Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół nr 5 Gimnazjum nr 40 • ID grupy: …98/13_MF_ G2 • Opiekun: …Ewa Mika - Królik • Kompetencja: • matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Od równań liniowych do stycznych do krzywych drugiego stopnia • Semestr/rok szkolny: sem II rok szkolny : 2011/2012

3. Wstęp • Równanie jest dla matematyka mniej więcej tym, czym dla kupca waga. Załóżmy, że każde jabłko na straganie z owocami waży dokładnie 200g. Klient chce nabyć 3 kg jabłek. Sprzedawca kładzie ciężarek 3 kilogramowy na jednej szalce wagi. Na drugiej szalce kładzie jabłka tak długo, dopóki obie szalki nie znajdą się w równowadze. Sprzedawca wprowadził zatem pomiędzy obiema szalkami równość ( co do masy). • Matematyk rozwiązuje problem za pomocą równania. Wie, że jedno jabłko waży 200 g. Chcąc wyznaczyć, ile jabłek wazy razem dokładnie 3 kg =3000 g , rozważa następujące równanie: • 200 g·x= 3000g • Jeśli podstawimy za x wartość 15 , to obie strony będą dokładnie tyle samo „ważyły” tzn. 3000 g. Równanie jest zatem pewnego rodzaju „matematyczną wagą”, przy czym waga musi być zawsze w równowadze.

4. Spis treści 4.Rozwiązanie graficzne układu równań, z których jedno jest liniowe, a drugie- kwadratowe 5. Krzywe w kosmosie 6. Zadania: równania, układy równań, proporcje… 7.ciekawostki i trochę z historii równań 8. Podsumowanie • 1. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą 1.1 Co to jest równanie 1.2 Co to jest pierwiastek równania 1.3 Co to znaczy rozwiązać równanie 1.4 Rodzaje równań ze względu ze względu na liczbę rozwiązań 1.5 Równania równoważne 1.6 Matematyczna waga – prezentacja • 2. Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne • 3.Układy równań • 3.1 Co nazywamy układem równań • 3.2 Gdzie stosuje się układy równań 3.4 Rodzaje układów ze względu na liczbę rozwiązań

5. 1. Równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą • 1.1 Co to jest równanie • Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem równości nazywa się równaniem, gdy poszukuje się takich wartości liczbowych zmiennych, przy których otrzymana równość dwóch liczb jest prawdziwa. Mówimy wtedy, że te wartości zmiennych spełniają równanie.

6. Każdą zmienną w równaniu można też nazwać niewiadomą. Te wartości zmiennych, które spełniają równanie, nazywa się rozwiązaniem równania. Jeśli w równaniu występuje tylko jedna zmienna, to powiemy, że jest to równanie z jedną niewiadomą. Jeśli w równaniu występują dwie zmienne, to powiemy, że jest to równanie z dwiema niewiadomymi. I tak dalej z wieloma niewiadomymi. Tak więc rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą jest jedna liczba, z dwiema niewiadomymi jest para liczb itd.

7. 1.2 Co to jest pierwiastek równania? • Mówimy, że liczba spełnia równanie, gdy podstawiając ją w miejsc niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą. • Liczbę tę nazywamy • pierwiastkiem równania

8. Dane jest równanie: • 2·x+3=15 • Liczba x=6 jest pierwiastkiem równania, gdyż po wstawieniu w miejsce niewiadomej spełnia to równanie • L=2·6+3=12+3=15 • P=15 • L=P

9. 1.3 Co to znaczy rozwiązać równanie • Rozwiązać równanie to znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki • (liczby, które je spełniają) lub uzasadnić, że ich nie ma. • Reguły postępowania przy rozwiązywaniu równań: • 1) Do obu stron równania można dodać takie samo wyrażenie. • 2) Od obu stron równania można odjąć takie samo wyrażenie. • 3) Obie strony równania można pomnożyć przez taką samą liczbę różną od zera. • 4) Obie strony równania można podzielić przez taką samą liczbę różną od zera. • Rozwiązując równanie dążymy do tego, aby po jednej stronie równania znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby.

