Теория электромагнитного поля

1. Теория электромагнитного поля

2. I Лекция. Основы теории электромагнитного поля. Электростатика

3. Вопросы 1.1. Понятие об электромагнитном поле. Электрическое и магнитное поле как два проявления единого электромагнитного поля. Электромагнитные волны. 1.2. Элементы векторной алгебры. Дифференциальные операторы. 1.3. Электрическое поле: Источники. Силы, действующие на заряды. Напряженность. Линии напряженности. Закон Кулона. Энергия электрического поля. Работа в электрическом поле. Понятие об электрическом потенциале. 1.4. Электрическое поле в простейших системах. Поле точечного заряда. Поле заряженной нити. Поле заряженной плоскости, плоский конденсатор. Диполь. Примеры из ELCUT. 1.5. Понятие о картине поля в двухмерных задачах. Свойства картины поля. Примеры из ELCUT.

4. 1.1. Понятие об электромагнитном поле. Электрическое и магнитное поле как два проявления единого электромагнитного поля. Электромагнитные волны.

5. 1.1. Электромагнитное поле • Электромагнитное поле - особый вид материи. • Всякая электрически заряженная частицаокружена электромагнитным полем, составляющим с ней единое целое. В зависимости от характера движения частицы, проявляется магнитная или электрическая составляющая электромагнитного поля

6. 1.1. Электромагнитное поле • Электромагнитное поле носитель определенного количества энергии, способной преобразовываться в другие виды энергии — химическую, тепловую, энергию механического движения и т. п. • Электромагнитное поле, являясь носителем энергии, обладает также и определенной соответствующей этой энергии массой, которая может быть определена из общей связиW=mc2W – полная энергия, m - полная масса, c - скорость света в пустоте. Однако плотность массы в используемых обычно электромагнитных полях весьма мала. • Электромагнитное поле характеризуется особымиэлектромагнитнымисвойствами, не рассматриваемыми в механике: способность оказывать силовое воздействие на заряженные частицы. Это воздействие зависит от скорости заряженных частиц.

7. 1.1. Электромагнитные волны • Электромагнитное поле может существовать в свободном, отделенном от заряженных частиц состоянии в виде движущихся со скоростью, близкой к  3∙108 м/с, фотонов или в виде излученного движущегося с этой скоростью электромагнитного поля (электромагнитных волн).

8. 1.1. Электромагнитное поле Силовое воздействие на заряженную частицу (сила Лоренца) q – заряд частицы, v – скорость частицы, E – вектор напряженности электрического поля, B – вектор магнитной индукции.

9. 1.2. Элементы векторной алгебры. Дифференциальные операторы.

10. 1.2. Элементы векторной алгебры Многие величины в теории электромагнитного поля являются векторами. Вектор – это объект, характеризуемый числовой величиной и направлением, для которого применимы операции сравнения, сложения и умножения на вещественное число Def Обозначения векторов: k илиk

11. 1.2. Элементы векторной алгебры • Будем рассматривать векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. i, j, k – единичные векторы, направленные вдоль осей Ox, Oy, Oz a =ax ∙ i + ay ∙ j + az∙ k b =bx∙ i + by ∙ j + bz∙ k Абсолютная величина вектора (модуль):

12. 1.2. Элементы векторной алгебры Операции с векторами: Умножение вектора на скаляр a k ∙ a Величина вектора меняется, а направление - нет

13. 1.2. Элементы векторной алгебры Операции с векторами: 2) Сложение векторов 1) a + b = b + a 2) a + (b + c) = (a + b) + c λ ∙(μ ∙ a) = (λ ∙ μ)∙a 3) λ ∙(a + b) = λ ∙ a + λ ∙ b (λ + μ) ∙ a = λ ∙ a + μ ∙ a y a a + b b x λ , μ - скаляры

14. 1.2. Элементы векторной алгебры Операции с векторами: 3) Вычитание векторов y -b a a - b b x

15. 1.2. Элементы векторной алгебры Проекция вектора на ось y ay ax = |a| ∙cosφ ay = |a| ∙sinφ a Угол между вектором и осью φ ax x ax = |a| ∙cosα ay = |a| ∙cosβ az= |a| ∙cosγ В общем случае:

16. 1.2. Элементы векторной алгебры Cкалярное произведение векторов a ∙ b =|a|∙ |b|∙ cos(φab) = = ax ∙bx + ay ∙by + az∙bz 1) a ∙ b = b ∙ a 2) (λ ∙ a) ∙ b = a∙ (λ ∙ b) = λ ∙ (a ∙ b) 3) a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c a φab b

17. 1.2. Элементы векторной алгебры Векторное произведение векторов |c| = |a|∙ |b| ∙ sin(φab) b Направление поворота от a кb φab a

18. 1.2. Элементы векторной алгебры Векторное произведение векторов b φab a

19. 1.2. Элементы векторной алгебры Смешанное произведение векторов c b φab a

20. 1.2. Дифференциальные операторы Уравнения электромагнитного поля – это уравнения в частных производных, для записи и решения которых используются специальные математические операторы

