HOŞGELDİNİZ…

HOŞGELDİNİZ…

NEGATİF SAYILARA İLİŞKİN ZORLUKLAR,KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GİDERİLMESİNE YÖNELİK ÖNERİLER

Negatif sayı nedir? Negatif sayıların müfredattaki yeri Negatif sayılara ilişkin zorluklar ve kavram yanılgıları Negatif sayıların kavramsallaştırılmasına ilişkin zorluklar Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerine ilişkin zorluklar Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerine ilişkin zorluklar Kavram yanılgılarında öğretmen bilgisi Çoklu gösterim modüllerinin kullanılması Negatif sayıları anlamlı öğrenmeye yönelik yöntem ve öneriler Negatif sayıların anlamlandırılması Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerinin anlamlandırılması Negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinin anlamlandırılması Sonuç kazanımlar

İlköğretim 1. kademe süresince sadece doğal sayılarla işlem yapmaya alışkın olan öğrenciler için negatif sayıları anlamlandırmak kolay bir süreç değildir.Bu anlatımda negatif sayıların tanım ve önemine ,kısaca tarihçesine,bu sayıların öğreniminde ve öğretiminde karşılaşılan güçlükler ve bu güçlüklerle kavram yanılgılarının nasıl giderilebileceğine dair konulara değinilmiştir. GİRİŞ

Van De Walle (2007) negatif sayıları doğal sayılar üzerinden tanımlamıştır.Rönesans dönemi gibi yakın bir dönemde rastlanır.Descartes negatif sayıların varoluşunu imkansız olarak belirtmiş ve kendi oluşturduğu koordinat düzlemde sadece pozitif yön kullanmıştır.Halbuki sayılar sadece miktar göstergesi değil aynı zamanda sayı doğrusu üzerinde hareket olarak düşünülmekte farklı bir deyişle pozitif sayılar sağ yöne, negatif sayılar ise sol yöne hareket olarak tanımlanmaktadır. Negatif sayı ne demektir?

Crowley ve Dun(1985) negatif sayıların tarihçesine ilişkin eski dönem matematikçilerinin negatif sayılardan haberdar olmalarına rağmen onları reel sayı olarak kabul etmek istemediklerini ve bu sayıları anlamlandırmada zorlandıklarını belirtmişlerdir.16.yy sonlarında ve 17.yy başlarında negatif sayıları kabul etmemiştir.18.yy da matematikçiler bu sayıların özelliklerini ispat etmeye çalışmışlardır. Negatif sayıların ve eksi ile eksinin çarpımının artı olduğunu kabul görmesi 19. yüzyılı bulmuştur. Günümüzde ise negatif sayılar matematik derslerinde adı geçen bir kavram olmanın ötesinde günlük yaşamda da karşımıza çıkmakta ve böylece bir çok kişi okuldaki formal eğitim sürecinden önce negatif sayılara ilişkin farkındalık geliştirmektedir. Negatif Sayıların kısaca tarihçesi

Hativa ve Cohen (1990)çocukların formal olarak negatif sayılara ilişkin aldıkları eğitim öncesinde de pozitif olmayan sayı ve miktarlara karşı sezgilere sahip olduklarını gösteren çalışmaların olduğunu belirtir. Örneğin Azze (1989)yaptığı çalışmada bir çok 4 ve 5. sınıf öğrencisinin eksi işareti ile ilk kez karşılaştıklarında bu işareti yadırgamadıklarını ve sayı doğrusu üzerinde sıfırın solundaki sayıları incelerken ve bu sayılara ilişkin belli işlemleri yaparken zorluk yaşamadıklarını belirtmiştir. Benzer şekilde Murray (1985) ilköğretim 2. kademe öğrencileri yanı sıra ilköğretimde ki 1. kademedeki öğrencileri de negatif sayılara ilişkin bilgilere sahiptir ve bu sayılara ilişkin işlemleri doğru yapabildikleri belirtilmiştir. Negatif Sayıların Müfredattaki Yeri

Öğrenciler günlük yaşamda bir çok sezgisel bilgiler geliştirseler de formal anlamda bu sayılara ilişkin ilk kavramsal bilgiler 6. sınıfta verilmektedir. Negatif sayılar ilköğretim 6. sınıf matematik kitabında ‘sayılar’ öğrenme alanının altında ‘Tam Sayılar ve Tam Sayılarda İşlemler’ alt öğrenme olarak karşımıza çıkar(MEB,2008) Tamsayılara ilişkin kazanımlar ise ;tam sayıları açıklar ,mutlak değerin anlamını açıklar,tamsayıları karşılaştırır ve sıralar,tam sayılarda toplama ve çıkartma işlemi yapar. Bir çok matematik eğiticisi negatif sayıların müfredatta hangi seviyede yer alması gerekliliğine dair görüşlerini sunmuş ve bu düşüncelerine ilişkin gerekçelerini belirtmişlerdir.

