第十章 数项级数

1. 第十章 数项级数

2. 例1.微分方程 的解？ §1 级数问题的提出 非初等函数的表示 微分方程的解 一些数学问题和实际问题经常用到：无穷多个函数相 加或无穷多个数相加。 和 例2. 例3.

3. 问题： 1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？ 2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算规律与“有限和”有什么异同？ 历史上： 很多是“形式运算”，后来由于应用的深入和广泛，形式运算常出现矛盾：

4. 例：无穷项相加 若把它写成 则其“和”为0， 若把它写成 则其“和”为1, “和”只能一个，矛盾 。

5. 设有数列： §2 数项级数的收敛性及其基本性质 无穷项函数相加，对每一个固定的 x，每一项便变成一个数，因此，我们从无穷个数相加谈起，这种级数称为数项级数，或简称为无穷级数。 定义 用加号把这些数依次连接起来所得的式子 这仅是一种形式上的相加。 称为无穷级数或数项级数，简称级数。 记为：

6. 称为级数的部分和数列。 称为级数的前n项部分和（简称部分和） 引入一个新的数列

7. 一、数项级数的收敛 定义10.1 有极限存 的部分和数列 若级数 在（设为S），则称级数 收敛 。 S称为级数的和，记作： 此时也称级数 收敛到S。若部分和数列 没有极限存在，则称该数列发散，此时它没有和。

8. 例1 讨论级数 的收敛性。 解：前n项部分和为 因为 所以级数 收敛，其和为1，即

9. 例2 的收敛性。 讨论级数 解：前n项部分和 因此，级数 发散。

10. 例3 例3 （几何级数）讨论几何级数 的收敛性，其中 r 为公比。 解： 此时级数收敛，其和为 即 这是中学学习过的。

11. 当| r |>1时, 当 r = 1时， 当 r = -1时， 当a≠0时，极限不存在，这是因为 两个子数列的极限不相等。因此级数发散。

12. 特别地，当 a = 1 时级数就是 这是10.1中讨论过的级数，它发散，因此没有和。故 说它的和即等于1又等于0的推理，前提是不正确的。 综合起来，对几何级数 得到的结论是： 当| r | < 1 时,时收敛，当 | r |≥1时, 发散。

13. 例4 在§8.1，我们曾得到公式 例4 其中 0 < θ < 1，由 知 故 这样就把 e用一个无穷级数表示出来。

14. 二、数项级数的性质 定理10.1 若级数 收敛，c为任意常数，则级数 也收敛，且

15. 定理10.2 收敛，则级数 若级数 也收敛，且

16. 定理10.3 任意改变级数有限项的数值， 不改变级数的收敛性。

17. 定理10.4 (收敛的必要条件) 若级数 收敛，则一般 项趋向于0，即

18. 说明： 1）用其逆否命题：若 ，则 发散。判断 例： 级数的发散性。 2） 是必要条件，而不是充分条件：前面例子。 3）最后：级数和数列的关系： 级数 部分和数列 级数 数列 其中：

19. §3 正项级数 最简单的级数 正项级数。 定义10.2 若级数的每一项都是非负的，则称此级数 为正项级数。

20. 正项级数收敛的必要条件 定理10.5 正项级数 收敛的充要条件是： 部分和数列 有上界。 证明： 必要性. 按定义，级数 收敛，部分和数列 有极限存在，因此有上界。 单调上升， 充分性。由 知部分和数列 它有上界则必有极限存在，因此级数收敛。 说明： 这是一个基本定理，后面的判别法大都由此证明。

21. 例1 例1: 证明 “ p 级数” 当 p > 1 时收敛，当 p ≤ 1 时发散。 证明： 先证明 p = 1 时级数发散。由定理10.5，只需证明 部分和数列无上界。对任意正整数，都有 正整数 k，使 , 这时把部分和数列 的项第二项依次按 项组合起来， 便得

23. k可以取任意大，因而无上界。故 p = 1时，级数 也称为调和级数）。 发散（级数 当 p < 1时，由于对任意正整数 k，有 因此 右边的部分和数列无上界推出左边也无上界， 在 p < 1 也发散。 故 当 p > 1 时，设 类似于前面的做法，有

