DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS 1) Energia e co-energia magnética

1. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS 1) Energia e co-energia magnética Considere uma bobina de N espiras enroladas sobre um núcleo ferromagnético tal como mostrado na figura abaixo: A fonte de tensão variável no tempo estabelecerá uma corrente na bobina que produzirá um fluxo variável no núcleo. FLUXO VARIÁVEL FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA

2. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS A fem será induzida em cada espira do enrolamento produzindo uma fem total que pode ser considerada como uma elevação de tensão no sentido do fluxo de corrente. Ou como uma queda de tensão no sentido da corrente denominada de força contra-eletromotriz (fcem) cuja magnitude é:

3. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS As formas acima expressam a mesma lei (Faraday-Lenz). Na parte superior da figura (a) observa-se que a polaridade da fem induzida é tal que produz uma corrente (se a espira estiver em curto-circuito) de tal maneira que o fluxo induzido (produzido por esta) está no mesmo sentido do fluxo indutor Φ(t) e é porissoque se faznecessárioincluir o sinal (-) naexpressão da fem.

4. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS O sinal (-) na fem serve para atender a lei de Lenz de oposição a variação de fluxo magnético. No caso da figura inferior se observa que a polaridade da fem induzida é contrária a do caso anterior. Nesta situação a corrente induzida na espira cujo o fluxo induzido se opõe ao fluxo principal Φ(t). É poressemotivoquenão é necessárioincluir o sinal (-) na fem, jáque com a polaridadeassociada se obtém um fluxoinduzidoque é contrárioaofluxo principal. Aplicando a lei de Kirchhoff no circuito resulta em: A equação (4) pode ser escrita de outro modo:

5. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS dWe = diferencial de energia de entrada dWR= diferencial de energia dissipada na resistência R dWm = diferencial de energia armazenada no campo magnético A equação 5 representa o balanço energético do circuito ou simplesmente a lei da conservação da energia. O diferencial de energia magnética pode ser escrito como: Supondo que no instante t=0 o fluxo no núcleo é nulo e a corrente seja nula, a energia magnética total fornecida pela fonte é:

6. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS CO-ENERGIA A co-energia pode ser definida da seguinte forma: A co-energia não possui significado físico direto, porém tem grande aplicação no cálculo de forças nos dispositivos eletromagnéticos.

7. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS CO-ENERGIA A soma da energia mais a da co-energia magnética equivale a área do retângulo F.Φ. Sabendo-se que: A densidade de energia pode ser calculada por:

8. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS Sabendo-se que: A densidade de co-energia magnética é dada por: Quando a curva de magnetização é considerada linear, os resultados anteriores dão lugar a expressões mais simples. Nesse caso o valor da energia e o valor da co-energia são iguais e dado por:

9. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS De mesmo modo as densidades de energia e de co-energiasão: Sabe-se também que a indutância pode se calculada através de: E que: E a energia e a co-energia dadas por:

10. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS PERDAS DE ENERGIA EM NÚCLEOS FERROMAGNÉTICOS Existem dois tipos de perdas de energia associada em núcleos ferromagnéticos: característica de histerese do material (perdas por histerese) e correntes induzidas no núcleo (perdas por correntes parasitas). Perdas por histerese

11. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS Se considerarmos que a indução no núcleo varia desde –Br até Bmseguindo o trecho da curva (abc) ocorrerá um aumento da indução no núcleo o que corresponde a uma energia absorvida pelo campo magnético e armazenada durante parte do ciclo. A integral w1 representa a área da superfície abcdea. Considerando que a indução é reduzida de Bm(ponto c) até Br (ponto e ) seguindo o trecho (ce) da curva de histerese, então resultará em uma energia devolvida a rede durante parte do ciclo porque é negativa e cujo valor é dado por: A área cdec representa a densidade de energia correspondente que é valor w2 na fórmula acima.

12. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS A área cdec representa a densidade de energia correspondente que é valor w2 na fórmula abaixo. Quando se submete o núcleo a uma indução crescente entre –Br e Bm seguindo o caminho abc e logo a outra indução entre decrescente entre Bm e Br seguindo o caminho ce, a superfície resultante <<abcea>> representará a densidade de energia absorvida pelo núcleo ferromagnético com a excitação cíclica e que não é devolvida a rede, sendo esta dissipada no núcleo em forma de calor.

13. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS Circuitos magnéticos excitados por corrente alternada A Lei de Hopkinson expressa pela equação: Em que: Φ – fluxo magnético F- força magnetomotriz R – Relutância magnética Se considerarmos o circuito magnético da figura abaixo:

14. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS Se considerarmos o circuito magnético da figura abaixo: A bobina acima possui resistência (Rb). Ao aplicar uma tensão contínua na bobina será produzido de acordo com a lei de Ohm uma corrente dada por: Essa corrente produzirá uma força magnetomotriz e que dependendo do valor da relutância magnética determinará um fluxo resultante.

15. DISPOSITIVOS ELETROMAGNÉTICOS Verifique abaixo a sequência: Observe que quando uma excitação cc é aplicada em uma bobina, a corrente é função da tensão aplicada, porém é absolutamente da natureza e características magnéticas do material que constitui o núcleo. Suponha agora que a bobina é alimentada por uma tensão senoidal:

16. Circulará uma corrente i(t) que provocará um fluxo Φ(t) no núcleo. Este fluxovariávelproduziráuma fem induzidanabobina de tal forma queao se aplicar a lei de Kirchhoff resultaem: Supondo que a queda de tensão na bobina seja pequena quando comparada com a fem induzida, então a equação pode ser escrita como: De onde se tem o valor do fluxo magnético:

17. A constante de integração é nula sempre que se considera que em t=0 não existe magnetismo residual no núcleo. A equação pode ser escrita na maneira clássica como: E o fluxo máximo vale: Então:

18. É importante destacar aqui que a tensão aplicada e a frequencia impõem o valor do fluxo no núcleo e que com o valor da relutância magnética do núcleo terá uma corrente absorvida pela bobina. OBS: Quando uma bobina é alimentada por uma tensão c.a, o fluxo é função direta do módulo e da frequência da tensão aplicada, mas é independente da natureza e das características magnéticas do material que constitui o núcleo. Se considerarmos que houve um aumento da relutância magnética ( por ter acrescentado um entreferro) não haverá nenhuma mudança do valor do fluxo, entretanto a bobina absorverá mais corrente da rede para manter o fluxo constante no valor imposto pela tensão aplicada.

19. Circuito equivalente de uma bobina com núcleo de ferro • alimentada por uma tensão c.a • Como demonstramos anteriormente, o fluxo no núcleo é independente da natureza do material magnético, logo os efeitos da saturação e da histerese terão influência na corrente absorvida. • Consideraremos incialmente o circuito magnético linear, o que vale dizer que o sistema possui permeabilidade constante. • Para determinar o circuito equivalente de uma bobina com núcleo de ferro, é preciso considerar duas situações: • O núcleo não apresenta perdas no ferro • O núcleo apresenta perdas no ferro

20. Se considerarmos que o núcleo magnético não apresenta perdas e supomos que a resistência pode ser desprezada, a potência absorvida pela bobina é nula. De acordo com a fórmula abaixo: Sabendo-se que: Supondo permeabilidade constante:

21. O diagrama fasorial é mostrado abaixo: Comparando com a tensão de uma bobina de coeficiente de auto-indução L conduzindo uma corrente iiex. Isto indica que L pode ser expressado por:

22. Conclui-se que o circuito equivalente de uma bobina de ferro pode ser representado por uma auto-indutância. Vamos apresentar agora o caso em que o núcleo magnético apresenta perdas: No caso em que o núcleo magnético apresenta perdas, a corrente de excitação fará um ângulo de 90º com a tensão e a potência ativa absorvida da rede deve compensar as perdas.

