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第十章 直线相关与直线回归

第十章 直线相关与直线回归. 预防医学教研室 胡启托 Email:574537882@qq.com. 直线相关与回归的用途. 医学研究中，变量之间的关系更多地表现为具有随机性的一种“趋势”，即非确定性关系； 欲探索医学研究中变量间的非确定性关系，常用回归与相关分析的方法。 相关分析变量之间有无关系、方向、关系的密切程度； 回归分析变量之间的数量依存关系。. 第一节 直线相关 ( linear correlation ). 一、直线相关的概念. 直线相关是研究两变量 x 、 y 之间 协同变化线性关系的分析方法。. ★ 对资料的要求：

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第十章 直线相关与直线回归

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  1. 第十章 直线相关与直线回归 预防医学教研室 胡启托 Email:574537882@qq.com

  2. 直线相关与回归的用途 • 医学研究中，变量之间的关系更多地表现为具有随机性的一种“趋势”，即非确定性关系； • 欲探索医学研究中变量间的非确定性关系，常用回归与相关分析的方法。 • 相关分析变量之间有无关系、方向、关系的密切程度； • 回归分析变量之间的数量依存关系。

  3. 第一节 直线相关 ( linear correlation ) 一、直线相关的概念 直线相关是研究两变量x、y 之间 协同变化线性关系的分析方法。

  4. ★对资料的要求： 1.x、y都是正态分布资料的随机变量。 2.x、y必须是连续变量。 3.两样本含量必须大于或等于30（N≥30）。 4.两随机变量必须是成对的数据，而且每对 数据之间是互相独立的。

  5. 二、相关系数的意义与计算 • 表示方法：-1  r  1 • *意义：描述两个变量直线相关的方向与 • 密切程度的指标。

  6. 相关系数示意： 正相关 负相关 0 < r <1 -1 < r <0 完全正相关 完全负相关 r = 1 r = - 1

  7. 相关系数示意 零相关 零相关 零相关 r ≌ 0 r ≌ 0 r ≌ 0

  8. 相关系数的计算：

  9. 例10.1某医师欲了解急性脑血管病人血清与脑脊液白细胞介素（IL-6）水平，随机抽取某医院确诊的10例蛛网膜下腔出血（SAH）患者24h内血清和脑脊液IL-6（pg/ml），数据如下，问SAH患者血清IL-6和脑脊液IL-6间是否有直线相关关系存在？例10.1某医师欲了解急性脑血管病人血清与脑脊液白细胞介素（IL-6）水平，随机抽取某医院确诊的10例蛛网膜下腔出血（SAH）患者24h内血清和脑脊液IL-6（pg/ml），数据如下，问SAH患者血清IL-6和脑脊液IL-6间是否有直线相关关系存在？

  10. 分析步骤如下： 1. 绘制散点图，观察两变量间是否呈直线趋势 , 从散点图可见，SAH患者血清IL-6和脑脊液IL-6散点有线性趋势存在，而且趋势的方向相同。 2. 编制相关系数计算表

  11. 220 200 180 160 140 脑脊液IL-6 (pg/ml) 120 100 80 60 20 40 60 80 100 血清IL-6 (pg/ml)

  12. 表10-1 SAH 患者血清和脑脊液IL-6（pg/ml）检测结果

  13. 分别求出各栏中的总和及均数和标准差

  14. 3．计算 　、 的离均差平方和与离均差积和及相关系数

  15. 　　本例 　　　　　 ，显示血清IL-6和脑脊液IL-6之间呈正相关关系。

  16. 4.相关系数的假设检验 目的：检验 r是否来自总体相关系数  = 0的总体，推断两变量的相关关系是否成 立。 1）t 检验公式： S r为相关系数的标准误

  17. H0 : ＝0, H1:   0, =0.05 本例 r = 0.7237, n =10代入公式 P < 0.05。 结论：可以认为患者血清IL-6和脑脊液IL-6之间直线相关关系存在。

  18. 2）查表法 根据自由度查相关系数 r 界值表，查出 界值，若 , P＞0.05 ，不拒绝 H0 , 若 , P＜0.05，拒绝 H0，接受 H1 。 本例 ν=10－2＝8， 查 r 界值表: , 本 r＝0.7232＞0.715 ， P ＜0.01 , 拒绝 H0，接受 H1。

