Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky

1. Fakulta životního prostředí Katedra informatiky a geoinformatiky Přednáška 04 Operace, jejich vlastnosti, struktury jiri.cihlar@ujep.cz Matematika I. KIG / 1MAT1

2. O čem budeme hovořit: Zobrazení a jeho druhy, binární operace v množině, vlastnosti binárních operací (úplnost, komutativita, asociativita, existence neutrálního prvku a inverzních prvků), distributivnost binárních operací, matematické struktury (pologrupa, grupa, těleso).

3. Zobrazení a jeho druhy

4. Zobrazení Definice: Binární relaci F  A  B nazýváme zobrazením právě tehdy, když  (xA) (y,zB) x F y  x F z  y  z , tj. (xA) (y,zB) x F y  x F z  y = z . U zobrazení jsou tedy zakázány tyto konfigurace:

5. Prosté zobrazení Definice: Zobrazení F  A  B nazýváme prosté právě tehdy, když  (x,yA) (zB) x F z  y F z  x  y , tj. (x,yA) (zB) x F z  y F z  x = y . U prostých zobrazení jsou zakázány tyto konfigurace:

6. Druhy zobrazení mezi množinami A, B Je-li dáno zobrazení F  A  B, pak jeho první i druhý obor jsou podmnožinami množin A, B, tedy platí ⃞F  A  F⃞ B . V tomto obecném případě nazýváme zobrazení F zobrazením z množiny A do množiny B. Mohou však nastat případy, kdy platí, že ⃞F= A , resp. F⃞= B , resp. obojí. V těchto případech užíváme pro zobrazení speciální názvy:

7. Druhy zobrazení mezi množinami A, B Nechť je dáno zobrazení F  A  B. Jestliže platí ⃞F= A F⃞ B , pak F nazýváme zobrazením množiny A do množiny B. Jestliže platí ⃞F A F⃞= B , pak F nazýváme zobrazením z množiny A na množinu B. Jestliže platí ⃞F= A F⃞= B , pak F nazýváme zobrazením množiny A na množinu B.

8. Vzájemně jednoznačné zobrazení Je-li F prosté zobrazení množiny A na množinu B, nazývá se Fvzájemně jednoznačné zobrazeníA na B. Příklady: Funkce y = x2 je vzájemně jednoznačným zobrazením množiny 1 2 3 4 na množinu 1 4 9 16. Funkce y = 2x je vzájemně jednoznačným zobrazením množiny všech reálných čísel na množinu všech kladných čísel.

9. Binární operace v množině

10. Příklad binární operace - sčítání Při sčítání přirozených čísel je ke dvojici libovolně zvolených čísel (tzv. sčítanců) jednoznačně přiřazen výsledek (tzv. součet). Například: 2 + 3 = 5 ……. 2  3  5 4 + 2 = 6 ……. 4  2  6 9 + 0 = 9 ……. 9  0  9 12 + 9 = 21 ……. 12  9  21 atd.

11. Příklad binární operace - sčítání Operaci sčítání přirozených čísel tedy můžeme chápat jako určité zobrazení kartézského součinu N0  N0 na množinu N0 .

12. Příklady dalších binárních operací • Umocňování přirozených čísel, • Sčítání, odčítání, násobení a dělení celých (racionálních, komplexních) čísel, • konjunkce (disjunkce, implikace, ekvivalence) dvou výroků, • průnik (sjednocení, rozdíl) dvou množin, • sčítání či násobení reálných funkcí, • střed dvojice bodů, • největší společný dělitel (nejmenší společný násobek) dvou přirozených čísel, atd.

13. Definice binární operace Binárníoperací v množině M nazýváme zobrazení z kartézského součinu M M = M2 do množiny M . Příklady: Binární operace sčítání přirozených čísel je zobrazení množiny N0 N0 na množinuN0 . Binární operace odčítání přirozených čísel je zobrazení z množiny N0 N0 na množinuN0 . Binární operace „následovník součinu“ přirozených čísel je zobrazení množiny N0 N0 do množinyN0 .

14. Vlastnosti binární operace v množině

15. Motivační příklad U binárních operací je důležité, zda je operace zobrazením (celé)množiny M  M do množiny M , nebo pouze z množiny M  M do množiny M . V prvním případě je výsledek operace definován pro libovolnou dvojici x  y M  M a je prvkem množiny M, v druhém případě není některým dvojicím x  y M  M přiřazen obraz z množiny M. Příklad: Učí-li se děti sčítat například jen v množině M = {1;2;3;4;5}, je operace sčítání v M tzv. neúplná.

16. Definice úplnosti binární operace Binárníoperaci v množině M nazýváme úplnou právě tehdy, když platí (x,yM)(z M ) x  y = z . Příklady: • operace sčítání je úplná v N0, • operace odčítání není úplná v N0, • operace odčítání je úplná v Z, • operace dělení není úplná v Q, • operace umocňování není úplná v Q, atd.

17. Motivační příklad Při nácviku násobení přirozených čísel se děti učí, že výsledek nezávisí na pořadí činitelů, například 2 . 3 = 3 . 2 . Tento fakt můžeme odůvodnit na „modelu násobení“: V těchto situacích užíváme tzv. komutativitu násobení: x . y = y . x

18. Definice komutativnosti binární operace Binárníoperaci v množině M nazýváme komutativní právě tehdy, když platí (x,yM) x  y = y  x . Příklady: • operace sčítání je komutativní v N0, • operace odčítání není komutativní v Z, • operace střed dvojice bodů je komutativní, • operace průnik ve V je komutativní, • operace umocňování není komutativní v N0.

19. Motivační příklad Při nácviku sčítání přirozených čísel „přes desítku“ naučíme děti rozkládat čísla na dva sčítance, a pak postupujeme například takto: 8 + 7 = 8 + ( 2 + 5 ) = ( 8 + 2 ) + 5 = 10 + 5 = 15 Užíváme přitom tzv. asociativitu sčítání: x + ( y + z ) = ( x + y ) + z

20. Definice asociativnosti binární operace Binárníoperaci v množině M nazýváme asociativní právě tehdy, když platí (x,y,zM) ( x  y)  z = x  ( y  z). Příklady: • operace sčítání je asociativní v N0, • operace odčítání není asociativní v Z, • operace umocňování není asociativní v N0, • operace sjednocování je asociativní, atd.

21. Motivační příklad U některých binárních operací v množině M existuje jistý význačný prvek v množině M s touto vlastností: „je-li tento prvek jedním z operandů, pak vůbec neovlivňuje výsledek operace, tj. výsledek je vždy roven druhému operandu“. Příklad: U sčítánípřirozených číselje takovým prvkem nula, protože 5 + 0 = 5 , 12 + 0 = 12 , 0 + 4 = 4 , atd. Budeme říkat, že číslo 0 je neutrálním prvkem operace sčítání přirozených čísel.

22. Definice neutrálního prvku binární operace U binárníoperace v množině M budeme nazývat prvek n neutrálním prvkem právě tehdy, když platí (xM) x  n = x n  x = x . Příklady: • u operace sčítání vN0je neutrálním prvkem 0, • operace odčítání vZ nemá neutrální prvek, • u operace násobení v Q je neutrálním prvkem 1, • u operace sjednocení je neutrálním prvkem , • operace střed dvojice bodů nemá neutrální prvek.

23. Motivační příklad U binárních operací v množině M, které mají neutrální prvek, můžeme nastat tato situace: k prvku x  M lze nalézt (obecně) jiný, tzv. inverzní prvek x´ M, kdy výsledkem operace s těmito prvky je neutrální prvek. Příklad: U sčítánícelých čísel je neutrální prvek 0 a tedy k číslu 3 je inverzním prvkem (-3), protože 3 + (-3) = 0 , k číslu (-7) je inverzním prvkem 7, protože (-7) + 7 = 0 , k číslu 0 je inverzním prvkem 0, protože 0 + 0 = 0 , atd.

24. Definice inverzních prvků binární operace U binárníoperace v množině M s neutrálním prvkem n budeme nazývat prvek x´ inverzním prvkem k prvku x právě tehdy, když platí x  x´ = n x´  x = n. Příklady: • u operace sčítání v Qje k číslu 3 inverzním prvkem číslo (–3) , • u operace násobení v Q jek číslu 3 inverzním prvkem číslo 1/3 , • u operace sjednocování ve V nemá žádná neprázdná množina inverzní prvek, atd.

25. Distributivnost dvou binárních operací v množině

26. Motivační příklad V aritmetice čísel je často používáno dobře známé pravidlo o „roznásobování závorky“. Příklad: Máme-li zpaměti vypočítat součin 3 .17 , postupujeme v myšlenkách takto: 3 . 17 = 3 . (10 + 7) = 3 . 10 + 3 . 7 = 30 + 21 = 51 Zde používámetzv. distributivitu násobení vůči sčítání, tedy platnost vztahu x . (y + z) = x . y + x . z

27. Definice distributivnosti binárních operací Nechť jsou dány dvě binárníoperace  a v množině M. Budeme říkat, že operace  je distributivní vzhledem k operaci  právě tehdy, když platí (x,y,zM) ( x  y )  z = ( x  z )  ( y  z )   z  ( x  y ) = ( z  x )  ( z  y ) . Příklady: • násobení je distributivní vzhledem ke sčítání, • sčítání není distributivní vzhledem k násobení, • sjednocení je distributivní vzhledem k průniku, atd.

28. Matematické struktury

29. Definice matematické struktury Uspořádanou n-tici [ M; R1; R2; … ; O1; O2; … ] budeme nazývat matematickou strukturou právě tehdy, když M je množina (tzv. nosič struktury), R1; R2; … jsou binární relace v množině M a O1; O2; … jsou binární operace v množině M . Příklady matematických struktur: • [ N0; = ; < ; + ; . ], • [ Z; + ], • [ V ;  ;  ;  ; - ], atd.

30. Definice pologrupy Strukturu [ M; O] budeme nazývat pologrupou právě tehdy, když binární operace O je v množině M úplná a asociativní. Je-li operace O v množině M navíc komutativní, nazývá se struktura [ M; O] komutativní pologrupa. Příklady: • [ N0; +]je komutativní pologrupa, • [ Z; - ] není pologrupa, • [ Q; . ] je komutativní pologrupa, • [ V ; ]je komutativní pologrupa.

31. Definice grupy Strukturu [ M; O] budeme nazývat grupou právě tehdy, když binární operace O je v množině M úplná, asociativní, má neutrální prvek a má všechny inverzní prvky. Je-li operace O v množině M navíc komutativní, nazývá se struktura [ M; O] komutativní grupa. Příklady: • [ N0; +]není grupa, • [ Z; +] je komutativní grupa, • [ Q; . ] není grupa, • [ V ; ]není grupa.

32. Definice tělesa Strukturu [ M; O1; O2] budeme nazývat tělesem právě tehdy, když : • struktura [ M; O1] je komutativní grupa, • struktura [ M - {n}; O2] je grupa (kde n je neutrální prvek první operace O1 ), • operace O2 je distributivní vzhledem k O1 . Je-li navíc i druhá operace komutativní, tedy struktura [ M - {n}; O2] je komutativní grupa, budeme strukturu [ M; O1; O2] nazývat komutativním tělesem.

33. Příklady • [ Q; +; . ]je komutativní těleso • [ Z; +; . ]není těleso (operace násobení nemá inverzní prvky) • [ D; +; . ]není těleso (například číslo 3 nemá inverzní prvek vzhledem k násobení) • [ R; +; . ]je komutativní těleso,

34. Co je třeba znát a umět? • Zobrazení, jeho obory a jeho druhy, • prosté a vzájemně jednoznačné zobrazení, • operace v množině, příklady konkrétních operací, • vlastnosti operací v množině (úplnost, komutativita, asociativita, existence neutrálního prvku, existence inverzních prvků, distributivita), • matematické struktury (pologrupa, grupa, těleso) a jejich vlastnosti, • příklady konkrétních struktur.

35. Děkuji za pozornost