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Intelligenza Artificiale

Intelligenza Artificiale. Ricerca Informata. Outline. Best-first search Ricerca A * Euristiche Hill-climbing Simulated annealing. Richiamo: Ricerca generale. function GENERAL-SEARCH( p:problem , QUEUING-FN) returns una soluzione o fallimento

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  1. Intelligenza Artificiale Ricerca Informata Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  2. Outline • Best-first search • Ricerca A* • Euristiche • Hill-climbing • Simulated annealing Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  3. Richiamo: Ricerca generale function GENERAL-SEARCH(p:problem, QUEUING-FN) returns una soluzione o fallimento nodi MAKE-QUEUE(MAKE-NODE(INITIAL-STATE[p])) loop do if nodi è vuoto then return fallimento nodo REMOVE-FRONT(nodi) if GOAL-TEST[p] applicato a STATE(nodo) si verifica then returnnodo nodi  QUEUING-FN(nodi, EXPAND(nodo,OPERATORS[p])) end Una strategia è definita stabilendo l’ordine di espansione dei nodi Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  4. Ricerca Best-first • Idea: usare una funzione di valutazione per ogni nodo • - stima della “desiderabilità” • Espandere il nodo più desiderabile non espanso • Implementation: • QUEUEINGFN = inserisci i successori in ordine decrescente di desiderabilità • Casi particolari: • ricerca greedy • ricerca A* Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  5. Canada con costi in Km Distanze in linea d’area da Ottawa Dawson 450 2650 Whitehorse Churchill 1600 1350 St. John’s Edmonton 1650 1500 1100 450 950 1250 Quèbec 750 850 Winnipeg Calgary Halifax 250 500 1800 Regina Ottawa Vancouver Montreal 175 1600 400 Toronto Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  6. Ricerca greedy Funzione di valutazione h(n) (euristica) = stima del costo da n all’obiettivo Cioè, hSLD(n)= distanza in linea d’area da n a Ottawa La ricerca greedy espande i nodi che sembrano più prossimi all’obiettivo Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  7. Esempio di ricerca greedy Whitehorse 4450 Vancouver 3850 Edmonton 3000 Dawson 4700 Winnipeg 1800 Churchill 2100 Whitehorse 4450 Calgary 3100 Edmonton 3000 Churchill 2100 Ottawa 0 Toronto 400 Regina 2300 Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  8. Proprietà della ricerca greedy • Completa ?? • No – si può entrare in loop • Completa in spazi finiti con il controllo per la ripetizione degli stati • Tempo ?? • O(bm), ma una buona euristica può dare notevoli miglioramenti • Spazio ?? • O(bm) (mantiene tutti i nodi in memoria) • Ottimalità ?? • NO Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  9. Ricerca A* • Idea: Evitare l’espansione di percorsi che • sono già costosi, e • che costeranno ancora parecchio • Funzione di valutazione f(n) = g(n)+h(n) • g(n) = costo sostenuto per raggiungere n • h(n) = costo stimato per raggiungere l’obiettivo da n • f(n) = costo totale stimato del percorso attraverso n per raggiungere l’obiettivo • La ricerca A* usa una euristica ammissibile • h(n) non sovrastima mai l’effettiva distanza Teorema: La ricerca A* è ottima Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  10. Esempio di ricerca A* Whitehorse 4450 1160 450 1650 Vancouver 5500 Edmonton 4600 Dawson 5150 1600 450 1350 1250 Churchill 5050 Winnipeg 4650 Whitehorse 7650 Calgary 5150 1100 1600 1800 500 1250 Churchill 6050 Ottawa 4650 Toronto 4850 Regina 5650 Edmonton 7100 Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  11. Ottimalità di A* (dim. standard) Supponiamo che qualche obiettivo sub-ottimale G2è stato generato ed è nella coda. Sia n un nodo non espanso di un percorso più breve ad un obiettivo ottimo G1 Inizio n G2 G f(G2) = g(G2) poiché h(G2) = 0 > g(G1) poiché G2 è sub-ottimale ≥ f(n) poiché h è ammissibile Poiché f(G2) > f(n), A* non selezionerà mai G2 per l’espansione Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  12. Proprietà di A* • Completa ?? • Si, a meno che non ci siano infiniti nodi con f ≤ f(G) • Tempo ?? • Esponenziale in [errore relativo in h * lunghezza della soluzione] • Spazio ?? • Mantiene tutti i nodi in memoria • Ottimalità ?? • Si Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  13. Lemma: Pathmax Per qualche euristica ammissibile, f può diminuire durante il percorso di ricerca. Cioè, supponiamo che n’ è un successore di n n 1 n’ g = 5 h = 4 f = 9 g’ = 6 h’ = 2 f’ = 8 Stiamo perdendo informazione ! f(n) = 9 costo reale di un percorso attraverso n è ≥ 9 Quindi anche il vero costo di un percorso attraverso n’≥ 9 Modifica pathmax ad A*: Invece di f(n’) = g(n’) + h(n’), si usa f(n’) = max( g(n’) + h(n’), f(n) ) Con pathmax, f è sempre non decrescente attraverso un qualsiasi cammino Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  14. Euristica ammissibile Cioè, per il puzzle a 8: H1(n) = numero di caselle fuori posto H2(n) = somma delle distanze di Manhattan (cioè, il numero di caselle di distanza da quella desiderata per ogni casella) Stato iniziale Stato finale H1(S) = ?? H2(S) = ?? Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  15. Euristica ammissibile Cioè, per il puzzle a 8: H1(n) = numero di tessere sbagliate H2(n) = somma delle distanze di Manhattan (cioè, il numero di caselle da quella desiderata di ogni tessera) Stato iniziale Stato finale H1(S) = ?? 7 H2(S) = ?? 2+3+3+2+4+2+0+2 = 18 Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  16. Esercizio • Se l’euristica h soddisfa la disuguaglianza triangolare allora il costo della f è non decrescente: • Dim.: • Dis. Triangolare → h(n) ≤ k(n,n’)+ h(n’) dove k(n,n’) è il costo del cammino più breve da n a n’. • f non decr. vuol dire f(n) ≤ f(n’), cioè: g(n)+h(n) ≤ g(n’)+h(n’) se n’ è un successore di n. • Dalla dis. tr.: h(n) + g(n) ≤ k(n,n’)+ h(n’) + g(n) • Ma g(n) + k(n,n’) = g(n’) ! • Dim. Completa • Vale anche il viceversa. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  17. Dominanza • Che fare se abbiamo più di una euristica ? • Se h2(n) ≥ h1(n) per tutti gli n (entrambe ammissibili) allora h2 domina h1 ed è migliore per la ricerca ! • Perchè ? Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  18. Problemi rilassati • Come facciamo a trovare buone euristiche (ammissibili) per un problema ? • Le euristiche ammissibili possono essere derivate dal costo della soluzione esatta di una versione rilassata del problema. • Esempi: • Se le regole del puzzle a 8 sono rilassate in maniera tale che un quadrato può essere mosso dovunque, allora h1(n) fornisce la soluzione più breve • Se le regole sono rilassate in maniera tale che un quadrato può essere mosso in una qualunque casella adiacente, allora h2(n) fornisce la soluzione più breve Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  19. Esercizio • Dato un piano con ostacoli, come fare a trovare la distanza più breve tra due punti ? • Quanti stati ci sono ? • E’ vero che il cammino più breve tra due vertici di poligoni, è fatto da segmenti che uniscono vertici di poligoni ? Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  20. Algoritmi a miglioramenti iterativi • In molti problemi di ottimizzazione, il percorso è irrilevante; lo stato obiettivo è la soluzione • spazio degli stati = insieme di configurazioni “complete”; • trova la configurazione ottima, ad esempio, TSP o, • trova la configurazione soddisfacente i vincoli, ad esempio, il problema delle n-regine • In tali casi, possono essere usati algoritmi a miglioramenti iterativi; mantenendo un singolo stato corrente e provando a migliorarlo • Spazio costante, adattabile sia per ricerca online che offline Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  21. Esempio: n-regine • Collocare n regine su una scacchiera n*n in maniera tale che non vi siano due regine sulla stessa riga, colonna o diagonale. • Euristica dei “minimi conflitti”. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  22. Hill-climbing …(o gradiente ascendente/discendente) “Come scalare l’Everest con nebbia fitta quando si soffre d’amnesia” Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  23. Hill-climbing (cont.) Problema: in funzione dello stato iniziale ci possiamo bloccare su un massimo locale valore massimo globale massimo locale stati Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  24. Simulated annealing Idea: fuga dai massimi locali permettendo qualche mossa “cattiva” ma decrementare gradatamente la loro misura e frequenza Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  25. Proprietà del simulated annealing • A “temperatura” fissa T, la probabilità di raggiungere uno stato è governata dalla distribuzione di Boltzman P(x) = αeE(x)/kT • Se T decresce abbastanza lentamente  si raggiunge sempre lo stato migliore • Proposto nel 1953, per la modellizzazione di processi fisici • Ampiamente usato nella progettazione di VLSI, programmazione di linee aeree , etc. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  26. Ricerca euristica a memoria limitata • A* is optimally efficient: • given the information in h,no other optimal search method can expand fewer nodes. • Complete: • Unless there are infinitely many nodes with f(n) < f . Assume locally finite: (1) finite branching, (2) every operator costs at least δ > 0. • Complexity (time and space): • Still exponential because of breadth-first nature. Unless |h(n) − h | ≤ O(log(h (n)), with h true cost of getting to goal. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  27. Migliorare A*: IDA* • Memory is a problem for the A* algorithms. • IDA* is like iterative deepening, but uses an f-cost limit rather than a depth limit. • At each iteration, the cutoff value is the smallest f-cost of any node that exceeded the cutoff on the previous iteration. • Each iteration uses conventional depth-first search. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  28. Recursive Best First Search • Similar to a DFS, but keeps track of the f-value of the best alternative path available from any ancestor of the current node. • If current node exceeds this limit, recursion unwinds back to the alternative path, replacing the f-value of each node along the path with the best f-value of its children. • RBFS remembers the f-value of the best leaf in the forgotten subtree. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  29. RBFS: pseudo-code function RECURSIVE-BEST-FIRST-SEARCH(problem) return a solution or failure return RFBS(problem,MAKE-NODE(INITIAL-STATE[problem]),∞) function RFBS( problem, node, f_limit) return a solution or failure and a new f-cost limit if GOAL-TEST[problem](STATE[node]) then return node successors  EXPAND(node, problem) ifsuccessors is empty then return failure, ∞ for eachsinsuccessorsdo f [s]  max(g(s) + h(s), f [node]) repeat best the lowest f-value node in successors iff [best] > f_limitthen return failure, f [best] alternative the second lowest f-value among successors result, f [best]  RBFS(problem, best, min(f_limit, alternative)) ifresult failure then returnresult Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  30. Properties of RBFS • Keeps track of the f-value of the best-alternative path available. • If current f-values exceeds this alternative f-value than backtrack to alternative path. • Upon backtracking change f-value to best f-value of its children. • Re-expansion of this result is thus still possible. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  31. RBFS: Ex. Romania • Path until Rumnicu Vilcea is already expanded • Above node; f-limit for every recursive call is shown on top. • Below node: f(n) • The path is followed until Pitesti which has a f-value worse than the f-limit. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  32. RBFS: Ex. Romania • Unwind recursion and store best f-value for current best leaf Pitesti result, f [best]  RBFS(problem, best, min(f_limit, alternative)) • best is now Fagaras. Call RBFS for new best • best value is now 450 Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  33. RBFS: Ex. Romania • Unwind recursion and store best f-value for current best leaf Fagaras result, f [best]  RBFS(problem, best, min(f_limit, alternative)) • best is now Rimnicu Viclea (again). Call RBFS for new best • Subtree is again expanded. • Best alternative subtree is now through Timisoara. • Solution is found since because 447 > 417. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  34. RBFS: Evaluation • RBFS is a bit more efficient than IDA* • Still excessive node generation (mind changes) • Like A*, optimal if h(n) is admissible • Space complexity is O(bd). • IDA* retains only one single number (the current f-cost limit) • Time complexity difficult to characterize • Depends on accuracy if h(n) and how often best path changes. • IDA* and RBFS suffer from too little memory Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

  35. (simplified) memory-bounded A* • Use all available memory. • I.e. expand best leafs until available memory is full • When full, SMA* drops worst leaf node (highest f-value) • Like RFBS backup forgotten node to its parent • What if all leafs have the same f-value? • Same node could be selected for expansion and deletion. • SMA* solves this by expanding newest best leaf and deleting oldest worst leaf. • SMA* is complete if solution is reachable, optimal if optimal solution is reachable. Slides Intelligenza Artificiale, Vincenzo Cutello

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