1 / 68

Świat Fraktali

Świat Fraktali. Co to jest fraktal?. Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie, ale opisany prostymi równaniami, które powtarza się wiele razy.

zandra
Télécharger la présentation

Świat Fraktali

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Świat Fraktali

  2. Co to jest fraktal? • Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie, ale opisany prostymi równaniami, które powtarza się wiele razy. • Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę jaką jest ich nieskończone samopodobieństwo. Oznacza to, że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego znaczną część.

  3. Definicje • Fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar topologiczny jest różny (mniejszy) od wymiaru Hausdorffa. • Fraktal to obiekt samopodobny, o wymiarze ułamkowym. Jak za niedługo się okaże, fraktal wcale nie musi mieć wymiaru równego dwa czy trzy.

  4. Podział fraktali

  5. Fraktale Sierpińskiego • Również polski matematyk, Wacław Sierpiński zajmował się tego typu figurami. • Fraktalami Sierpińskiego nazywamy:- Dywan Sierpińskiego- Trójkąt Sierpińskiego- Piramidę Sierpińskiego • Z czasem powstało wiele wariacji tych figur i powstały zbiory o bardziej skomplikowanej budowie.

  6. Dywan Sierpińskiego • Krok 1: Kwadrat o boku a dzielimy na 9 części i usuwamy środkową częśc.

  7. Dywan Sierpińskiego Krok 2 i dalsze: Postępujemy tak samo z kolejno powstającymi kwadratami.

  8. Dywan Sierpińskiego Oto figura po 5 krokach

  9. Dywan Sierpińskiego • Po nieskończenie wielu krokach z początkowej figury powstaje zbiór punktów • Pole Dywanu Sierpińskiego (jak i innych jego fraktali) jest równe zero • Liczbę „dziur” po n-tym przekształceniu można obliczyć ze wzoru: • Przekształcając trójkąt czy czworościan w podobny sposób otrzymujemy inne fraktale Sierpińskiego:

  10. Trójkąt Sierpińskiego

  11. Piramida Sierpińskiego

  12. Krzywa i Płatek Koha • Twórcą tego fraktala jest Hegle von Koch, szwedzki matematyk. • Dany odcinek dzielimy na trzy części i usuwamy środkową. W to miejsce wstawiamy trójkąt równoboczny, pozbawiony podstawy

  13. Krzywa i Płatek Koha • Tak postępujemy dla każdego z czterech powstałych odcinków.

  14. Krzywa i Płatek Koha • Oto figura po 5 przekształceniach. • Krzywa ma teraz 1024 boki

  15. Płatek Koha • Płatek Kocha powstaje po połączeniu trzech krzywych Kocha pod kątem 60°, “chropowatą” stroną na zewnątrz. • Innymi słowy każdy z boków trójkąta równobocznego traktujemy jak „podstawę” krzywej Koha. • Płatek ma nieskończony obwód ale skończone pole, wynosi ono

  16. Płatek Koha

  17. System IFS • System IFS (z ang. iterated function system- system funkcji iterowanych) wykorzystuje przekształcenia afiniczne do konstrukcji fraktali. • Odpowiednio dobrane współczynniki tego układu równań powodują, że kolejne obrazy punktów zbiegają się do punktu stałego.

  18. System IFS • Przekształcenie które zbliża punkty do punktu stałego nazywamy przekształceniem zawężającym. • Metoda polega na stosowaniu kilku przekształceń w pętli a przekształcenie,które w danym momencie będzie zastosowane dla punktu jest losowane. • Algorytm tej konstrukcji jest bardzo prostyw porównaniu ze zbiorami punktów jakie można otrzymać co potwierdza jedną z podstawowych właściwości fraktali: prosty wzór- skomplikowana budowa.

  19. Fraktale IFS • Istnieje bardzo wiele fraktali IFS • Również wcześniej przedstawione fraktale można otrzymać na drodze funkcji IFS • Przykłady:- Smok Heighwaya- Smok Levyego- Kostka Mengera- Paproć Bransleya- i wiele, wiele innych

  20. Smok Heighwaya

  21. Smok Levyego

  22. Kostka Mengera

  23. Zbiór Julii • Francuski matematyk Gaston Julia zastosował do swoich badań przestrzeń zespoloną. • Oprócz liczb rzeczywistych operujemy tutaj liczbami zespolonymi a zamiast przekształceń afinicznych ciągami wielomianów zespolonych • Zbiór Julii opisuje równanie:gdzie c to pewna ustalona stała zespolona

  24. Zbiór Julii - konstrukcja • Ustalamy koło, w którym nasz zbiór musi się zmieścić • Wybieramy punkt leżący wewnątrz koła • Obliczamy L pierwszych wyrazów ciągu dla tego punktu i badamy jego zbieżność • Jeżeli ciąg nie ucieka do nieskończoności, kolorujemy punkt który badaliśmy

  25. Zbiór Julii - konstrukcja • Czerwony ciąg mieści się w kole, więc postawilibyśmy punkt o współrzędnych z0

  26. Zbiór Julii • Jeżeli postąpimy tak z każdym punktem znajdującym się wewnątrz koła otrzymamy zbiór Julii • Stała c jest bardzo ważna. • W zależności od jej wartości, zbiór będzie spójny lub nie.