  19. 5.应用相关系数时注意事项 ＊分析资料要求 x、y两变量都是来自正态总体的 随机变量。 ＊进行相关分析前，应先绘制散点图。只有当散点有线性趋势时，方可进行直线相关分析。 ＊相关分析时，小样本资料经 t 检验只能推断两 变量有无直线关系，而不能推断其相关的密切 程度，要推断两变量间相关的程度，样本含量 必须足够大( n≥30)。

  20. ＊相关关系不等于因果关系。 两变量之间相关 系数 有统计学意义，只是从统计学上反映出他们之间的变化存在某种规律性，不能直接把这种相关性解释为因果关系。有无因果关系的结论，还须从专业角度作进一步研究。

  21. ＊当观察例数较少，例如 n＜15时，相关系数容易受个别观察对象的特殊值所影响，故不够稳定。 ＊在实际工作中，应区别相关有统计学意义与相关 强度。相关具有统计学意义指该样本相关系数 r 来自相关系数的总体的概率很小。而相关强度表示两变量间相互联系的 密切程度，其大小是用 r 的绝对值来反映。

  22. 第二节 直线回归 一、直线回归的概念： • 分析某变量随另一变量变化而变化依存关系的方法称为直线回归（linear regression）， • 它通过拟合线性方程来描述两变量间的回归关系。

  23. ＊直线回归的意义： 在研究两个随机变量（双变量）间的关系时，当散点图呈直线趋势，经相关系数的显著性检验有显著性时，常常要求由一个变量值推算另一个变量值，这时可用回归分析。 ＊对资料的要求： 自变量 x：正态总体中的随机变量或指定变量 因变量 y：服从正态分布的随机变量

  24. 图13-3 回归直线、回归系数、残差示意图

  25. 直线回归方程的表达通式： 式中 为由 x 推算 y 的估计值，a 为常数，为回归直线在 y 轴上的截距， ，表示直线与纵轴 y 的交点在原点上方， ，表示直线与 y 轴的交点在原点下方； ，表示回归线通过原点。

  26. y 0 x a 为回归直线在 y 轴上的截距 a> 0 a = 0 a < 0 b

  27. y 0 x b 为回归系数，即回归直线的斜率； 其统计学意义是 x 增加（减）一个单 位，y 平均变动 b 个单位 b = 0 b > 0 b = 0 b < 0

  28. 二、直线回归方程的建立

  29. 最小二乘法原理： 各点到回归线的纵向 距离的平方和最小。

  30. b可正可负，当正相关时 b 为正，x 增一个单位， y 平均增 b个单位，当负相关时 b 为负， x 每增一个单位，y 就平均减 b 个单位。

  31. 例：某研究者欲用测定的血清IL-6含量，来预测和估计急性蛛网膜下腔出血患者脑脊液IL-6水平，可以例13.1数据，建立脑脊液IL-6对血清IL-6的直线回归方程。例：某研究者欲用测定的血清IL-6含量，来预测和估计急性蛛网膜下腔出血患者脑脊液IL-6水平，可以例13.1数据，建立脑脊液IL-6对血清IL-6的直线回归方程。 1）绘制散点图 由13.1原始数据散点图可见，本资料散点有线性趋势存在，故可进行线性回归分析。 2）计算

  32. 表10-2 SAH 患者血清和脑脊液IL-6（pg/ml）检测结果

  33. 3）计算回归系数和截距 本例回归系数 b =1.1797，表明SAH患者脑脊液IL-6随血清IL-6增加而增加，且血清IL-6每增1pg/ml时，脑脊液IL-6平均增加1.1797pg/ml。 4）建立回归方程

  34. 5）绘制回归直线 在 x 实测数据范围内任意选两个较远的且容易读数的 x 值，代入回归方程求出 值，根据 两对变量值在直角坐标图上描两点，通过两点连一直线，此直线即为回归直线。