23. Se denominarmos φv o ânguloque é formado entre a tensão e corrente, e quePfesão as perdas no ferro, então: Pode-se observar que a corrente de excitação possui duas componentes: uma componente de perdas no ferro e a outra denominada de corrente magnetizante. Elas podem ser calculadas por:

24. O circuito equivalente para o núcleo considerado com perdas e com permeabilidade constante é mostrado abaixo. A potência absorvida pode ser representada por uma resistência, denominada de resistência de perdas e a corrente magnetizante defasada de 90º em relação à tensão aplicada circular por uma reatância denominada de reatância magnetizante.

25. Corrente de excitação em uma bobina com núcleo de ferro alimentada com c.a Anteriormente, a determinação da corrente de excitação foi obtida supondo um circuito magnético linear de permeabilidade constante o que se permitiu obter expressões simples que relacionam tensão e corrente ou fluxo e corrente. A linearidade implica diretamente que se a tensão aplicada for senoidal a corrente e o fluxo são também senoidais. Entretanto, a curva de magnetização dos materiais magnéticos é não-linear e ponto de trabalho normal das máquinas elétricas está perto do joelho da curva, o qual exerce grande influência na forma da corrente de excitação deixando de ser senoidal e para sua determinação é necessário a utilização de ferramenta gráfica, por ser impossível utilizar técnicas analíticas. Para determinação da forma de onda da corrente de excitação é necessário considerar dois casos: 1) Núcleo sem perdas 2) Núcleo com perdas

26. Corrente de excitação em uma bobina com núcleo de ferro alimentada com c.a 1) Núcleo sem perdas A relação neste caso entre fluxo Φ e corrente de excitaçãoIexc se obtémgraficamente a partir da curva de magnetização do material, ondeemvez de empregar a indução no eixo y, se utiliza o fluxoΦ=B x A, e no eixo das abcissas se utiliza H= Niexc / l. Observe a figura no slide seguinte: A curva de magnetização do material consiste no gráfico Φ=f(iiexc ). Na outrafiguraobserva-se a forma da onda do fluxo e da tensão. Observa-se que a forma da onda da corrente é não-senoidal e podeserdecompostaemserie de Fourier demonstrandosercompostaporharmônicosímpares.

28. 2) Núcleo com perdas

29. CONVERSÃO DE ENERGIA EM SISTEMAS MAGNÉTICOS COM MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO Anteriormente (link) ficou definido que um campo magnético armazena energia. Por outro lado, o campo magnético exerce forças mecânicas nas estruturas ou partes das estruturas associadas com ele. Estas propriedades fazem com que o campo magnético seja utilizado como meio de ligação entre as partes elétricas e mecânicas de muitos dispositivos eletromecânicos e em particular as máquinas elétricas que dispositivos que convertem energia. Considere o seguinte sistema magnético dotado de movimento de translação: Quando circula uma corrente pela bobina de excitação, é estabelecido um fluxo magnético no núcleo que provoca uma força de atração sobre a armadura móvel, o reduz o entreferro central com a redução da relutância do circuito magnético e com a consequente e da variação da energia magnética armazenada.

30. Se a armadura móvel se desloca para a esquerda desde uma posição inicial x=x1 para uma posição final x2 = x-dx, o princípio da conservação da energia aplicado ao sistema estabelece a seguinte equação:

31. Em que: - variação da energia elétrica absorvida - variação da energia magnética armazenada - variação da energia mecânica devida ao movimento da armadura móvel - variação da energia perdida Essa equação corresponde a lei da conservação da energia aplicada em um sistema motor, ou seja, uma transformação da energia elétrica em mecânica. Considerando que as perdas sejam desprezíveis: Essas perdas correspondem a: Perdas por efeito joule na bobina, perdas no ferro do núcleo magnético (histerese e correntes parasitas) ; perdas mecânicas no deslocamento da armadura móvel.

