Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy

1. Przegląd teorii elektromagnetyzmuciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2

2. Pole prądów zmiennych W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie Prawo Faraday’a Gęstość prądu przewodzenia przesunięcia Jm = *M– gęstość prądu „magnetycznego” (V/m2Wb/m2/s Vs/m2/s) * - rezystywność magnetyczna(/m), M - wektor magnetyzacji (A/m).

3. Ekwiwalentna postać całkowa

4. Relacje konstytutywne Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska Środowisko jest liniowe jeżeli σ, i μ są niezależne od E i H. Jest jednorodne jeśli σ, i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych. Jest izotropowe jeśli σ, i μ są niezależne od kierunku. • W regionach opisanych równaniami Maxwell’a zakłada się, że pola są: • jednoznaczne • ograniczone • ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi

5. Siła Lorentz’a Równania Maxwell’a uzupełniają dwa inne, podstawowe równania: równanie siły Lorentz’a gdzie F jest siłą działającą na cząsteczkę z ładunkiem Q poruszającą się z prędkością u w polu elektromagnetycznym, i równanie ciągłości które wyraża zachowawczość (niezniszczalność) ładunku elektrycznego. Równanie ciągłości daje się wywnioskować z równań Maxwella, ale nie jest osobliwością EM. W mechanice płynów gdzie J odpowiada prędkości a rmasie, równanie ciągłości wyraża zachowanie masy.

6. Warunki graniczne Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ1, e1, μ1) and (σ2,e2,μ2) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwell’a. Oznaczmy: an12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

7. Na granicy Oto te równania: Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągłai równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy. Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku rS na powierzchni granicznej.

8. Równania Maxwell’a to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. Równanie falowe E Środowisko liniowe, izotropowe, nieruchome, wolne od źródeł (J = 0, rv = 0). ponieważ J = 0, ponieważρv= 0, E= 0

9. Równanie falowe H Są to równania ruchu fal EM w środowisku nieprzewodzącym. Prędkość propagacji fal: W próżni u  3108 m/s Każdy z wektorów polama trzy skalarne składowe: Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz. Każda składowa spełnia skalarne równanie falowe

10. Ogólne równanie falowe Ogólne równanie falowe Jeżeli g = 0, to równanie falowe w dielektryku: Jeżeli pominiemy prądy przesunięcia (małe w stosunku do prądu przewodzenia) otrzymamy równanie falowe w przewodniku:

11. Potencjały skalarne Potencjały skalarne Pola bezwirowe i potencjalne Równanie powierzchni ekwipotencjalnej Równania linii sił (  do pow. ekwipot.) Spełnia równanie Laplace’a

12. Potencjały elektrodynamiczne Potencjały elektrodynamiczne A i V są funkcjami współrzędnych i czasu.

13. warunek Lorentz’a By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać divA Dla pól elektromagnetycznych – warunek Lorentz’a:

14. Równanie d’Alamberta Równanie d’Alamberta

15. Równanie skalarne d’Alamberta Dla przewodników (pominięte ładunki i prąd przesunięcia): Równanie skalarne d’Alamberta warunek Lorentz’a

16. W dielektrykach W polach magnetostatycznych i wolnozmiennych warunek:

17. Rozwiązanie całkowe Potencjały „opóźnione” Potencjały „opóźnione” Gdzie R jest odległością punktu źródłowego od punktu pola, nawiasy kwadratowe oznaczają że rv i J są określone w czasie R()1/2 wcześniejszym niż dla którego A i V są zdeterminowane. sqr()= 3,333·10-9 s

18. Ogólne rozwiązanie równania Poissona ma postać : Rozwiązanie równania Poissona Energię można obliczyć korzystając z potencjału wektorowego.

19. Energia i potencjał Jeżeli powierzchnia S rozciągnięta do , to całkowanie po S daje w wyniku 0, bo A w ¥ jest równe 0. Ostatecznie

20. Strumień magnetyczny B B = rotA ds S L dl A Strumień magnetyczny można obliczyć z zależności:

21. Elektryczny potencjał wektorowy Z I-szego prawa Kirchoffa i tożsamości różniczkowej wynika Jednocześnie

22. Przy m = const divH = 0 bo divB = 0, więc Metoda wprowadzona w roku 1977 przez Carpentera znana jest pod nazwą „T – W” (W  V). Odznacza się dobrą dokładnością w obliczeniach 3D.