10. Przykład • Rozwiąż równanie: • Sprawdzam, czy liczba 11 spełnia równanie: • Odp.: Rozwiązaniem równania jest liczba 11.

11. 1.4 Rodzaje równań ze względu na liczbę rozwiązańRównanie może:• mieć jedno rozwiązanie (jeden zbiór rozwiązań),x + 5 = 1 x = 1 – 5 x = -4• mieć nieskończenie wiele rozwiązań – nazywamy je wówczas równaniem tożsamościowym,2(x + 1) = 2x + 2 2x + 2 = 2x + 22x – 2x = 2 – 20 = 0•nie mieć rozwiązań – wówczas jest to równanie sprzeczne.3x – 5 = 3x + 4 3x – 3x = 4 + 5 0 = 9

12. 1.5 Równania równoważne • Równania nazywamy równoważnymi, jeśli mają to samo rozwiązanie. Równania: 2x – 4 = 8 i x + 1 = 7 są równoważne, gdyż rozwiązaniem obydwu jest liczba 6.2 • 6 – 4 = 8 i 6 + 1 = 7 • Metoda równań równoważnychpolega na takim przekształcaniu danego równania, aby na każdym etapie otrzymywać równanie prostsze, lecz równoważne danemu. Dochodząc w końcu do równania, którego rozwiązanie jest znane, mamy pewność, że jest to rozwiązanie równania wyjściowego. 

13. .Rozwiązując równania  możemy korzystać z następujących twierdzeń: I. Do obu stron równania możemy dodać dowolną liczbę lub całe wyrażenie i otrzymamy równanie równoważne. Jeżeli od każdej ze stron równania odejmujemy liczbę, to korzystamy wówczas z tego samego twierdzenia (dodajemy liczbę przeciwną do obu stron równania).

14. Przykład: • Rozwiąż równanie: 3x-3=2x-1Do obu stron równania dodajemy liczbę 3 (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy liczbę 3 na drugą stronę):  • 3x=2x-1+3 • 3x=2x+2Do obu stron równania dodajemy -2x (lub łatwiej powiedzieć: przenosimy 2x na drugą stronę): • 3x-2x=2 x=2Otrzymaliśmy rozwiązanie: x=2

15. II. •  Obie strony równania możemy pomnożyć (a więc i podzielić, czyli pomnożyć przez odwrotność tej liczby) przez dowolną liczbę różną od zera lub całe wyrażenie, które nie przyjmuje wartości zero i otrzymamy wówczas równanie równoważne.Aby śledzić tok rachunków, działanie takie zwykle zapisujemy za równaniem po ukośniku. • Rozwiązujemy równanie: 3x=6 • 3x=6 /:3 (dzielimy obie strony równania przez 3)x=2

16. 1.6 matematyczna waga (włącz prezentację!!)

17. 2. Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne 2.1 Wielkości wprost proporcjonalne - to dwie zmieniające się wielkości w taki sposób, że wzrost jednej powoduje wzrost drugiej o tyle samo. F=m·g

18. Przykłady proporcjonalności prostej: • długość przekątnej w kwadracie jest wprost proporcjonalna do długości boku kwadratu. • Zarobek jest proporcjonalny do czasu pracy. • w ruchu ze stałą prędkością przebyta droga jest wprost proporcjonalna do czasu jazdy. • wartość towaru zakupionego na wagę (przy danej cenie za jednostkę wagi) jest wprost proporcjonalna do ich wagi.  • przy ustalonej stawce podatku jego wartość jest wprost proporcjonalna do kwoty, która podlega opodatkowaniu

19. 2.2 Wielkości odwrotnie proporcjonalne to dwie zmieniające się wielkości w taki sposób, że wzrost jednej powoduje zmniejszenie się drugiej. • Wykres proporcjonalności odwrotnej to jedno z ramion hiperboli, dla a = 1 wygląda on następująco:

20. Przykłady proporcjonalności odwrotnej: • Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do jej częstotliwości • długości boków prostokąta o stałym polu są odwrotnie proporcjonalne • Wraz ze wzrostem szybkości samochodu maleje czas przejazdu • ilość towaru zakupionego za określoną sumę pieniędzy jest odwrotnie proporcjonalna do ceny tego towaru. Jeżeli cena towaru będzie większa, to mniej kupimy. 

