z nastavkom splošna rešitev:

39. 3.primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α-iβ potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije superpozicija rešitev je tudi rešitev ⇒ bazični rešitvi splošna rešitev

40. Primeri

41. NEHOMOGENA ENAČBA 1.način rešitev iščemo v obliki in dobimo preprosto rešljiv sistem kjer je Primer karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: partikularna rešitev: splošna rešitev:

42. 2.način Za nekatere pomembne primere desnih strani lahko na podlagi izkušenj uganemo obliko rešitve in računamo le neznane koeficiente. Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x (oz. z x2, če ima karakteristični polinom dvojno ničlo). Superpozicija: če je desna stran vsota izrazov iz levega stolpca tabele, potem tudi za nastavek vzamemo ustrezno vsoto.

43. Primer rešitve homogene: nastavek: partikularna rešitev: splošna rešitev:

44. Primer karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: ker sta ex in xex rešitvi homogene enačbe, nastavek: partikularna rešitev: splošna rešitev:

45. Reševanje LDE 2.reda s konstantnimi koeficienti • Rešimo karakteristično enačbo • Na podlagi rešitev določimo bazične rešitve homogene enačbe • Nehomogeno enačbo rešimo z nastavkom Izjema: če je nastavek za yP rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x ali z x2. • Splošna rešitev je y=yP+c1y1+c2y2.

46. NIHANJA y0 y y-y0 y=y(t) odmik od ravnovesne lege y’(t)hitrost y’’(t)pospešek mg=ky0 ravnovesna lega obremenjene vzmeti my’’ =mg-ky homogena LDE za odmik od ravnovesne lege sile, ki delujejo na utež nehomogena LDE 2. reda

47. periodično nihanje z amplitudoL in frekvenco • frekvenca je odvisna le od mase uteži in trdote vzmeti, ni pa odvisna od amplitude Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege. Kako bo zanihala? (privzamemo veljavnost Hookovega zakona, zanemarimo upor in maso vzmeti) enačba prostega nihanja (isto enačbo dobimo, če obravnavamo nihalo in pri majhnih kotih nadomestimo sinx z x) harmonično nihanje

48. Dušeno nihanje: sila dušenja je sorazmerna hitrosti (če hitrost ni prevelika) in ima nasprotno smer. koeficient dušenja enačba dušenega nihanja kar. enačba: rešitve kar. enačbe:

49. (koeficient dušenja je majhen) Če je koeficient dušenja dovolj majhen, vtež niha z amplitudo, ki eksponentno vpada s časom. Frekvenca nihanja je konstantna in je nekoliko manjša od frekvence nedušenega nihanja.

50. (koeficient dušenja je velik) Pri velikem koeficientu dušenja se vtež bodisi preprosto vrne v ravnovesno lego in v njej obmiruje ali pa enkrat zaniha in potem obmiruje v ravnovesni legi. (mejni primer) V mejnem primeru se zgodi enako kot v primeru velikega koeficienta dušenja.