Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum w Manowie • Gimnazjum im. Maksymiliana Krybusa w Książu Wlkp. • ID grupy: 98/20_MF_G2, 98/80_MF_ G2 • Opiekun: Dagmara Kowalczyk, Iwona Prałat • Kompetencja: Matematyka i Fizyka • Temat projektowy: Podzielność liczb • Semestr/rok szkolny: 2010/2011 semestr II

3. Cecha podzielności liczb przez 3 • Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. • Przykłady: • 42 - 4+2 = 6 i 6 =2*3 • - 7+8+3=18 i 18=6 * 3 • - 1+2+0+9=12 i 12=4*3

4. Cecha podzielności liczb przez 7 Liczba jest podzielna przez 7, jeśli po odjęciu od pierwszych trzech cyfr liczby trzy ostatnie cyfry, to różnica musi być podzielna przez 7. Przykład: Liczba 366345 jest podzielna przez 7, bo po odjęciu od liczby trzech pierwszych cyfr (366) trzech ostatnich cyfr (345) otrzymamy liczbę podzielną przez 7 (21). 366345 bo 366 - 345=21 i 21=3*7

5. Cechapodzielności liczb przez 9 Liczba dzieli się przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest podzielna przez 9, na przykład: 981 dzieli się przez 9, bo 9+8+1=1818:9=2 981:9=109 874 nie dzieli się przez 9, bo 8+7+4=1919:9 nie dzieli się bez reszty. 874:9=9,(1)

6. Cechapodzielności liczb przez 11 Liczba jest podzielna przez 11,gdy od sumy jej cyfr stojących na parzystych miejscach (licząc od prawej) odejmiemy sumę cyfr stojących na miejscach nieparzystych. Jeżeli otrzymana w ten sposób różnica jest wielokrotnością liczby 11, to dana liczba jest podzielna przez 11. Przykład 1Liczba 1234567890 nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8 + 0) = 5 nie jest podzielna przez 11. Przykład 2Liczba 175978 jest podzielna przez 11 bo (8+9+7) - (7+5+1) = 24-13 = 11, a 11 dzieli się przez 11.

7. Cecha podzielności liczb przez 13 Liczba dzieli się przez 13, jeżeli skreślimy jej trzy ostatnie cyfry i od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę skreśloną. Jeśli ta różnica dzieli się przez 13, to liczba też dzieli się przez 13.

8. Przykład: 278928 dzieli się przez 13, bo skreślając 928otrzymujemy 278. Odejmując od siebie te liczby 278 – 928 = -650 a -650:13=-5 278928:13=21456 253859 nie dzieli się przez 13, bo skreślając 859otrzymujemy 253. Odejmując od siebie te liczby 253 – 859 = -606 a -606:13=46,(153846) 253859:13=19527,(615384)

9. Algorytm Euklidesa Dane są liczby a i b (a≥b) Dzieli się z resztą a przez b i otrzymuje się a = p1b + r1 (r1 < b), następnie b przez r1 i otrzymujemy b = p2 r1+ r2 (r2< r1), potem r1 przez r2 przez r3 itd. Euklides z Aleksandrii – matematyk grecki pochodzący z Aten, przez większość życia działający w Aleksandrii. Autor pierwszych prac teoretycznych z matematyki. Główne jego dzieło to Elementy. Są one syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej zarówno w dziedzinie geometrii, jak i w teorii liczb.

10. Przykłady znajdowania największego wspólnego dzielnika z zastosowaniem algorytmu Euklidesa

11. Dane są liczby: a = 1517 i b = 1073 1517= 1×1073 + 444 1073= 2×444 + 185 444= 2×185 + 74 185= 2×74 + 37 74= 2×37 + 0 NWD (1517, 1073) = 37

12. Dane są liczby a = 168 i b = 58 168:58 = 2×58 + 52 58:52 = 1×52 + 6 52:6 = 8×6 + 4 6:4 = 1×4 + 2 4:2 = 2×2 + 0 NWD (168, 58) = 2

13. Zastosowanie algorytmu euklidesa-równania • Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące równanie: • 24823x + 6409y = 68 • Rozwiązanie • Jeśli równanie ax + by = c, gdzie a, b i c są liczbami całkowitymi, jest rozwiązalne w liczbach całkowitych, to posiada ono nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli jednym z nich jest para liczb całkowitych (x0,y0) to wszystkie rozwiązania dane są wzorami • x = xo+ b1 t , y = yo- a1 t, • gdzie • a t jest dowolną liczbą całkowitą.