21. 3.Układy równań 3.1 Co nazywamy układem równań Dwa równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, które spełniają jednocześnie oba równania, nazywamy układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. Układ taki oznaczamy nawiasem klamrowym. np.

22. 3.2 Gdzie stosuje się układy równań • Jedną z dziedzin , w której szeroko korzysta się z układów równań, jest programowanie liniowe. • Programowanie liniowe znajduje liczne zastosowania w wojskowości, technice i przemyśle, gdzie dokładność i efektywność są bardzo ważne. Z programowania liniowego korzystamy przede wszystkim wtedy, kiedy chcemy znaleźć wartości maksymalne i minimalne danych wielomianów. Problemy te rozwiązujemy metodami algebraicznymi i graficznymi, stosując układy równań

23. 3.3 Metody rozwiązywania układów równań: • METODA PODSTAWIANIA • Jak się rozwiązuje układy równań metodą podstawiania: • 1) Z dowolnego równania wyznaczam jedną niewiadomą. • 2) Tak wyznaczoną wartość niewiadomej podstawiam do drugiego równania (otrzymuję równanie z jedną niewiadomą). • 3) Rozwiązuję równanie z jedną niewiadomą. • 4) Podaję rozwiązanie układu.

25. METODA PRZECIWNYCH WSPÓŁCZYNNIKÓW • Jak postępujemy przy rozwiązywaniu układów równań metodą przeciwnych współczynników: • 1) Równania przekształcamy tak, aby współczynniki przy tej samej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. • 2) Dodajemy lewe i prawe strony równań układu (otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą). • 3) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą. • 4) Tworzymy ponownie układ równań, dopisując jako drugie równanie, dowolnie wybrane równanie układu. • 5) Teraz, stosując metodę podstawiania, rozwiązujemy równanie. • 6) Podajemy rozwiązanie układu.

27. METODA GRAFICZNA Rozwiązanie układu równań tą metodą polega na narysowaniu prostych w układzie współrzędnych. Najpierw należy doprowadzić każde równanie do wzoru funkcji liniowej, tzn: y = ax + b. Z tej postaci łatwo jest narysować obie proste. Po narysowaniu odczytujemy punkt przecięcia prostych, który jest rozwiązaniem układu równań.

29. 3.4 Rodzaje układów równań ze względu na liczbę rozwiązań Układ równań może nie mieć w ogóle rozwiązań, może mieć jedno rozwiązanie oraz nieskończenie wiele rozwiązań. W każdej z tych sytuacji ma przypisaną odpowiednią nazwę.Powiemy, że układ równań jest: oznaczony - jeżeli ma jedno rozwiązanie nieoznaczony- jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań sprzeczny- jeżeli nie ma rozwiązań

30. Jak wygląda rozwiązanie graficzne w każdym z tych przypadków? • Dla układu oznaczonego proste przecinają się w 1 punkcie. • Dla układu nieoznaczonego proste pokrywają się. • Dla układu sprzecznego proste są równoległe i nie pokrywają się.

31. Układ oznaczony SPRAWDZENIE

33. Układ równań sprzeczny • 0= - 8

35. Układ równań nieoznaczony

37. 4. Rozwiązanie graficzne układu równań , z których jedno jest liniowe, a - drugie kwadratowe

38. 5. Krzywe w kosmosie • Komety okresowe powracają do centrum układu planetarnego regularnie, co kilkadziesiąt, kilkaset (a nawet w dłuższych okresach) lat, bo poruszają się po bardzo wydłużonych orbitach eliptycznych. W jednym z ognisk takiej elipsy znajduje się gwiazda. Komety nieokresowe pojawiają się w centrum układu planetarnego tylko raz. Ich tor ma kształt paraboli lub hiperboli z gwiazdą w ognisku tej krzywej.

40. 6. Zadania :równania, układy równań, proporcje • 1. Aby pokonać odległość 120km, kierowca potrzebuje 2 godzin. Ile czasu potrzeba, aby przejechał dystans 360km, przy założeniu, że prędkość się nie zmienia?