Murray (1985)negatif sayıların 4.sınıfta tanıtılmasını uygun olacağını hatta basit toplama (-4+-3) işlemlerinin kuralsız anlatılabileceğini savunmuştur.Buna paralel olarak Hativa ve Cohen (1995)negatif sayıların erken dönemde (4 ve5.sınıf)pozitif sayı sisteminin uzantısı şeklinde öğretilmesi gerekliliğini savunmuştur.Hativa ve Cohen(1995)’e göre negatif sayılara ilişkin belli kavram ilköğretim seviyesinden itibaren tanıtıldığında ileriki yaşlarda oluşabilecek kavram yanılgılarının önüne geçilebilecektir.

Negatif sayılar ve negatif sayılara ilişkin işlemler öğrenciye ne zaman öğretilmelidir sorusu hala netlik kazanmamıştır. Ne var ki hazırlanan yeni ilköğretim matematik müfredatında 6. sınıfa kaydırılan tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapar kazanımı Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu Başkanlığınca ilköğretim matematik dersi (1-8.sınıflar)öğretim programında yapılan değişikler raporunda tekrar 7. sınıfa kaydırılmış(MEB,2009)6. sınıfta ise öğrencilerin bu sayılara ilişkin farkındalıklarının artırılması amaçlanmıştır.

Negatif sayıların hangi sınıf seviyesinde yer alması gerekliliği , öğrencilerin gelişim süreçleri de gözönünde bulundurularak değerlendirilmelidir.Başka bir deyişle öğrenciler formal eğitim süreçleri öncesinde her ne kadar negatif sayılara ilişkin sezgisel bilgilere sahip olsalarda bu sayılarla işlemlere yönelik kavramsal bilgilerin gelişmesi için onlara daha geniş aralıklı zamanlar verilmesi gerekmektedir.

Doğal sayılar ve kesirlere oranla ,öğrencilerin negatif sayıları nasıl anlamlandırdıkları ve onlarla işlem becerilerinin nasıl geliştiği üzerine literatürde çok az sayıda çalışmaya rastlanmaktadır(NRC,2001).bir çok öğrencinin sadece kuralları temel alıp bu konuları kavramlaştırmadan ezberledikleri v4e bu yüzden bir çok lise öğrencisinin bile negatif sayılarla işlem yapmada zorluk yaşadıkları belirtilmiştir(Bruno,EspinelMartinon,1997;Kucheman,1980). Negatif sayılara ilişkin zorluklar ve kavram yanılgıları

NEGATİF SAYILARIN KAVRAMSALLAŞTIRILMASINA İLİŞKİN ZORLUKLAR Negatif sayılara ilişkin yaşanan en büyük zorlukların başında hiç kuşkusuz bu sayıların anlamlandırılamaması ve kavratılamaması gelmektedir. Fischbein bu zorlukların ana kaynağını aritmetik öğretimi sırasında sayılara ilişkin ‘’büyüklük’’ve ‘’miktar’’ kavramlarının kullanımının negatif sayılardaki kullanımı ile çatışması olarak belirtir. Örneğin, 1kg elma ile 5kg elma arasında karşılaştırma yapan bir öğrenci miktar olarak 5kg elmanın daha çok olduğunu, aynı mantıkla 1 rakamı ile 5 rakamını karşılaştırdığında ise 5 rakamının daha büyük olduğunu belirtir.Bu mantıkla hareket eden bir öğrenci -1 ile -5 arasında da aynı ilişkiyi kurmakta ve -5’in büyüklük ve miktar olarak -1’den daha büyük olduğunu savunmaktadır. Negatif sayıların büyüklüklerinin karşılaştırılmasına ilişkin Ball ise mutlak değer kavramının işin içine girdiğini ve bu durumun bazı öğrenciler için karmaşık bir hal alabileceğini belirtmiştir.

Fischbein ve Ball’un çalışmalarından da anlaşılacağı gibi öğrencilerin negatif sayıları karşılaştırırken yaşadıkları zorlukların ve yaptıkları hataların temelinde pozitif sayılara ilişkin özelliklerin negatif sayılara da genellenebileceği kavram yanılgısı vardır. NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR Negatif sayılara ilişkin bir diğer önemli zorluk ise bu sayılarla yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde ortaya çıkmaktadır.Negatif sayılarla işlem yaparken şüphesiz karşılaşılan en büyük sorun öğrenciler için daha önce sadece toplama ve çıkarma işlemlerini temsil eden ‘’+’’ ve ‘’-’’ sembollerinin kullanımıdır.

Özellikle ,iki sembolün aynı anda kullanımı öğrencilerin kafasındaki bu karışıklığı arttırmaktadır.Örneğin ,[(+3)+(-7)] işleminde toplama ve çıkarma işlemlerinin yan yana kullanılması ve bir işlemde aynı sembole birden çok yer verilmesi (+ sembolü iki kez kullanılmış) öğrencilerin bu işlemleri anlamalarını ve kavramalarını zorlaştırmaktadır. Bilindiği gibi öğrenciler negatif sayılara giriş yaparken öncelikle ‘yönlü sayılar’ kavramını öğrenmekte ve bugüne kadar edindikleri bilgiye ek olarak kullandıkları ‘’+’’ ve ‘’-’’ sembollerinin artık sadece toplama ve çıkarma işlemine değil aynı zamanda sayıların yönlerini belirtmekte de kullanıldığını öğrenirler.

Başka bir deyişle , öğrenciler pozitif ve negatif sayılara ilişkin bir işlemle karşılaştıklarında sayıların önündeki sembollerin sayının yönünü mü yoksa işlemin kendisini mi ifade ettiğini kavramakta zorlanırlar.Örneğin, en basit olarak [+1-2] işleminde öğrenciler ‘’-’’ sembolünün 2 sayısının yönünü mü yoksa çıkarma işlemini mi temsil ettiğini ayırt edemezler. Öğrencilerin negatif sayılarda işlemlere ilişkin yaşadıkları diğer bir zorluk ise mutlak değeri aynı olan iki sayının toplanmasıdır. Van de Walle öğrencilerin -4 ile +4 ün toplamının neden sıfır olduğunu anlamakta zorlandıklarını ve bazı öğrencilerin cevabın -8 veya 8 olması gerektiğini düşündüklerini belirtmiştir.

Yapılan diğer çalışmada ,Hativa ve Cohen öğrencilerin negatif sayıları anlamada ve işlem yapmakta zorlandıklarını vurgulamış ve negatif sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yaparken öğrencilerin yaptıkları hataları ve işleme verdikleri olası cevapları şöyle sıralamışlardır: A. Sıfırdan pozitif bir sayının çıkarılması [0-x , x>0 ] ,Olası cevaplar: x, 0 , 10-x Örnek olarak verirsek , öğrenciler [0-4] işleminin sonucunu 4,0 veya 6 olarak hesaplamaktadırlar. B.Pozitif bir tam tamsayıdan daha büyük bir pozitif tamsayının çıkarılması [x-y, y>x >0], Olası cevaplar: y-x, x+y, -(x+y),x,y Örneğin, [3-8] işleminin sonucu 5,11,-11,3 veya 8 şeklinde yorumlanmaktadır.

C.İki negatif sayının toplamı [-x+y,x>0, y>0], Olası cevaplar: x-y , -(x-y), x+y, x Örneğin, [-3+8] işleminin sonucu öğrenciler tarafından 5,-5,11 veya 3 olarak bulunmuştur. D.Pozitif bir sayının negatif işaretlisi ile toplanması [-x+x,x>0],Olası cevaplar: 2x, x Örneğin: [-3+3] işleminin sonucunda öğrenciler cevabı 6 veya 3 olarak bulmaktadırlar. E.Pozitif bir sayının kendisinden daha büyük olan bir sayının ters işaretlisine eklenmesi [-x+y, x>y>0], Olası cevaplar: x-y, x+y, -(x+y),x,y Örneğin, öğrenciler [ -8+3] işleminin sonucunu 5,11,-11,8 veya 3 şeklinde bulmaktadırlar.

NEGATİF SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİNE İLİŞKİN ZORLUKLAR Yapılan literatür taraması negatif sayılara ilişkin toplama ve çıkarma işlemlerinin yanı sıra öğrencilerin bu sayılarla çarpma ve bölme işlemleri yaparken de zorluk yaşadıklarını göstermiştir. Buna paralel olarak,’İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.’ açıklaması tamsayılarda çarpma ve bölme işlemlerine genellenerek ‘aynı işaretli sayıların çarpımı veya bölümü her zaman pozitif, farklı işaretlilerinki ise negatiftir.’ açıklaması ile öğrencilere verilmektedir.Ne var ki, yukarıdaki açıklama her ne kadar net bir ifade olarak görülse de öğrencilerin çarpma ve bölme işlemine yönelik yaşadıkları zorluk veya yaptıkları işlem hatalarını engelleyememektedir.