  35. p2 肺活量（） p1 L , Y 体重（kg），x 如： P1： P2： 十名女中学生体重与肺活量散点图与回归直线

  36. 三、回归系数的假设检验与区间估计 目的：推断总体回归系数  是否为0，确定所求得的回归方程是否成立。 1.假设检验-- t 检验 S b为样本回归系数标准误 S y.x为剩余标准差

  37. 例：试问上述所建立的回归方程 是否成立？ 建立假设： SAH患者血清IL-6和脑脊液IL－6 间无直线回归关系 SAH患者血清IL-6和脑脊液IL－6 间有直线回归关系

  38. 计算统计量：

  39. 确定 P 值，判断结果: ，查 t 界值表 ， tb＝2.962＞2.306 , P＜0.05。 结论：可认为SAH患者血清IL-6和脑脊液IL－6间 有直线回归关系，所求线性回归方程成立。 ※ 同一组资料作直线相关与回归时 tb与 tr 等值。

  40. 2.总体回归系数区间估计 总体回归系数的 置信区间为： 本例总体回归系数的 95%置信区间为： 1.1797±2.306×0.3983＝0.262，2.098 结论： 总体回归系数 95%置信区间为 0.262pg/ml～2.098pg/ml。

  41. 三、回归方程的应用 ★描述两个变量之间的数量依存关系 ★利用回归方程进行预测 此是回归方程重要 应用之一，将自变量 x 的值代入回归方 程，则可得到因变量 y 的估计值，即预测 值。如已知SAH患者第一天血清IL-6与脑脊 液IL-6间有直线关系存在，就可以以某SAH 患者已检出的血清 IL-6 来预测SAH 患者脑脊液IL-6含量。

  42. ★利用回归方程进行统计控制 指用回归方程进行逆估计，如某环境监测站以汽车流量作为自变量（x）,大气中NO2作应变量（y），拟合直线方程 。欲将大气中NO2的浓度控制在0.05㎎／L以下，估计汽车流量每小时应控制在多少辆以下. 将 y＝0.05代入前面的回归方程： 如果要让大气中的NO2的浓度控制在0.05㎎／L以下，必须将汽车流量控制在1183辆／小时以下。

  43. ★用容易测量的指标估计不易测量的指标 是指由建立的回归方程对未知参数值进行估计， 如体重与体表面积关系中，体重是较容易测量的 指标，而体表面积是不易准确测量的指标。若根 据一组实测数据，建立体表面积（应变量 y ）对 体重（自变量 x ）的直线回归方程后，即可根据 体重来估计体表面积 的大小。

  44. 四、直线回归与直线相关的联系与区别 区别： 1.意义直线回归反映两变量的依存关系；直线相关反映两变量的相互关系。 2.对资料的要求 直线回归：自变量是正态总体的随机变量或指定变量，y 一定是正态总体的随机变量； 直线相关：两变量均为正态总体的随机变量。

  45. 联系： 1.同一组资料的 r与 b 的正负符号是一致的； 2.同一组资料的 r和 b 的假设检验结果是一致的，即 t r = t b。 3.两变量间有相关关系，不一定有因果关系；但两变量间有因果关系，一定有相关关系。

  46. 五、应用注意事项 1. 进行相关与回归时先绘制散点图，还要观察有无异常点。 2. 回归与相关的应用仅限于原实测数据的范围内使用。

  47. 第三节 等级相关 • 如果观测值是等级资料，则可以用等级相关来 表达两事物之间的关系。 • 等级相关是分析X、Y 两变量等级间是否相关的一种非参数方法。 • 常用的等级相关方法是Spearman等级相关。 • 与线性相关系数r 一样，等级相关系数 rs的数值亦在 -1与 +1之间，数值为正表示正相关，数值为负表示负相关。

  48. 一、等级相关系数的计算 Spearman 等级相关系数 rs可由公式计算 式中，n 表示样本含量； d 表示 X、Y 的秩次之差。

  49. 例10.4 某医生做一种研究，欲了解人群中氟骨症患病率（%）与饮用水中氟含量（mg/l）之间的关系。随机观察8个地区氟骨症患病率与饮用水中氟含量，数据如表10-4（2）、（4）两栏。试计算等级相关系数rs。

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