32. Desprezando as perdas resulta que:

33. Desprezando as perdas resulta que: Nafigura do slide anterior existem duas curvas de magnetização, uma para cada posição da armadura móvel, ou seja, a curva de magnetização depende da distância (x). Se considerarmos um fluxo constante definido por Φ1, para a posiçãoinicial x1 = x, necessita-se de uma forçamagnetomotriz maior. Se o fluxo for constante, a menor relutância corresponde a menor fmm. Ao considerar uma força magnetmotriz constante, o fluxo é tanto maior quanto menor for a relutância do circuito magnético (menor entreferro). Se supormos uma situação inicial com entreferro x1 = x e um fluxo no núcleo igual a Φ1 a energiamagnéticaarmazenadaseráexpressaporoaco. Quando se desloca a armaduramóvel, a posiçãomuda de x1 a x2 . A localização do novo ponto de trabalho (novo estado) depende de como é efetuado o deslocamento.

34. MOVIMENTO SE REALIZA COM FLUXO CONSTANTE Essa situação é obtida ajustando a corrente durante o movimento ou considerando que o deslocamento do núcleo é suficientemente rápida para que não haja tempo de variar o fluxo durante o deslocamento. Nesse caso, a energia elétrica absorvida da rede será nula. Como não há variação do fluxo durante o movimento isto indica então que dWe = 0. Então: A fórmula indica que o trabalho mecânico se realiza apenas devido a redução da energia magnética armazenada.

35. Se o fluxo permanece constante durante o movimento da armadura móvel, o novo estado de equilíbrio corresponderá ao ponto b da figura abaixo: Para o qual a energia magnética armazenada neste estado final é expressa pela área obco. Prova-se então que ocorre uma redução da energia magnética durante a translação expressa pela área oabo. Essa variação ocorrida na energia magnética será igual ao trabalho mecânico realizado.

36. Se a força de atração for designada por f, então o trabalho mecânico produzido dado por: OBS: A FORÇA MECÂNICA SOBRE A ARMADURA MÓVEL TENDE A REDUZIR A ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA NO CIRCUITO MAGNÉTICO, E ISTO OCORRE QUANDO SE REDUZ O ENTREFERRO E CONSEQUENTEMENTE O SENTIDO DA FORÇA EXERCIDA SOBRE A ARMADURA MÓVEL É SEMPRE DE ATRAÇÃO. Se as curvas de magnetização da figura [ link] forem retas, o que ocorre na prática quando os entreferros são grandes, a expressão da energia magnética armazenada é:

37. A força sobre a armadura móvel ocorrerá no sentido da redução da relutância do circuito magnético. MOVIMENTO SE REALIZA COM CORRENTE CONSTANTE Esta situação é estabelecida quando o movimento da armadura móvel é suficientemente lento. Verifique a figura abaixo:

38. A posição inicial corresponde ao ponto (a), cujo fluxo é Φ1 e o novo estado de equilíbriocaso a corrente se matenhaconstantecorresponderáaoponto (e)., no qual o fluxo tem valor Φ2 . Aoexistirumavariação do fluxo no sistema, existiráconsequentementeumavariação de energiaelétrica de entradanabobinadurante a transição de um estadopara outro. Aplicando o princípio da conservação da energia resulta que: Sabe-se também que: Diferenciando a equação anterior resulta em:

39. Fazendo as devidassubstituiçõesresultaem: Fazendo as simplificações e levando em conta que dF=0 no deslocamento (pois a força magnetomotriz é constante), resulta em: ISTO INDICA QUE O TRABALHO MECÂNICO REALIZADO SE DÁ EM FUNÇÃO DO AUMENTO DA CO-ENERGIA MAGNÉTICA ARMAZENADA.