Öğrenciler bir pozitif ve bir negatif sayıyı çarparken [Örneğin,8x-3 veya -3x8] sayıların yönünü ifade eden sembolleri anlamlandıramadıklarından, işlemi doğal sayılarda çarpma işlemi olarak yorumlayıp sonucu 24 olarak bulmaktadırlar.Buna benzer olarak ‘Çarpma işleminde sonuç her zaman çarpanlardan daha büyüktür.’ Kavram yanılgısına sahip olan öğrenciler sonucu 24 olarak bulma eğilimindedirler. Başka bir deyişle, iki negatif sayının toplamının yine negatif bir sayı olduğunu kavrayan bir öğrenci aynı mantığı iki negatif sayının çarpımına da genellemekte ve sonucun negatif olması gerektiği yanılgısına düşmektedir. Yukarıda belirtilen zorluklar ve işlem hataları negatif sayılarda bölme işlemi yaparken de karşımıza çıkmaktadır.

Örneğin, öğrenciler negatif ve pozitif sayılarda bölme işlemi yaparken [Örneğin, -8:2] çarpma işlemindeki gibi sayıların yönünü belirten işaretleri yok sayıp cevabı 4 olarak bulmaktadırlar. Yukarıda da belirtildiği gibi öğrencilerin negatif sayılarda çarpma ve bölme işlemleri yaparken doğal sayılardaki genellemeleri kullanmaları ve bu işlemlerin ardındaki kavramsal bilgiye ulaşamamaları onları işlem hataları yapmaya yöneltmektedir. KAVRAM YANILGILARINDA ÖĞRETMEN BİLGİSİNİN ÖNEMİ Hiç şüphe yok ki öğrencilerde oluşan bu kavram yanılgılarının giderilmesinde en önemli faktörlerden biri de öğretmen ve öğretmen adaylarının konu alan ve pedagojik alan bilgileridir

Konu alan bilgisi iyi olan öğretmenlere duyulan ihtiyaç, son yıllarda eğitimcilerin ilgilerini öğretmenlerin alan bilgilerine çevirmelerine neden olmuştur. Öğrencilerin konuyu anlaması öğretmenin gerekli kural ve bilgileri vermesinden ibaret değildir. Alan bilgisi ‘’kuvvetli’’ olan öğretmenler derslerinde yüzeysel bilgi ve kurallar yerine detaylara iner, konuyu diğer konularla ilişkilendirir ve kitaba bağlı kalarak onu işlemezler. Diğer yandan ise, alan bilgisi zayıf olan öğretmenlerin genellikle matematiksel doğruları ve gerçekleri mantıksal açıklamalar yapmadan bulunmuş kurallar şeklinde sunmayı ve ders planlarına bağlı kalarak ders anlatmayı tercih ettikleri saptanmıştır. Ne var ki, sadece iyi bir alan bilgisine sahip olmak konuyu en etkin bir şekilde sunabilmek için yeterli değildir.

Öğretmenlerin sahip oldukları bu matematiksel bilgileri en güçlü gösterimler kullanarak öğrenciler için anlaşılabilir ve kullanılabilir hale getirmeleri gerekmektedir. Başka bir deyişle, birçok matematik eğitimcisi öğretmenlerin matematiksel kavramları iyi bilmelerinin yeterli olmadığını aynı zamanda bu bilgilerin öğrencilere en etkin bir şekilde aktarılabilmesinin gerekliliğini savunmuştur. Buna paralel olarak, Milli Eğitim Bakanlığı ‘nın matematik özel alan yeterliklerinde öğretmenlerin sayılar, geometri,ölçme, olasılık ve istatistik ile cebire yönelik alan bilgisine sahip olmaları ve bu bilgileri öğretim sürecinde etkin bir biçimde kullanabilmenin önemi belirtilmiştir. Shulman en genel anlamda pedagojik alan bilgisini ‘’matematiksel fikir ve kavramların en etkin bir şekilde temsili, güçlü benzeşimler, matematiksel örnek ve açıklamalar, yani konunun diğer kişilerin anlayabilmesi için en iyi şekilde sunumu’’ olarak tanımlar.

Demek ki , yukarıdaki bölümlerde belirtilen negatif sayılara ilişkin öğrencilerin yaşadıkları zorluklar ve kavram yanılgılarının giderilebilmesi için öğretmenlerin ve öğretmen adaylarının öncelikle bu zorluklara ve yanılgılara ilişkin farkındalıklarının aktarılması gerekmektedir. Başka bir deyişle, negatif sayılara ilişkin kavramsal bilgisi kuvvetli olan, öğrencilerin bu konuya ilişkin yaşadıkları zorluk ve sahip olabilecekleri kavram yanılgılarının farkında olan ve de bu yanılgıları etkin öğretim materyalleri kullanarak giderebilecek öğretmen ve öğretmen adaylarına ihtiyaç vardır. Shulman ve Grossmanın da belirttiği gibi öğrencilerin bu zorlukları yenmelerinde ve kavramları öğrenebilmelerinde etkin öğretim materyallerinin ve farklı temsillerin önemi büyüktür.