25. 这就证明了部分和 (这里用到 ,当 p > 1 时收敛。 数列有上界，故

26. 比较判别法 （比较判别法）设有两个正项级数 定理10.6 若对充分大的 n（即存在 N, 当 n > N 时）有 其中 c > 0与 n 无关，则 1) 当 收敛时， 收敛； 发散。 2) 当 发散时，

27. 证明： 由定理10.3，不妨假定 从n=1开始 成立，记 因此 （n=1,2,…） 无上界时， 故当 有上界时，有上界，当 由定理10.5便推出定理10.6的结论。 另证：

28. 比较判别法的极限形式 设给定两正项级数 若 定理10.7 则： 注： 1. 把定理10.7与p级数结合； 2. 定理10.7的应用：必须已知某正项级数 的收敛性 。 通常：把判别级数和几何级数，p级数比较。

29. 再证： 例2 判断级数 的收敛性。 ,而 是收敛的。 的收敛性 例3 判断级数 ，而调和级数是发散的。

30. 证明： 比较判别法的另一种形式 设给定两正项级数 定理10.8 若当 n充分大后有 收敛；由 则由 收敛可推出 发散可推出 发散。 取几何级数做标准，便得下面的判别法。

31. 达朗贝尔（D`Alembert）判别法 都不为0，且满足 的每一项 设正项级数 定理10.9 则 （1） 当 时，级数 收敛； 发散； （2） 当 时，级数 （3） 当 时，需进一步判定。

32. 使 （1）当 时，取 使 （2）当 时，取 证明要点 当 　　　时，有 （3）讨论

33. 例4 讨论级数 例5 讨论级数 故收敛

34. 则（1）当 时，级数 收敛； （2）当 时，级数 发散； 证明: 1）当 时，取 当　　　时 则　 柯西（Cauchy）判别法 满足 设正项级数 定理10.10 （3）当 时，需进一步判别。

35. 故当 时,级数收敛， 当 x=1 时,级数显然发散。 例6 讨论 的收敛性，其中 解 ： 注意 （用两边夹的极限不等式证明），则

36. 拉阿比（Raabe）判别法 的项满足 定理10.11 设正项级数 则（1）当 时，级数 收敛； （2）当 时，级数 发散。

37. 定理10.12 柯西（Cauchy）积分判别法 若 在 连续，单调下降， 则正项级数 收敛的充分必要条件是极限 存在. 例：用积分判别法判别p级数的收敛性： 取 它在 非负，连续递减。 且 易知 当 时 从而 时，发散。当 时，收敛。 当

38. 例8 讨论 的收敛性，其中 解：取 它在 非负，单调下降， 连续. 当 时，已知 而当 时， 时 发散。 故 当 时收敛，当

39. 满足： 设交错级数 定理10.13 则该级数收敛. 证明：考察部分和数列 的两个子列 单调上升有上界，从而有极限 先证 §4 一般项级数 1. 交错级数 其中 莱布尼兹判别法

40. 例

41. 数列 收敛的Cauchy准则： 收敛 的部分和 现取 为级数 则有关于级数收敛的Cauchy定理： 2. Cauchy收敛原理与绝对收敛

42. （Cauchy收敛原理）级数 收敛 定理10.14 有 因此，可有： 发散 时

43. 例2 例1 用Cauchy收敛原理证明调和级数 讨论级数 的收敛性 发散 实际上：前面第九章 用Cauchy准则证明 发散 注：定理10.15的逆不成立 也就是这里的证明。 其中： 若 收敛，则 收敛. 定理10.15 由Cauchy收敛原理可证：

44. 定义10.3 （绝对收敛，条件收敛） 绝对收敛 ； 收敛，则称 若 若 则称 条件收敛. 发散， 收敛，而

45. 总结一下： 收敛 收敛 ：绝对收敛 不可能 收敛 + 发散 ：条件收敛 收敛 发散 + 发散 发散

46. 例3 讨论级数 的收敛性 达朗贝尔（D`Alembert）判别法 定理10.16 (1) 当 时，则 绝对收敛 ； (2) 当 时，则 发散 。

47. 3.Dirichlet判别法与Abel判别法 变换： 设有两组数 求和数 引进

48. 于是 代入得： 或 此上式称为 变换 。 引进 引进 引进 解释：（1）几何解释： 引进 29页图

49. （2）它和分部积分公式十分相似：考察 记 比较： 单调； 引理1 设 有界，即 则

50. 证明：有阿贝尔变换与　　有界知，