Download
1 / 22
220 likes | 389 Vues
Grafy inaczej, czyli inne modele grafów. Multigrafy Grafy z wagami Grafy skierowane Hipergrafy Grafy losowe (MPK 410, STL 510). Multigrafy. Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi.
E N D
Grafy inaczej, czyli inne modele grafów • Multigrafy • Grafy z wagami • Grafy skierowane • Hipergrafy • Grafy losowe (MPK 410, STL 510)
Multigrafy • Multigrafy to grafy z wagami na krawędziach; wagi to lczby naturalne – krotności krawędzi. • Problem Chińskiego listonosza: znaleźć rozpięty nadgraf eulerowski o najmniejszej wadze. • Inny problem: znaleźć rozpięty nadgraf o najmniejszej maksymalnej wadze krawędzi, w którym wszystkie stopnie są różne. • Wariant: jak wyżej, ale chcemy tylko, by pary sąsiednich wierzchołków miały różne stopnie (stopnie w roli kolorów wierzchołków). • Dla K_n odpowiedź wynosi 3(ćw.)
Grafy z wagami • G=(V,E,w), w:ER • Wagę podgrafu określamy jako sumę wag jego krawędzi. Klasyczne problemy optymalizacji: • MST – znaleźć rozpięte drzewo o minimalnej wadze. • Optimal Assignment Problem – znaleźć skojarzenie doskonałe w grafie dwudzielnym K_{n,n} o minimalnej (maksymalnej) wadze. • TSP – znaleźć cykl Hamiltona o minimalnej wadze (problem w klasie NP– zupełnej).
Parametry ułamkowe • Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E [0,1] taka, że dla każdego v • α’*(G)to największa waga skojarzenia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL
Parametry dualne • Wierzchołkowe pokrycie ułamkowe to funkcja w:V [0,1] taka, że dla każdej krawędzi e=uv • β*(G)to najmniejsza waga wierzchołkowego pokrycia ułamkowego w grafie G, czyli rozwiązanie problemu PL
Twierdzenie o dualności PL • Tw. o dualności: β*(G)=α’*(G) – tzn. ułamkowe tw. Königa zachodzi dla wszystkich grafów. • Dla grafów dwudzielnych zachodzi tw. Königa: β(G)=α’(G) . • Zatem, dla grafów dwudzielnych α’(G) ≤ α’*(G) = β*(G)≤ β(G)=α’(G), a więc α’(G) = α’*(G) .
v u Grafy skierowane Graf skierowany (digraf) to para (V,A), gdzie A jest zbiorem uporządkowanych par różnych wierzchołków z V. Elementy zbioru A nazywamy łukami, a na rysunkach parę (u,v) przedstawiamy w postaci strzałki z u do v.
Orientacje, turnieje i grafy podskórne • Z (nieskierowanego) grafu G można utworzyć graf skierowny nadając kierunek każdej krawędzi – orientacja grafu G. • Turniejto orientacja grafu pełnego K_n • Odwrotnie, z digrafu D można utworzyć zwykły (multi)graf G(D) ,,wymazując” wszystkie strzałki – tzw. podskórny graf nieskierowany digrafu D.
Odpowiednik Tw.Diraca • Półstopnie wejścia i wyjścia, d^-(v), d^+(v) Twierdzenie Diraca dla digrafów. Jeśli wszystkie półstopnie wejścia i wyjścia są większe bądź równe n/2, to D zawiera skierowany cykl Hamiltona.
Spójność i odpowiednik Tw. Eulera • Digraf D jest spójny, gdy jego graf podskórny G(D) jest spójny. • Digraf D jest silnie spójny, gdy dla każdej pary wierzchołków (u,v) istnieje w D skierowana ścieżka z u do v. Tw. Eulera dla digrafow.Spójny digraf D ma skierowany obchód Eulera wgdy dla każdego v: d^-(v)=d^+(v).
Silna spójność orientacji • Czy dany, spójny system dróg G można zmienić na jednokierunkowy, tak, by każdy wszędzie mógł (legalnie) dojechać? • Chodzi tu o silnie spójną orientację grafu G. • Jeśli G ma most, to nie. Tw. o silnie spójnej orientacji (Robbins 1939).Jeśli G jest 2-krawędziowo-spójny, to posiada silnie spójną orientację.
Silna spójność turnieju Tw. (Moon 1966)Jeśli D jest silnie spójnym turniejem, to dla każdego k=3,…,n każdy wierzchołek leży na skierowanym cyklu długości k. Szkic dowodu (ind. wzgl. k): • Ustal wierzchołek u i pokaż, że u leży na skierowanym trójkącie. • Pokaż, ze skoro u leży na cyklu C_k, to leży też na cyklu C_{k+1}. Wniosek. Turniej ma skierowny cykl Hamiltona wgdy jest silnie spójny.
Liczba chromatyczna a najdłuższa ścieżka skierowana • Niech l(D)będzie długością najdłuższej ścieżki skierowanej w D. Tw. (Roy 67, Gallai 68)χ(G(D))≤ l(D) +1. Wniosek.χ(G)=min {l(D)+1}, gdzie minimum jest wzięte po wszystkich orientacjach G.
Dowód wniosku Dowod Wniosku: Pokolorujmy G optymalnie kolorami 1,2,…, χ i skierujmy krawędzie od koloru mniejszego do większego. Wtedy najdłuższa skierowana ścieżka nie będzie dłuższa niżχ-1. Nierówność w drugą stronę wynika z Tw. (Roy 67, Gallai 68).
Ilustracja χ 1 2
Skierowane ścieżki Hamiltona w turnieju Wniosek (Redei, 1934)Każdy turniej ma ścieżkę Hamiltona. Dowod:Jeśli D jest turniejem, to χ(G(D))=n i na podstawie Tw.(Roy 67, Gallai 68) ma ścieżkę skierowaną długości n-1. Dowód indukcyjny (ćw.)
Królewskie zbiory niezależne Tw. (Chvatal i Lovasz, 1974) Każdy digraf posiada zbiór niezależny, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Szkic dowodu:indukcja względem n; w kroku indukcyjnym usunąć wierzchołek v wraz ze zbiorem sąsiadów N^+(v) (strzałki wychodzące). Wniosek.Każdy turniej ma króla, tzn.wierzchołek, z którego każdy inny wierzchołek jest osiągalny ścieżką skierowaną długości 1 lub 2. Dowod: α(G(D))= α(K_n)=1. Dowód indukcyjny (ćw.)
Hipergrafy • Hipergraf to para H=(V,E), gdzie E to rodzina niepustych pozdbiorów zbioru V. • V – zbiór wierzchołków, E – zbiór krawędzi • Hipergraf jest k-jednostajny, gdy wszystkie krawędzie mają tę samą moc k. • Hipergraf 2-jednostajny to po prostu graf.
Skojarzenia i pokrycia hipergrafów • Skojarzenie to zbiór rozłącznych krawędzi. • α’(H) – moc największego skojarzenia w H. • Pokrycie to zbiór wierzchołków, który przecina każdą krawędź. • β(H) – moc najmniejszego pokrycia w H. • Jasne: α’(H) ≤ β(H) • Problem: Kiedy α’(H) = β(H) ???
Problemy NP-zupełne • W przeciwieństwie do grafów, wyznaczenie α’ (H) jest problemem z klasy NP-zupełnej. • Nawet, jeśli ograniczyć sie do hipergrafów 3-jednostajnych. • Pokażmy równoważność(redukcję wielomianową)tego problemu z obliczaniem α(G): • α’(H)= α(L(H)), gdzie L(H) – graf krawędziowy (albo: przecięć) hipergrafu H. • α(G)= α’(St(G)), gdzie St(G) jest hipergrafem gwiazd, tzn. wierzchołkami są krawędzie G, a krawędziami są maksymalne gwiazdy w G. (ćw)
Hipergrafy 2-kolorowalne • H nazywamy 2-kolorowalnym, gdy jego wierzchołki można pomalować2 kolorami tak, by każda krawędź mocy co najmniej 2 zawierała wierzchołki obu kolorów. • Podhipergraf indukowany przez Uto H[U]=(U,E’), gdzie E’sklada sie ze wszystkich niepustych części wspólnych zbioru U z krawędziami H. • H jest zrównoważony, gdy każdy podhipergraf indukowany jest 2-kolorowalny. Tw. (Berge i Las Vergnas, 1970)Każdy zrównoważony hipergraf spełnia własnośćKöniga: α’(H) = β(H).