Lesh, Post ve Berh ( 1987) matematiksel öğrenme ve problem çözme sürecinde 5 belirgin gösterimden bahsetmiştir. Bunlar ; Gerçek yaşam durumları- bilginin gerçek yaşamdan alındığı durumlar Manipülatifler, kesir çubukları, sayı pulları vb. Resim ve diyagramlar- sayı doğrusu, alan modeli vb. Sözlü semboller-günlük yaşam dili Yazılı semboller- matematiksel özel cümleler ve ifadelerdir Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli(LÇGGM) olarak da bilinen model aşağıda verilmiştir. Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanılması

Lesh Çoklu Gösterim Geçiş Modeli Manipülatifler Gerçek yaşam durumları Resim ve diyagramlar Yazılı semboller Sözlü semboller

Berh ve diğerleri (1983) Lesh modelini Bruner’inenaktif, ikonik ve sembolik modlarını genişleterek oluşturmuşlardır. Lesh modelinde, gerçekçi bir matematiksel problem genellikle gerçek yaşam durumlarından belirtilen gösterim sisteminin içerisine alınıp, bu gösterimin sistemimde belli dönüşümler-den geçilerek bazı çözüm yolları üretilip tekrar gerçek yaşam durumu ile ilişkilendirilmektedir.Modelde ayrıca bir problemin birçok gösterim biçimi kullanılarak çözülebileceği ve resim veya somut materyallerin gerçek yaşam ve yazılı sembol gösterimleri arasındaki geçişi kolaylaştırmada kullanılabileceği vurgulanmıştır.Aynı kavramın farklı gösterimlerle sunulması şüphesiz öğrencileri farklı ve yaratıcı düşünmeye ve alternatif çözümler üretmeye güdüleyecektir. Öğrencilerin konuya ilişkin ilgi ve isteklerini artırmada da önemli rol oynayacağına inanılmaktadır.Konun farklı temsillerle sunumunun birçok öğrenciye ulaşmada ve konunun kavratılmasında etkili olabilir.

Ne var ki, matematiksel kavramların farklı temsillerle oluştu-rulacak etkin bir öğretim ortamında öğrenciye sunulmasında öğretmen bilgisinin önemi unutulmamalıdır.Öğretmen gerek günlük yaşam problemleri, gerek manipülatifler gerekse yazılı semboller yardımıyla kavratacağı konuları iyi bilmeli, bu temsil-ler arası geçişte öğrencilere rehber olabilmeli ve oluşacak zorluk ve kavram yanılgılarının önüne geçebilmelidir. Negatif Sayıları Anlamlı Öğrenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler Bu alt bölümde öğrencilerin negatif sayıların kavramlaştırıl-masına yönelik yaşadıkları zorluklar ve sahip olduğu kavram yanılgılarının giderilmesi için önerilen yöntemler ile bu yöntem-lerin hangi durumlarda daha etkin olabilecekleri tartışılmıştır.

Negatif Sayıların Anlamlandırılması Öğrencilerin negatif sayılara ilişkin yaşadıkları zorlukların başında bu sayıları kavrayamamaları gelmektedir.Ball (1990)öğrencilere negatif sayıları öğretmenin onların günlük yaşam-daki sayısal miktarlar ile formal matematik anlamaları arasın-daki köprüyü kurma girişimi olarak değerlendirir.Negatif sayı-ların öğretiminde ilk adım hiç kuşkusuz bu sayılara neden ihti-yaç duyulduğunun öğrencilere hissettirmesidir.Bunu bir ör-nekle açıklarsak, Altun(2008) boy, kütle ve hacim gibi kavram-larda bahsederken bu kavramlara ilişkin değerlerin sıfırın al-tında olmayacaklarının ancak sıcaklık ve zaman gibi kavramlar düşünüldüğünde aynı durumun geçerli olmadığını belirtmiş böylece negatif sayılara olan ihtiyacı ortaya koymuştur.

Negatif sayıları öğretirken en önemli amaçlardan birisi negatif sayıların büyüklüklerine ilişkin sezgiler geliştirmek, bu sayıların özelliklerini kullanarak işlemler yapmak ve eksi işaretinin belirsizliğini ortadan kaldırmaktır.Bu sebeple, Ball(1990) negatif sayıları anlatırken iki önemli bileşenin; büyüklük ve yön kavramlarının öneminin vurgulanması gerektiğini belirtmiştir. Başka bir deyişle, negatif sayıların bir şeyin miktarının tersi ( Örneğin, -5’in 5 TL’lik eldeki paranın tersi yani borç için yapılan bir gösterim) veya sıfıra göre konum belirtmek için (Örneğin -5’in, sıfırdan 5 birim sola doğru olan uzaklık için yapılan gösterim) kullanılabileceği belirtilmiştir. Ülkemizde, MEB’in 6. sınıf için hazırlanan kitaplarda öğrencilere buz, su, termometre, hava sıcaklığı gibi günlük yaşam örneklerinden yararlanılarak tamsayıların kavratılması amaçlanmıştır.