40. Sabendo-se que a co-energiainicial é dada pelaárea (odao) e a co-energia final é dada pelaárea (odeo). A variação da co-energia é a diferença entre a co-energia final e a co-energiainicialdada pelaáreahachuradae quesegundo a fórmula define também o trabalhodesenvolvido no movimento. A expressão da forçaemfunção da co-energia é dada entãopor: Considerando o sistema linear, então: Em que P é denominada de permeância que é o inverso da relutância.

41. EXERCÍCIOS

42. CONVERSÃO DE ENERGIA EM SISTEMAS MAGNÉTICOS COM MOVIMENTO DE ROTAÇÃO MÁQUINAS ELÉTRICAS ROTATIVAS Em geral as máquinas elétricas são dispositivos eletromagnéticos dotados de movimento de rotação. Para analisar a conversão de energia nestes sistemas, vamos considerar duas situações que ocorrem frequentemente na prática. A primeira em que o sistema dispões de uma fonte de alimentação apenas e a segunda em que o sistema magnético dispões de várias fontes de alimentação, normalmente duas. 1) Sistemas magnéticos de rotação alimentados com uma fonte apenas

43. 1) Sistemas magnéticos de rotação alimentados com uma fonte apenas De maneira semelhante ao movimento de translação, se considerarmos que a rotação ocorre com fluxo constante, a equação demonstrada para o movimento de translação é válida aqui também.

44. A equação que exprime o princípio da conservação da energia é dada por: Sabendo-se que o primeiro membro está relacionado com a energia mecânica, então: De onde deduz-se que: Se o sistema é considerado linear, o equivale a supor que a única relutância que existente corresponde a do entreferro, então: Substituindo na fórmula do torque resulta em:

45. Substituindo na fórmula do torque resulta em: A FÓRMULA INDICA QUE O CONJUGADO ATUA NO SENTIDO DE REDUZIR A RELUTÂNCIA ENTRE O ESTATOR E O ROTOR, OU SEJA, EXISTE UMA TENDÊNCIA DE ALINHAMENTO DO EIXO MAGNÉTICO DO ROTOR COM O EIXO MAGNÉTICO DO ESTATOR. Se o movimento é realizado com corrente constante (força magnetomotriz constante) , as equações se transformam em: É fácil demonstrar que tanto a relutância quanto a permeância e a indutância é função do ângulo θque forma o estator com o rotor.

46. De maneira semelhante, a indutância será mínima quando o eixo do rotor forme um ângulo de 90º (eixo em quadratura) com o eixo do estator. Denominando Lq a esse valor de indutância, segue que: A figura seguinte mostra a variação da indutância com o ângulo θquevaria entre Lde Lqseguindo uma lei senoidal.

47. A indutância pode ser dada matematicamente por uma lei senoidal: Em θ=0, estabeleceque: Em Emθ=90o, estabeleceque: As indutâncias L1 e L2 são funções das indutâncias Ld e Lq .

48. Substituindo as expressões na fórmula do torque resulta em: O torque será igual a: Se Ld = Lq não ocorrerá nenhum torque. Isto ocorre quando o entreferro é constante, ou seja, rotor do tipo cilíndrico. Se considerarmos que a corrente de alimentação é constante (tipo cc) e supões que o rotor se desloca da posição horizontal de um ângulo θemdireçãocontráriaaoponteiro do relógio, aparecerá um conjugadorestauradororientado no sentido dos ponteiros do relógio.

49. Em outras palavras: se a corrente for constante o conjugado exercido sobre o rotor não é unidirecional e está orientado no sentido contrário ao qual o rotor tende a se mover. O rotor ficará estacionário em sua posição horizontal (mínima relutância). Suponha agora que o rotor se move (acionado por um motor externo) a uma velocidade ωm ; então a posição do rotor é dada por: Se nesta situação, o estator for alimentado por uma corrente senoidal: Então de acordo com será produzido um torque.

50. Levando em conta que: E que: Substituindonaexpressão do torque resultaem: E sabendo-se que a identidade trigonométrica: