Afinost između kružnice i elipse

1. C A B D D1 A1  B1 Par okomitih promjera kružnice preslikava se u par konjugiranih promjeraelipse. C1 Afinost između kružnice i elipse Konstruirati elipsu e1 kao afinu sliku kružnice k u afinitetu (o, S, S1). Pri tome vrijedi S Definicija 1. Dva su promjera elipse konjugirana, ako su pri afinom preslikavanju kružnice u elipsu nastali kao afina slika međusobno okomitih promjera kružnice. os S1

2. simetrala dužine SS1 G C Konstruirati veliku i malu os elipse zadane parom konjugiranih promjera koja je afino pridružena danoj kružnici S A B os D D1 Velika i mala os elipse konstruiraju se pomoćuTalesovog teorema. S1 B1 A1 C1

3. S1 S2 Preslikavanje kružnice ortogonalnim afinitetom T1 o T2

4. os smjer zrake C1 =C2 C smjer zrake k1 os B2 A2 =S2 A1= =B1 D k2 =D2 D1 Afinost kružnice i elipseu kojem je jedan promjer zajednički, a zraka afinosti je okomita na taj promjer. Elipsa je zadana velikom i malom osi. a) b) C S B A S =S1 A B D AB=A1B1-svaka točka na tom pravcu pridružena je sama sebi, pa je on os afinosti CD=C2D2– zajednički promjer kružnice i elipse, pa je taj pravac os afinosti Promjeru AB elipse pridružen onaj promjer A2B2 kružnice koji je okomit na C2D2 - def.1. Promjeru CD elipse pridružen onaj promjer C1D1 kružnice koji je okomit na A1B1 def.1. Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka A – A2 (ili B – B2). Afinost je ovdje određena osi i parom pridruženih točaka C – C1 (ili D – D1).

5. p1= p2 p k2 k1 T1 T2 T Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti Elipsa je zadana velikom i malom osi AB i CD. • U afinitetu između zadane elipse i kružnice k1, os je incidentna s AB, a zrake su paralelne s CD. • U afinitetu između elipse i kružnice k2, os je incidentna s CD, a zrake su paralelne s AB. C S A B Može se dokazati da je nekom pravcu p kroz S u području elipse pridružen u oba afiniteta isti pravac p1 p2. D Istodobnomkombinacijom obaju afiniteta dobivamo točke afino pridružene elipse. Točka T, koja je afinopridružena točkama T1 i T2,sjecište je dviju zraka dvaju afiniteta. Temeljem navedenih zaključaka izvodi se sljedeća konstrukcija elipse.

6. t2 t1 t T1 T2 T k2 k1 Konstrukcija elipse iz velike i male osi pomoću afiniteta Napomena. Konstrukcija točaka elipse pomoću afinosti izvodi se na onim dijelovima krivulje, na kojim krivulja nije aproksimirana hiperoskulacijskim kružnicama. C Tangenta t u točki T elipse afino je pridružena tangenti t1 u afinitetu s kružnicom k1, odnosno tangenti t2 u afinitetu s kružnicom k2. A B S D

7. o  P2 u v u2 v2 U V2 V U2 A2 B2 k2 Zadaci 1. Konstruirati tangente iz točke P na elipsu, koja je zadana velikom i malom osi. a) odabran je afinitet nad kružnicom k2, jer se u tom afinitetu točka P nalazi na osi afinosti, pa je sama sebi pridružena. P b) A-A2 (odnosno B-B2) su u tom afinitetu par pridruženih točaka. C c) konstruiraju se tangente u2 i v2 iz točke P na kružnicu k2. d) dirališta U2 i V2 preslikavaju se u točke U i V elipse pomoću para pridrtuženih točaka ili prethodnom konstrukcijom. A B D

8. p1 X1 C1 X N1 o N k1 M M1 Zadaci 2. Konstruirati sjecišta pravca p i elipse, koja je zadana velikom i malom osi. a) odabran je afinitet između elipse i kružnice k1 b) pravac p iz područja elipse preslikava se u pravac p1 iz područja kružnice pomoću neke točke X. c) odrede se sjecišta M1 i N1pravca p1 i kružnice k1. p C d) na zrakama afinosti odrede se afino pridružene točke M i N, koje su tražena sjecišta pravca i elipse. A B Napomena. Ta su sjecišta geometrijski točno određena bez iscrtavanja elipse. D

9. P1 R1 R o k1 T t t1 T1 Q1 Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice opisane većem promjeru Temeljem def. 1 slijedi: • MN je zajednički promjer elipse i kružnice MN je os afinosti, • promjer PQ elipse preslikava se u promjer P1Q1 kružnice P – P1 jezraka afinosti. P M Konstrukcija točke T (odnosno R) elipse, ako je zadana njezina afina slika T1 k1 (R1  k1 ): a) pomoću para pridruženih točaka P – P1, N S b) koristeći svojstvo da se paralelni pravci preslikavaju u paralelne pravce (R – R1). Q Tangenta t elipse u točki T afina je slika tangente t1 kružnice s diralištem u točki T1. Velika i mala os elipse može se dobiti Rytzovom konstrukcijom.

10.  P2 M2 . t2 T2 N2 t k2 T Q2 o Afinost između elipse zadane parom konjugiranih promjera i kružnice nad manjim promjerom PQ – zajednički promjer elipse i kružnice PQ je os afinosti. P Par konjugiranih promjera elipse je afina slika para konjugiranih promjera kružnice, a oni su uvijek međusobno okomiti. M N S MN je afina slika promjera M2N2kružnice, pa su M i M2 (odnosno N i N2) par pridruženih točaka, a njihova spojnica zraka afinosti. Q Tangenta u točki elipse je afina slika tangente afino pridružene kružnice u pridruženoj točki.