Negatif sayılara ilişkin sayıların işaretlerin neden “+” ve neden “-” olduğunu tartışılması gerekliliğini vurgulanmıştır. Örneğin, sıcaklığın sıfırın altında 6 derece olmasının, 10 TL kar veya 15TL zararın veya bir alışveriş merkezinde -3. katın ne anlama geldiği öğrencilerle tartışılmalı böylece öğrencilere bu sayıların sıfıra yakınlığı ve uzaklıkları hissettirilmelidir. Buna ek olarak, öğrencilere sayıların önüne konan “+” ve “-” işaretlerin aslında işlemlerin değil de sayıların yönünü belirten işaretler olduğu hatırlatılması gerekliliği belirtilmiştir. Ayrıca, pozitif ve negatif sayıların sayı doğrusu üzerinde modellenmesine geçilmeden bu sayıların sıfıra yakınlıklarının sezdirilmesinin öğrencilerin bu sayıları kavramalarında etkili olacağına inanılmaktadır.

Buna paralel olarak, literatürde negatif sayıların kavratılmasına ilişkin bir çok metafordan yararlanılabileceği belirtilmiş ve bunların başlıcaları asansör ve termometre üzerindeki pozitif ve negatif sayıların anlandırılması, alacak-verecek veya kar zarar durumunun pozitif ve negatif sayılarla ilişkilendirilmesi ve sayı doğrusu üzerinde artı ve eksi yönü belirten okların kullanılması olarak gösterilmiştir. Janvier (1983) çalışmasında, Ball (1990)’un negatif sayıların iki önemli birleşenini denge ve sayı doğrusu modeli olarak açıklamış ve her iki modelin de avantaj ve dezavantajlarını belirtmiştir. Denge modelinde sayılar iki zıt kavramı temsil etmektedir. Bu modelde toplama işlemi birleştirme, bir araya getirme çıkarma işlemi ise uzaklaştırma, çıkarma veya tersini eklemek anlamında kulanılmaktadır.

Müfretadımızda da kulanımına sıkça yer verilen sayı pulları bu model içerisinde yer almaktadır. Negatif sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken öğretmenler sayı pullarını etkin bir şekilde kullanabilirler. Farklı bir ifade ile öğretmenler öğrencilerin pozitif sayılarla işlem yaparken kullanmaya alışık oldukları sayı pullarını bu sefer negatif sayılarla işlem yapmak için kullanabilir ve bu sayede öğrencilerin pozitif ve negatif sayılarla dört işlem becerilerin gelişimine katkıda bulunabilirler. Janveir’in (1983) belirttiği diğer model ise sayı doğrusu mo-delidir.Bu modelde sayılar sayı doğrusu üzerinde konum ve pozisyonları ile veya bu doğru üzerindeki uzaklıkları ile tanım-lanırlar.Toplama işlemi bu pozisyon veya uzaklıkların birleştirilmesi veya sağ yönüne hareket olarak, yorumlanır. Çıkarma işlemi ise uzaklıkların farkının alınması, ters yöne dönüş veya sol yöne hareket olarak yorumlanır.

İlk öğretim öğrencileri için negatif sayıların anlandırılmasında hangi modelin daha etkili olduğu tartışılmıştır. Diğer bir deyişle, yapılan çalışmalarda ,negatif sayıların kavratılmasında veya tam sayılarda işlemler yaparken bazı modellerin diğerlerinden daha avantajlı olduğu vurgulanmıştır.Örneğin NCTM (1989) 5-8 sınıf seviyelerindeki matematik müfredatlarında negatif sayıların karşılaştırılmasında sayı doğrusu modelinin daha etkin olduğunu savunmuştur. Fischbein (1987) ise yaptığı çalışmada negatif sayıların ve bu sayıların cebirsel özelliklerin tümüne ilişkin bir model olmadığından bu sayıların öğrencilere tanıtılmasında en basit ve onların alışık oldukları bir model olan sayı doğrusu modelinin kullanılması gerekliliğini savunmuştur

Human ve Murray da (1987)negatif sayıları sezgisel ve doğru biçimde gösterebilmek için seçilebilecek en uygun strajenin pozitif tam sayılarla birlikte kurulabilen benzeşimler olduğunu belirtmiş ve sayı doğrusu modelin, savunmuştur. Bu sonuçlara paralel olarak,yapılan diğer çalışmalarda ise ilköğretim seviyesindeki öğrencilere negatif sayıların gerçek yaşam durumları içerisinde somutlaştırılarak öğretilmesinin çok faydalı olmayacağı, bu yüzden bu seviyedeki çocuklar için en uygun modelin sayı doğrusu modeli olduğu savunulmuştur.

