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DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉ ET CONGRUENCES DANS Z

DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉ ET CONGRUENCES DANS Z. présentation du chapitre. Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ?. On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels.

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DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉ ET CONGRUENCES DANS Z

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Presentation Transcript

  1. DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉET CONGRUENCES DANS Z présentation du chapitre

  2. Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ? On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels .

  3. SUR LES NOMBRES PREMIERS • En nombre infini > Démonstration d’Euclide « Les Grecs ont été les premiers à parler un langage compréhensibles par les mathématiciens actuels. Les mathématiques grecques sont intemporelles, davantage même que la littérature grecque » ( Littlewood, mathématicien anglais ) • A la source de tous les records> Supercalculateurs La recherche est axée sur l’étude des nombres de Mersenne ( de la forme 2n - 1 ) entiers pour lesquels on connaît désormais des tests de primalité efficaces . • De plus en plus rares > Un résultat paradoxal • Le nombre de nombres premiers inférieurs à x divisé par x tend vers zéro ! La formule indiquant qu’au voisinage du nombre x la proportion des nombres premiers est de l’ordre de ln(x)/ x a été conjecturée vers 1792 par Gauss, le prince des mathématiciens, mais démontrée seulement en 1896 .

  4. QUELQUES IDÉES GÉNÉRALES • Point de vue théorique > Généraliser des concepts Substitution de la notion de congruence à celle d’égalité On dira que deux nombres sont égaux modulo n, s’ils ont même reste dans la division euclidienne par n . C’est l’égalité sur une horloge où, après douze heures, l’indication est identique à l’heure de départ . Cette théorie permet notamment de justifier tous les critères de divisibilité et plusieurs tours de cartes . • Arithmétique modulaire > Créer de nouveaux théorèmes • Connaissance accrue des nombres entiers premiers Gauss démontra de nombreux résultats observés par ses prédécesseurs dont Leibniz, Fermat et Wilson . Un ancien traité chinois datant du XVIIIe siècle, nommé Suhanshu, indique un très beau théorème ( celui dit des restes chinois très connu des élèves de CP ) qui n’était pas connu des Grecs .

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