Numeriska ber äkningar i Naturvetenskap och Teknik

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Dagens ämne: Approximationsproblemet Minstakvadratmetoden Interpolationsproblemet Polynomanpassning Splines

Ett exempel Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Modell Varför avviker mätvärdena från modellen om modellen är korrekt?

Hur bestämma den ‘bästa’ linjen? Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Modell

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Avstånd mellan linje och mätpunkter...

Norm Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Hur minimera avstånd mellan linje och mätpunkter? Största avvikelsen så liten som möjligt Approximation i maximum norm Summan av avvikelserna i kvadrat så liten som möjligt Approximation i Euklidisk norm Enklare att beräkna!

Matrisformulering: Ett exempel Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Överbestämt ekvationssystem! med

Matrisformulering: Ett exempel Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Matrisformulering: ett exempel Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Generell formulering: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Beroende på modell kan mätdata förstås besrkrivas av andra funktionsuttryck än den räta linjen. I generella termer söks en funktion f* som approximerar f’s givna värden så bra som möjligt i euklidisk norm. Specifikt, ovan söktes en lösning men man kunde ha sökt en lösning av annan form (ev. för andra data) etc...

Man kan således allmänt skriva: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik f(x) är mao en linjärkombination av givna funktioner där koefficienterna söks. Man kan i likhet med ett vektorrum se det som att funktionerna spänner upp ett funktionsrum (ett rum av denna typ som uppfyller vissa villkor kallas ett Hilbert rum, jmf. kvantmek)

I fallet med den räta linjen så är ex.vis Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik I en geometrisk jämförelse så spänner dessa två funktioner, som kan ses som två vektorer i funktionsrummet, ett plan U: sökt funktion ”vektor” 0 approximationsfunktion ”vektor” 1 Minsta avståndet från planet ges av en normal . Den minsta avvikelsen mellan f* och f fås då f*-f är ortogonal mot planet U!

Normalekvationerna Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Eftersom vi är intresserade av anpassning av m st mätvärden så kan vi lämna bilden av det kontinuerliga funktionsrummet och betrakta f(x) som en m dimensionell vektor med värdena: samt Som skall uttryckas mha För den räta linjen:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ortogonalitetskravet ger nu ekvationerna: med vilket ger Normalekvationerna:

Normalekvationerna: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Tillbaka till exemplet: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Data: Modell:

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Slutsats: Givet mätdata under antagande av modellen minimeras då är ortogonal mot basvektorerna Koefficienterna c1, c2, c3, cn bestäms ur

Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Normalekvationerna eller där kolumnerna i A ges av:

Notera 1: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Funktionerna måste vara linjärt oberoende (jämför vektorer i ett vektorrum) Notera 2: Antag att vårt tidigare problem hade varit (x koord -996) jmf med

Gausseliminering i korthet: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Interpolationsproblemet Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Approximationen till mätdata antas gå genom datapunkterna, dvs man har tilltro till att felen i mätdata är små. Linjär interpolation Alt vid ekvidistanta data

Felkällor Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 1. Mätdata, Ef

Felkällor Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 2. Trunkationsfel Dessa vore noll för ett exakt förstagradspolynom

Kvadratisk interpolation Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ansats 1 2 3

Kvadratisk interpolation Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 3

Kvadratisk interpolation Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Newtons ansats Entydighet: Det finns bara ett polynom av gradtal m som går genom m+1 punkter.

Felet vid interpolation Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Linjär interpolation

Exempel Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Interpolation av polynom av gradtal 4,8,16 i ekvidistanta punkter Anpassning av polynom av gradtal 6 till 9 ekvidistanta punkter

4 grad 8 grad Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik 16 grad 6 grad i 9 ptr

Runges fenomen Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Interpolation i ekvidistanta punkter med ett polynom av högt gradtal tenderar att återge en eftersökt kurva bättre inom de centrala delarna av anpassningsintervallet men ger avsevärda svängningar nära intervallets ändpunkter! Chebychevpolynom och Chebychevabskissor Om man kan välja de punker i vilka data är kända (kan vara svårt i en given mätserie) så bör mätpunkterna väljas tätare i intervallets ändpunkter. Ett optimalt val ges av Chebychev polynomens nollställen som minimerar resttermen ovan

Splines Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Ett alternativ är att använda ett polynom av lägre ordning styckvis mellan mätpunkterna. Man kan då ex.vis sätta villkoret att funktions- värdena, derivatan och andr derivatan är lika i intervallens ändpunkter för polynom som möts i dessa punkter. Detta ger upphov till s.k. kubiska splines. I ändpunkterna tillkommer kraven ex. vis att kurvan är rak, dvs har konstant derivata utanför intervallet.

Kubiska splines Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Funktion Derivatan Andraderivatan

Insättning ger: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik

Villkoren Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik samt ger tre okända i tre ekvationer:

Skrives detta system i matrisform erh: Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik Löses enkelt! Testa MATLABs spline funktion själva!

Numeriska ber äkningar i Naturvetenskap och Teknik