14. Rozważane równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych, gdyż największy wspólny dzielnik (42823 6409) jest równy 17. a więc jest podzielnikiem liczby 68. W przykładzie 11 zostało pokazane, że • 42823  ( -22) + 6409  147 = 17. • Pomnóżmy obie strony tej równości przez 4. Otrzymujemy wówczas • 42823  (-22  4) + 6409  (147  4) = 68. • Stąd xo= -88, yo= 588. • Zatem wszystkie rozwiązania równania dane są wzorami: • x = - 88 + 377 t, y = 588 – 2519 t, • gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. • Równania nieoznaczone możemy rozwiązywać również innymi metodami. Niekoniecznie musimy się posługiwać przy ich rozwiązywaniu algorytmem Euklidesa.

15. KONGRUENCJE Kongruencja to relacja, która dzieli zbiór na klasy abstrakcji o tej samej reszcie przy dzieleniu przez określoną liczbę. Kongruencja określona jest w zbiorze liczb całkowitych i nazywana jest też przystawaniem liczb modulo n. Liczby całkowite a i b przystają modulo n, co zapisujemy: a ≡ b (modn), jeżeli ich różnica a - b dzieli się bez reszty przez n. Równoważnie: jeśli liczby a i b dają w dzieleniu przez n taką samą resztę. Kongruencje o tym samym module można dodawać, odejmować lub mnożyć stronami. Można przenosić wyrazy z jednej strony kongruencji na drugą, zmieniając ich znaki. Obie strony kongruencji można podnosić do tej samej potęgi (o naturalnym wykładniku). Nie można natomiast dzielić stronami kongruencji.

16. Przykłady kongruencji: 16 ≡ 7 (mod 3) 22 ≡ 18 (mod 2) 61 ≡ 5 (mod 4) 31 ≡ 61 (mod 15) 3 ≡ 6 (mod 3) ; 25x ≡ 12 (mod 7) 3∙2 ≡ 6∙2 (mod 3) ; 4x ≡ 5 (mod 7) 6≡ 12 (mod3) ; x ≡ 3(mod 7) 9 ≡ 22 ≡ 35 ≡ ─4 ≡ ─17 (mod13)

17. Pierścień reszt klas modulo m • Każda relacja równoważności , przystawania wprowadza podział zbioru liczb całkowitych na podzbiory tzw. klasy reszt lub klasy kongruencji, które zawierają liczby dające tą samą resztę z dzielenia przez moduł i różniące się przy tym o jego wielokrotność. Klas jest tyle, ile wynosi moduł przystawania. Ozn. [i]- podzbiór, gdzie • i- liczba należąca do zbioru nazywana reprezentantem klasy (najmniejsza nieujemna liczba z tego zbioru).

18. Własności działań na klasach reszt -dodawanie i mnożenie jest przemienne i łączne -dodawanie ma element neutralny [0]={…,-2n,-n,,0,n,2n,….} -mnożenie ma element neutralny [1]={…,-n+1,1,n+1,2n+1,…} -mnożenie jest rozdzielne względem dodawania Powyższa struktura tworzy pierścień zwany pierścieniem klas reszt modulo n i oznaczamy

19. przykład

20. Elementy odwracalne pierścienia • to takie liczby ze zbioru {0,1,2,3,…n-1}, które • są względnie pierwsze z n: • W powyższym przykładzie elementy odwracalne • odczytane z tabelki mnożenia to: 1 i 3.

21. Funkcja Eulera liczba elementów zbioru { k : 1 ≤ k ≤ n – 1, NWD(k , n) = 1} WŁASNOŚCI: (1) Jeśli NWD(n,m)=1, to (2) Jeśli p jest liczbą pierwszą, to W szczególności np.

22. TWIERDZENIE Eulera • Jeśli NWD (a,n)=1 , to Jeśli NWD (a,n)=1 , to

23. Małe twierdzenie fermata • Jeśli p jest liczba pierwszą, to dla a całkowitych niepodzielnych przez p • mod p • Z tw. wynika, że mod p • Dowód: Przyjmując w tw. Eulera n=p otrzymujemy: • NWD(a,p)=1,to