Özet olarak diyebiliriz ki, negatif sayıların kavramlaştırılmasında öğrencilerin bu sayıların anlamlarına ve büyüklüklerine yönelik yaşadıkları zorluklar ve sahip oldukları kavram yanılgı-larının giderilmesinde birçok model ve gösterimden yararlanılabilmektedir. Lesh modelin de belirtildiği gibi negatif sayıların kavramlaştırılmasında, gerçek yaşam durumları (örneğin, asansör, borç ve alacak), manipülatifler(sayı pulları), resim ve diyagramlar(sayı doğrusu) gibi çoklu gösterim modellerinden yararlanılabilir.Önemli olan öğretmenlerin bu gösterimleri nasıl etkin bir şekilde kullanabileceklerini bilmeleri ve bu konuların kavratılmasında öğrencilerin anlamalarını güçlendirecek modelin sunulmasıdır.

NEGATİF SAYILARDA TOPLAMA, ÇIKARMA, ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİNİN ANLAMLANDIRILMASI

İki negatif veya bir negatif ve bir pozitif sayıyla işlem yapmak öğrenciler için yeni olduğundan hemen hemen her öğrenci bu sayılarla toplama çıkarma işlemi yaparken zorluk çekmektedir. • Sayı pulları • Sayı doğrusu • Sözlü ve yazılı ifadeler • Benzeşimler bu işlemleri kolaylaştırmak için kullanılabilir. Toplama İşlemi

Şimdi mutlak değeri aynı olan, faklı işaretli sayıların toplamının neden sıfır olduğunu sayı pulları kullanarak inceleyelim; Örneğin: (-4) + 4 = 0 -4 + 4 Yukarıda (-4) ve (4) rakamları görsel olarak sırası ile 4 siyah ve 4 beyaz pulla temsil edilmiştir. İki rakam arasındaki toplama işlemi ise pozitif sayılarda olduğu gibi “eklemek”, “üzerine koymak” veya” bileştirmek” anlamında kullanılmıştır.

Örnekte, her bir negatif sayının pozitif karşılığı ile nötrleşerek geriye ne negatif ne de pozitif sayı kaldığı ve böylece cevabın sıfır olduğu gösterilmiştir (Van de Walle, 2007). Ayrıca, mutlak değeri anı olan farklı işaretli sayıların toplamının sıfır olduğu diğer örneklerle çoğaltılabilir ve öğrencilere istenilen eş miktarda siyah ve beyaz pul bir araya getirildiğinde sıfır elde edebilecekleri fark ettirilmelidir. Başka bir deyişle, sayı pulları yardımı ile yardımı ile aynı miktardaki pozitif ve negatif sayılarının toplamının sıfır olduğu öğrencilere hissettirilebilir.

Aynı örneğin sayı doğrusu üzerinde gösterimi; şeklindedir. Verilen işlemin [ (-4) + 4 = 0 ] sözel olarak ifadesi; Eksi 4 noktasından (-4) harekete başlayan bir aracın sağ yöne doğru (toplama işlemi) 4 birim (4) ilerlediğinde vardığı noktanın sıfır noktası olduğu şeklinde yorumlanabilir. 4 ekle -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Thompson (1994) değeri aynı olan pozitif ve negatif sayıların toplamının sıfır olduğunun vurgulanmasında birbirinin zıttı hareketlerden yararlanabileceğini belirtmiştir. Örneğin; pozitif değeri sağ tarafa uygulanan bir kuvvet değeri olarak düşünürsek negatif değerdeki sayıyı da sol tarafa aynı miktarda uygulanan kuvvet olarak düşünebiliriz.Böylece her iki kuvvet aynı anda uygulandığında herhangi bir hareket gözlemlenmediğinden iki kuvvetin toplamı(birleşimi) bize sıfır değerini verecektir.

Thompson’ a göre bu örnekler çoğaltılabilir; • Kapı açılıp kapanması • Işık açıp kapanması • Kağıdın katlanıp açılması • Bir kaba su eklenip aynı miktarda suyun çıkarılması gibi örnekler değeri aynı olan bir pozitif birnegatif sayının toplamının neden sıfır olduğunu göstermede öğrencilerin anlamalarını güçlendirmek amaçlı kullanılabilir (Thompson, 1994).