  27. Niespójny zbiór Julii

  28. Spójny zbiór Julii

  29. Zbiór Mandelbrota • Zbiór Mandelbrota to zbiór tych punktów c dla których Zbiór Julii jest spójny • Zbiór Mandelbrota jest tylko jeden, natomiast zbiorów Julii jest nieskończenie wiele • Zbiór ten jest uznawany za najbardziej skomplikowaną strukturą znaną człowiekowi

  30. Zbiór Mandelbrota • Zbiór ten, jest zadziwiającym przykładem samopodobieństwa • Powiększając fraktal olbrzymią liczbę razy natrafiamy wciąż na bardzo podobne lub wręcz identyczne fragmenty • Jedyną granicą jest moc obliczeniowa komputera który generuje fraktal

  31. Powiększenie 210 350x

  32. Powiększenie 5 141 100 000x

  33. Powiększenie 248 034 982 258x

  34. Filmy ze zbioru Mandelbrota • Następne trzy krótkie filmy prezentują właściwości zbioru Mandelbrota • Pierwszy: generację zbiorów Julii z różnych miejsc (wartość c) zbioru Mandelbrota • Drugi: krótka podróż wgłąb zbioru Mandelbrota • Trzeci: bardzo szybkie powiększanie zbioru Mandelbrota

  35. Inne zbiory tego typu • Istnieje wiele zbiorów powstających na płaszczyźnie zespolonej • Najważniejsze i najciekawsze z nich to:- wstęga Newtona- „Płonący statek”- „Magnet”- „Phoenix” • Istnieje też wiele wariacji zbiorów Mandelbrota i Julii

  36. „Płonący statek” • Na kolejnym obrazku powiększenie zaznaczonego fragmentu

  37. Metody kolorowania • Powyższe przykłady używały tylko kolorowanie zewnętrznego, istnieje też kolorowanie wewnętrzne • Najprostszym sposobem kolorowania jest oznaczanie tym samym kolorem punktów powstałych przy tej samej iteracji • Najczęściej do tego celu używa się wielokolorowych gradientów

  38. Wymiary fraktali • Pojęcie wymiaru w matematyce nie jest takie jednoznaczne • Najprostsza definicja to wymiar topologiczny – wymiar który określamy intuicyjnie ( prosta – 1 wymiar, kwadrat – 2 wymiary, itd.) • Do opisywania fraktali stosuje się wymiar Hausdorffa

  39. Wymiar Hausdorffa • Przeanalizujmy pewne zależności między skalą podobieństwa a wymiarem • Odcinek, powiększony dwukrotnie mieści dwa wyjściowe odcinki:

  40. Wymiar Hausdorffa • Kwadrat powiększony dwukrotnie, mieści cztery wyjściowe kwadraty • Innymi słowy jego pole jest czterokrotnie większe

  41. Wymiar Hausdorffa • Postępując podobnie z sześcianem, zwiększamy jego objętość ośmiokrotnie

  42. Wymiar Hausdorffa • Jak wiadomo kwadrat skali podobieństwa jest równy stosunkowi pól (a sześcian, objętości), czyli ogólnie: • Gdzie:N – stosunek pola/objętościs – skala podobieństwad - wymiar

  43. Wymiar Hausdorffa • Wyprowadzając z tego wzoru d otrzymujemy: • Gdzie:N – stosunek pola/objętościs – skala podobieństwad – wymiar • Otrzymaną równość nazywamy wymiarem Hausdorffa

  44. Wymiary Fraktali • Krzywa Koha: • Trójkąt Sierpińskiego: • Dywan Sierpińskiego: • Zbiory Julii Mandelbrota maja wymiar 2

  45. Fraktale a natura • Benoit Mandelbrot miał powiedzieć: „Wszystko jest fraktalem”, uważał, że kształty takie jak koło czy kwadrat nie istnieją w naturze • Okazuje się że wiele naturalnych rzeczy ma cechy fraktali:- chmury- skały- cząsteczki DNA- kryształy niektórych związków chemicznych- rośliny jak paproć czy drzewa- i wiele innych

More Related