42. 2. W tabelce podane są wyniki pomiarów natężenia prądu I płynącego w przewodniku w zależności od napięcia U przylożonego do końców tego przewodnika? Czy dla danego przewodnika jest spełnione Prawo Ohma? Oblicz opór elektryczny tego przewodnika. Spr., czy U/I= const U/I = 4/0,5 =8/1= 16/2=20/2,5=24/3 = const Odp. I ~U –jest spełnione Prawo Ohma. Obl. Opór elektryczny tego przewodnika U/I = R U/I= 20 V/2,5 A = 8 Ω Odp. Opór elektryczny przewodnika wynosi 8 Ω

43. 3.Ile gramów wody zawiera 2% roztwór, w którym rozpuszczono 10 gramów cukru? • Masę substancji mamy podaną, wynosi 10 g, ale nie znamy masy roztworu. • Znając stężenie procentowe i masę substancji możemy obliczyć masę roztworu z zależności: • Teraz mamy już wszystkie potrzebne wielkości do obliczenia masy wody • Odp.: Roztwór ten zawiera 490 gramów wody.

44. 4.Kamila ma 14 lat, a Ela jest o 2 lata starsza. Za ile lat będą miały razem 40 lat? • X- za tyle lat będą miały razem 40 lat (14+x)+(16+x)=40 14+x+16+x=40 2x+30=40 2x=40-30 2x=10 /:2 X=5 Sprawdzenie z treścią: 14+5=19 tyle lat będzie mieć Kamila za 5 lat 16+5=21 tyle lat będzie mieć Ela za 5 lat 19+21=40 Odp. Za 5 lat będą miały razem 40 lat.

45. 5.Pani Ewa kupiła w sklepie sukienkę, żakiet oraz kapelusz i zapłaciła w sumie 384 zł. Kapelusz był o 20% tańszy od sukienki, a żakiet o 40% droższy od sukienki. Ile kosztowała sukienka, ile żakiet, a ile kapelusz? Rozwiązanie: X-cena sukienki 0,8x-cena kapelusza cena kapelusza to 80% ceny sukienki 1,4x-cena żakietu cena żakietu to 140 % ceny sukienki x+0,8x+1,4x=384 układamy równanie 3,2x=384 /:3,2 rozwiązujemy równanie X=120 cena sukienki 0.8 ·120=96 obliczamy cenę kapelusza 1,4·120=168 obliczamy cenę żakietu Odp.Sukienka kosztowała 120 zł, kapelusz 96 zł, a żakiet 168 zł.

46. 7.Ciekawostki i trochę z historii równań • Najstarszy egipski papirus datowany na mw 2000 lat p.n.e dotyczy matematycznych rozwiązań niejakiego Ahmesa. • Henry Rhind przywiózł go w roku 1858 z Egiptu do British Museum i stąd jest on powszechnie znany jako PAPIRUS RHINDA

47. Ahmes podaje w nim 84 ciekawe zadania matematyczne W niektórych zadaniach niewiadoma oznacza się słowem aha (mnóstwo, stos )

48. Z wymienionego papirusu pochodzą takie zadania: 1.Suma pewnej wielkości i jej 2/3 i jeszcze jej 1/7 wynosi 37. Jaka to liczba? 2. Aha i siódma część aha daje razem 19. Ile wynosi aha? aha + aha/7 = 19

49. III wiek - Diofantos tworzy układy równań w liczbach całkowitych VI wiek - Aryabhata rozwiązuje równania kwadratowe oraz podaje przybliżenie pi równe 3,1416 VII wiek – Brahmagupta podaje ogólne rozwiązanie równania liniowego z dwiema niewiadomymi XII wiek – Alnazen rozwiązuje równania dwukwadratowe

50. XIII wiek - Leonardo z Pizy wykazuje nierozwiązalność równania x3+2x2+10x=20, przy pomocy pierwiastków kwadratowych. XV wiek – Scipione del Ferro rozwiązuje równania sześcienne, jak x3+mx=n XVI wiek – Nicolo Fontanna pokazuje metodę rozwiązywania równań trzeciego stopnia, a Lodovico Ferrari równań czwartego stopnia FrancoisVieteformułuje wzory algebraiczne dla równań kwadratowych, wprowadza oznaczenia literowe dla niewiadomych i współczynników