Negatif sayılarda toplama işlemi yaparken sözel problemlerden de yararlanılabilir.Pozitif sayıların eldeki para veya alacak, negatif sayıların ise borç veya verecek şeklinde yorumlanması, bu sayılarla ilgili işlemlerin anlamlandırılmasında yararlı olacaktır. Örneğin; (-3) + (-5) = -8 işleminde iki negatif sayının toplanması kolaylıkla; “3 TL’ lik borcum (-3) var ve ben bu borcun üzerine 5 TL’lik bir borç (-5) daha ekliyorum.Buna göre sonuçta ne kadar borcum var?” şeklinde sözel bir probleme dönüştürülebilir.

Verilen örnek borca borç eklemek, borcu daha da artırmak, borcu çoğaltmak şeklinde de yorumlanabilir .Tam sayılarla yapılan toplama işleminde işlem işareti [+] ekle, çoğalt, artır şeklinde de ifade edilebildiğinden bu işlemin kavratılmasında birçok günlük yaşam örneğine yer verilebilir. Bu gösterimlere paralel olarak Milli Eğitim Bakanlığınca hazırlanan İlköğretim kitaplarında da öğrenciler iki negatif veya bir negatif ile bir pozitif sayıyla işlem yapmayı ilk kez gördüklerinden, bu konularda farklı gösterimlerle pekiştirmek sağlanmasının önemi vurgulanmıştır(MEB,2008).

Birçok öğrenci çıkarma işlemi yaparken klasik bir yöntem olan “2. sayının işaretini ters çevir ve 1. sayı ile topla” stratejisini uygulamakta ve bu bilginin altındaki kavramsal bilgiyi sorgulamamaktadır. Başka bir deyişle , öğrenciler tam sayılarda işlemler konusunda ilk önce toplama işlemini öğrendiklerinden daha sonra öğrendikleri çıkarma işlemi onlara zor gelmekte ve böylece çıkarma işlemi yaparken bu işlemin mantığını aramaktan çok öğretmenlerinin sunduğu pratik çözümlere yönelmektedirler Ne var ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi faklı modellemeler yardımı ile öğrencilere kavratılabilir ve böylece onların konuya ilişkin matematiksel anlamlandırmaları güçlendirilebilir. Çıkarma İşlemi

Öğrencilerin kavramsal bilgilerini geliştirmede önceki bilgilerin önemi büyüktür. Varolan bilginin üzerine bu bilgi ile ilişkilendirerek eklenen yeni bilgi kalıcı öğrenmeye de katkı sağlamaktadır. Demek ki, negatif sayılarda çıkarma işlemi yaparken de doğal sayılardaki çıkarma işleminden yararlanılabilir ve öğrencilerin alışlık olduğu konum–mesafe ilişkisi vurgulanabilir. Diğer bir deyişle , negatif sayılarda çıkarma işlemi , doğal sayılarda , çıkarma işlemi ile ilişkilendirmeli ve aslında tek farkı kullanılan sayıların doğal sayılar yerine yönlü sayılar olduğu belirtilmelidir. Şimdi bu modellemelerden örnekleri inceleyelim;

“Sayı doğrusu üzerinde 3 noktasında duran bir aracın 7 noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ” Sorusu ile başlayalım 4 birim -10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Öğrenciler, iki noktanın konumunu bildiğinde ardaki mesafeyi bulabilmek için çıkarma işlemi yapacaklarını [7-3] doğal sayı problemlerindeki önbilgilerinden yararlanarak da bulabilirler.

Problemi negatif sayılara genişletmek istediğimizde, ilk aracın konumunu 3 yerine (-3) noktasına getirebiliriz. Böylelikle problemimizi “Sayı doğrusunda (-3) noktasında bulunan bir aracın 7 noktasında duran bir araca uzaklığı ne kadardır? ” şeklinde ifade etmek mümkündür. Yukarıdaki örnekten de yararlanarak öğrencilerden verilen sözel ifadeyi sembollerle belirtilmesi istediğinde aradaki mesafenin [7 – (-3)] ifadesi ile bulunabileceği açıktır. Ayrıca , öğrenciler bu işlemi yapmadan önce de arasındaki mesafenin 10 birim olduğunu sayı doğrusunda iki sayı arasındaki birimleri sayarak da bulabilirler.

Şimdi ise verilen sembolik ifadeyi [7-(-3)] sayı doğrusu yardımı ile sözel olarak ifade edelim. 7 birim 3 birim -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 birim Sıfır noktasında bulunan bir kişi sayı doğrusu üzerinde sağ yöne doğru 7 birim ilerler daha sonra bu kişi yüzünü negatif yöne doğru çevirir (iki sayı arasındaki eski işareti sayı doğrusunda sol yöne hareket olarak yorumlanmıştır) . Ancak , geriye dönen kişi -3 birim ilerlemesi gerektiğinden bulunduğu konumun ters yönüne (tekrar sayı doğrusu üzerinde sağ yön) 3 birim hareket etmek durumundadır (-3).

HOŞGELDİNİZ…