23. Wektor Hertza P Wektor Hertza P Służy do opisu przebiegów falowych wielkiej częstotliwości. Wyznacza się go z równania falowego:

24. Tensor naprężeń Maxwella Sprowadza objętościowe siły Lorentza do sił powierzchniowych Siła Lorentza Gęstość obj. siły Tn – wektor siły powierzchniowej, rzut tensora Maxwella na normalną do powierzchni ciała. Ogólnie

25. Elementy tensora Maxwella Składowa dFi siły dF przekazywanej przez element powierzchni dSi wektora dS

26. Z ogólnego wzoru wynika, że moduł gęstości siły powierzchniowej pola magnetycznego (m = const) • Całkowita magnetyczna siła działająca na ciało o objętości V i powierzchni S • Całkowity moment sił magnetycznych działający na ciało o objętości V i powierzchni S n – wektor normalny do S skierowany na zewnątrz.

27. Wyrażenie jest słuszne dla pól magnetostatycznych, nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne. W tym ostatnim przypadku siła składa się z części średniej w czasie i części oscylacyjnej, natomiast moment z części średniej w czasie i wartości szczytowej. Podobnie wyrażone są siły i momenty pola elektrostatycznego:

28. Pola harmoniczne Pola harmoniczne Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadek ogólny dowolnej zmienności pola EM w czasie. W wielu praktycznych sytuacjach, szczególnie dla niskich częstotliwości, potrzebne jest rozwiązanie stanu ustalonego pola EM wytwarzanego przez prądy sinusoidalne. Takie pole zwane sinusoidalnym lub harmonicznym zmienia się z pulsacją ω. Dowolnie zależne od czasu pola F(x, y, z, t)lub F(r, t) mogą być wyrażone jako: Gdzie: Fm(r)= Fm(x, y, z)jest fazorową (zespoloną, wykładniczą) postacią F(r, t) – amplitudą zespoloną. ω jest prędkością kątową (rad/s) sinusoidalnego wzbudzenia

29. Wielkości pola EM w postaci fazorowej mogą być wyrażone jako: Użycie fazorowej postaci pozwala zastąpić różniczkowanie mnożeniem przez jw Równania Maxwell’a dla sinusoidalnego stanu ustalonego: bo ejtupraszcza się

30. Założenie sinusoidalności skutkuje eliminacją z równań Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy w jako jeden z elementów pełnego spektrum z wszystkimi składnikami szeregu Fouriera. Innymi słowy pola niesinusoidalne mogą być wyrażone jako: Zastępując różniczkowanie po czasie, mnożeniem jw, uzyskuje się wektorowe równanie falowe dla amplitud zespolonych lub skalarne równanie falowe dla składowych pola. Np. dla dielektryka (v = 0 = J) gdzie k (stała propagacji)

31. Jeżeli ρV 0 J, równanie falowe przyjmuje ogólniejszą formę i przechodzi w równanie Poisson’a kiedy k = 0 (tzn.  = 0 – pole statyczne), lub w równanie Laplace’a gdy k = 0 = g.

32. harmoniczne pole magnetyczne Dla harmonicznego pola magnetycznego Ogólne równanie falowe

33. harmoniczne pole w dielektryku Dla harmonicznego pola magnetycznego w dielektryku

34. harmoniczne pole w przewodniku Dla harmonicznego pola magnetycznego w przewodniku

35. Głębokość wnikania Głębokość wnikania - odległość liczona w głąb przewodnika na jakiej amplituda pola zmniejszy się e razy w stosunku do wartości na powierzchni. Długość fali

36. Dla miedzi: więc Identyczne równania można wyprowadzić dla Em i Jm

37. Twierdzenie Poyntinga Twierdzenie Poyntinga Moc elektromagnetyczna P wpływająca do zamkniętej przestrzeni o powierzchni A równa jest całce składowej normalnej wektora Poyntinga Sn po całej powierzchni A. Wektor Poyntinga S określa moc i kierunek strumienia mocy EM przechodzącej przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu energii. Twierdzenie Poyntinga jest stosowane do obliczania mocy czynnej, biernej i pozornej dopływającej do badanego obszaru.

38. Moc może być czynna bierna i pozorna, więc również wektor T może być czynny, bierny i pozorny. Przy sinusoidalnej zmienności składowych pola E i H zespolony wektor S Dla f 50 Hz We 0

39. Z równań Maxwell’a Z twierdzenia Greena

40. Moc dostarczona na zwiększenie energii magnetycznej i elektrycznej Straty mocy od prądów wirowych Moc związana z pracą mechaniczną dostarczoną ładunkom swobodnym.