临潼区徐杨高级职业中学高三数学朱晓莹

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第二课时直线的方程

考纲要求： 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。

重点难点: • （1）由直线方程找出斜率与倾斜角； • （2）确定斜率与倾斜角的范围； • （3）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程； • （4）直线方程的五种形式之间的熟练转化。 • 课时安排： 1课时

知识梳理: （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线L，如果绕着交点按逆时针方向旋转到和直线L重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线L的倾斜角。当直线L和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为00。故倾斜角的范围是[0，π]。

（2）斜率：倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率k，即k=tanα（α≠ 900 ）；倾斜角为900的直线的斜率不存在。（3）过两点P1 (x1,y1) , P2 (x2,y2) , (x1≠x2) 的直线的斜率公式—k=tanα=

直线方程的几种形式： 注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

【基础自测】 1.过两点( – 1, 1)和 (3, 9)的直线在 x 轴上的截距是______ 2.过点P ( – 1 , 2) 且方向向量为a = ( – 1, 2) 的直线方程为( ) A. 2x + y = 0 B. x – 2y + 5 = 0 C. x – 2y = 0 D. x + 2y – 5 = 0 3.过点(1, 3)作直线l ,若经过点(a , 0)和(0 ,b) ，且 a , b 均为正整数，则可作出的 l 的条数为( ) A. 1 B. 2 C.3 D. 4 4.过点A(1 , 4),且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条. A. 1 B. 2 C.3 D. 4 典例试解： –3/2 A B C

y B(0,3) C(-6,0) O x A(3,-4) 例1、已知△ABC 的三个顶点是A(3, – 4), B(0,3), C(– 6,0).求它的三条边所在的直线方程。数形结合的思想解：直线BC的方程为化为一般式为直线AB的方程为化为一般式为 AC的方程为化为一般式为【评注】合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度.

例2、一条直线经过点P(3 , 2 )，且倾斜角是直线 x – 4y + 3 = 0 的倾斜角的两倍，求该直线方程。解析: 设已知直线的倾斜角为α，则所求直线倾斜角为 2α，因为已知直线的方程为 x – 4y + 3 = 0 所以 tan α = ¼ 所以 tan 2 α = 8/15 即所求直线的斜率为 8/15 故所求直线的方程为 y – 2 = 8/15 (x – 3) 即 8x – 15y + 6 = 0

例3、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积的最大值 （精确到1m2）。

解析： 在线段AB上任取一点 P ,过 P 作CD、DE的垂线，则AB 的方程为 x /30 +y /20 = 1 ,0≤x ≤30 所以，当 x = 5 , y = 50 /3 时，S取最大值6017 平方米。设 P（x , 20 – 2x /3) 则S = (100 – x ) [ 80 – (20 – 2x /3) ] , 0≤x ≤30 得 S = –2x2 /3 + 20x /3 + 6000 = –2/3 (x – 5)2 + 50 /3 + 6000 ，0≤x ≤30

分别与L1 ,L2的方程联立，得两交点的横坐标分别为与 , 令 + =0 ，得例4、一条直线被两直线L1：4x+y+6=0, L2：3x－5y－6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点,求这条直线的方程. 解：由题意可设所求直线的方程为 y = kx 从而所求直线方程为x+6y=0

课堂小结: (1) 直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导。直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解。 • (2) 直线方程的五种形式之间的熟练转化； • (3) 注意几种特定题型的解法。 • 总而言之，求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，再利用待定系数法求解。

直线方程的几种形式： 注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。

布置作业 • 金榜1号 : P192、P193、P194 谢谢，再见！

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