21. 1.2. Дифференциальные операторы Градиент (вектор)

22. 1.2. Дифференциальные операторы Свойстваградиента

23. 1.2. Дифференциальные операторы Дивергенция (скаляр)

24. 1.2. Дифференциальные операторы Свойства дивергенции

25. 1.2. Дифференциальные операторы Ротор (вектор)

26. 1.2. Дифференциальные операторы Свойства ротора

27. 1.2. Свойства дифференциальных операторов Оператор Лапласа (лапласиан) Любой дифференциальный оператор – оператор набла

28. 1.2. Свойства дифференциальных операторов Оператор в криволинейных системах координат Цилиндрические координаты Сферические координаты

29. 1.3. Электрическое поле. Источники. Силы, действующие на заряды. Напряженность. Линии напряженности. Закон Кулона. Энергия электрического поля. Работа в электрическом поле. Понятие об электрическом потенциале.

30. 1.3.Напряженность электрического поля, E • Это основная физическая величина, характеризующая электрическое поле, это вектор, определяющий силу, действующую на заряженную частицу со стороны электрического поля. Единица измерения – В/м. Источники электрического поля – заряженные тела. Сила, обусловленная электрическим полем

31. 1.3.Линии напряженности электрического поля, E • Будем рассматривать статическое, т.е. созданные неподвижными зарядами, поле. • Для рассмотрения свойств электростатического поля, необходимо рассмотреть понятия о потоке и циркуляции векторного поля и типами векторных полей

32. 1.3.Поток векторной величины Def Поток– это поверхностный интеграл векторной величины по данной поверхности: β – угол между вектором E и нормалью к поверхности (вектором ds)

33. 1.3.Циркуляция векторной величины Def Циркуляция – это линейный интеграл по некоторому замкнутому контуру

34. Типы полей Безвихревое поле Вихревое поле

35. 1.3.Линии напряженности электрического поля, E • Электростатическое поле является безвихревым, т.е. • Из уравнений следует, что линии Eначинаются в некотором источнике и не замкнуты

36. 1.3. Закон Кулона Этот закон был открыт Ш.Кулоном экспериментально, в 1785 г. Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в поле другого точечного заряда Если заряды имеют один и тот же знак, то сила взаимодействия будет силой отталкивания, если разный – то притяжения.

37. 1.3.Разность потенциалов Поскольку , то линейный интеграл вектора E по любому незамкнутому пути не зависит от пути интегрирования и определяется значениями некоторой скалярной функции в начальной и конечной точках пути. Эта функция – потенциал электростатического поля Дифференциальная зависимость для Е и U:

38. 1.3. Линии напряженности и линии равного потенциала Линии равного потенциала, U Линии напряженности, Е

39. 1.3. Смысл электрического потенциала Работа, совершаемая над зарядом в электрическом поле: Если q = 1, U1 = 0 (точка находится на большом удалении от источника поля) , то A = U2 Т.е.электрический потенциал – это работа, совершаемая над единичным электрическим зарядом в электрическом поле при перемещении заряда в область, бесконечно удаленную от источников поля

40. 1.3. Энергия электрического поля Система заряженных тел – носитель энергии, которая сообщается ей внешними источниками в процессе образования зарядов и может быть возвращена источникам или преобразована в другие виды энергии при уменьшении зарядов Элементарная работа, производимая внешними силами при увеличении заряда qkнекоторого тела на dqk: dAk = Ukdqk, Uk – потенциал тела. Полная работа при изменении зарядов всех n тел системы от нуля до конечного значения:

41. 1.3. Энергия электрического поля Будем считать, что система заряжается так, что вся работа, совершаемая источниками при образовании зарядов идет на создание запаса электрической энергии Wэ: А = Wэ ПотенциалUk k-ого тела зависит от зарядовq1, q2,…, qnвсех тел: Будем считать, что заряды устанавливаются пропорционально друг другу:

42. 1.3. Энергия электрического поля Используя A = W э : Т.е. энергия электрического поля определяется следующим выражением:

43. 1.4. Электрическое поле в простейших системах.

44. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля точечного заряда R = 5 мм – радиус заряда ρ = 0,0019 Кл/м3 – плотность заряда

45. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля точечного заряда

46. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля точечного заряда Точность решения, E* - точное значение в точке Абсолютная погрешность Относительная погрешность l, мм l, мм

47. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля заряженной нити (провода) R = 5 мм – радиус провода τ = 1,4922 Кл/м L = 1000 мм – длина провода

48. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля заряженной нити (провода)

49. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля заряженной нити (провода) Точность решения, E* - точное значение в точке Абсолютная погрешность Относительная погрешность l, мм l, мм

50. 1.4. Электрическое поле в простейших системах Напряженность поля бесконечно протяженной плоскости S – площадь поверхности, S = 2 м2 σ = 5e-10 Кл/м2 поверхностный заряд 1500 мм