Pertemuan ke 1

1. Pertemuan ke 1

2. 1. LOGIKA • Logika mempelajari hubungan antar pernyataan-pernyataan yang berupa kalimat-kalimat atau rumus-rumus, sehingga dapat menentukan apakah suatu pernyataan bernilai benar. • Benar tidaknya suatu pernyataan lebih mengarah pada bentuknya; bukan pada arti kalimat.

3. Semua pengendara sepeda motor memakai helm. Setiap orang yang memakai helm adalah mahasiswa. Jadi, semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa Penalaran dengan menggunakan logika membawa kita pada kesimpulan bahwa pernyataan semua pengendara sepeda motor adalah mahasiswa adalah benar

4. 1.1. PROPOSISI Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah saja yang digunakan dalam penalaran. Pernyataan tersebut disebut Proposisi. Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

5. Contoh-contoh Proposisi : • 6 adalah bilangan genap • Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama. • 2 + 2 = 4 • Ibukota propinsi Jawa Barat adalah Semarang. • 12 19 • Hari ini adalah hari Kamis

6. Contoh-contoh bukan Proposisi: • Jam berapa kereta api Argo Bromo berangkat ?  kalimat tanya • Isilah gelas tersebut dengan air !  Kalimat perintah • X > 3

7. Lambang Proposisi: • Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,…. • Contoh : p: 6 adalah bilangan genap q : 2 + 2 = 4 r : Hari ini adalah hari Kamis

8. 1.2. MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI • Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. • Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. • Operator logika yang digunakan adalah : dan (and), atau (or), tidak (not).

9. Proposisi Majemuk : Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian. • Proposisi atomik : Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain. • Proposisi majemuk disusun dari proposisi-proposisi atomik.

10. Tabel Penghubung Proposisi

11. Konjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi p  q , adalah proposisi p dan q. Contoh 1.3 : p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah pq : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan sekolah.

12. Disjungsi Misalkan p dan q adalah proposisi. Disjungsi p dan q dinyatakan dengan notasi pq , adalah proposisi p atau q. Contoh 1.4 : p : Hari ini hujan q : Hari ini dingin pq : Hari ini hujan atau hari ini dingin.

13. Negasi ( Ingkaran ) Misalkan p dan q adalah proposisi. Ingkaran atau negasi dari p, dinyatakan dengan notasi p atau adalah proposisi tidak p. Contoh : p : Hari ini hujan p : Tidak benar hari ini hujan.

14. Contoh 1.5 :p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. a) Pemuda itu tinggi dan tampan. p  q b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan. p  ~q c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan. ~p  ~q

15. Contoh 1.5 :p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik. d) Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan. ~(~p  ~q ) e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan. p(~ p  q ) f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan. ~(~ p  q )

16. 1.3 TABEL KEBENARAN • Konjungsi p  q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah.

17. Disjungsi p  q bernilai salah, jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar.

18. p  dua kemungkinan T dan F q  dua kemungkinan T dan F 2 x 2 = 4

19. Contoh 1.7 :

20. Contoh 1.7 :

21. 5. TAUTOLOGI DAN KONTRADIKSI • Tautologi adalah proposisi majemuk yang nilai kebenarannya selalu benar untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya. • Kontradiksi selalu mempunyai nilai kebenaran yang salah untuk setiap nilai kebenaran proposisi pembentuknya.

22. Tautologi Contoh 1.8 : Kontradiksi

23. EKUIVALENSI DUA PROPOSISI • Dua buah proposisi dikatakan ekuivalen secara logika apabila kedua proposisi tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. • Jika proposisi p ekivalen secara logika dengan proposisi q, maka ekivalensi tsb. dapat ditulis sebagai pq atau dapat menggunakan lambang bi-implikasi seperti pq.

24. Contoh 1.9 : Ekivalen secara logika

25. 1.4 DISJUNGSI EKSKLUSIF p q adalah proposisi yang bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar, selain itu nilainya salah

26. Pertemuan ke 2

27. No Hukum Bentuk ekuivalensi 1 2 Dominasi 3 4 1.5 Hukum-HukumLogika Proposisi (i) p Fp (ii) p  T p Identitas (i) p FF (ii) p  T T (i) p ~pT (ii) p  ~p F Negasi (i) p pp (ii) p  p p Idempoten

28. 5 6 7 p  q  q  p p  q  q  p 8 Negasi ganda ~(~p)  p Penyerapan p  ( p  q )  p p  ( p  q )  p Komutatif Asosiatif p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r

29. 9 10 Distributif p  (q r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) De Morgen ~( p  q )  ~p  ~q ~( p  q )  ~p  ~q

30. Contoh 1.10 : Tunjukkan bahwa p ~( p q ) dan p  ~q keduanya ekivalen secara logika Penyelesaian : p ~( p q )  p  (~p  ~q) (De Morgen)  (p  ~p)  (p  ~q) (distributif)  T  (p  ~q) (negasi) p  ~q (identitas)

31. Contoh 1.11 : Buktikan hukum penyerapan : p ( p q )  p Penyelesaian : p  ( p q )  (p  F)  (p q) (identitas)  p  (F q) (distributif)  p  F (null) p (identitas)

32. 1.7 Proposisi Bersyarat (Implikasi) • Simbol  adalah simbol implikasi • dibaca “jika . . . maka . . .”atau “ . . . hanya jika . . .”. • contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q • Proposisi p disebut hipotesis (anteseden), sedangkan q disebut konklusi (konsekuen).

33. Implikasi p q hanya salah jika p benar tetapi q salah p : nilai ujian akhir anda 80 atau lebih. q : anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini. Tabel kebenaran implikasi Definisi kita mengenai implikasi adalah pada nilai kebenarannya, bukan didasarkan pada penggunaan bahasa “ Jika Paris adalah ibukota Perancis, maka 1+1 =2 “

34. Contoh 1.15 : Tunjukkan bahwa p qdan ~p  q keduanya ekivalen secara logika

35. Contoh 1.17 : p : barang itu bagus. q : barang itu murah. Tabel kebenaran p  ~q dan q  ~p

36. Pertemuan ke 3

37. 1.8 VARIAN PROPOSISI BERSYARAT Jika terdapat implikasi p  q Maka variasinya adalah berikut ini konversnya adalah : q  p inversnya adalah :  p   q kontraposisinya adalah :  q  p

38. Contoh 1.19 : “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” Jika terdapat implikasi pq konversnya adalah : q  p jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil inversnya adalah :  p   q Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya kontraposisinya adalah :  q  p Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

39. 1.9 BIKONDISIONAL (BI-IMPLIKASI) Definisi : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut bikondisional (bi-implikasi) dan dilambangkan dengan p ↔ q • Simbol  adalah simbol bi-implikasi • dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”. p iff q

40. Proposisi bi-implikasi pq , mempunyai nilai kebenaran benar(T) apabila nilai kebenaran p dan q sama. • Selain itu nilai kebenarannya salah.

41. Jika terdapat proposisi majemuk “p jika dan hanya jika q”, maka dapat ditulis dalam bentuk simbol p  q atau dalam bentuk (p  q)  (q  p). p q(p q)  (q p)

43. Contoh soal 1 : • Dengan menggunakan tabel kebenaran buktikan bahwa ( p  q )  q adalah tautologi ! • Jawab :

44. Contoh soal 2 : • Jawab : • Misal p : n adalah bilangan prima  3 q : n adalah bilangan ganjil • Implikasi : p  q jika n adalah bilangan prima  3 maka n adalah bilangan ganjil. • Konvers : q  p jika n adalah bilangan ganjil maka n adalah bilangan prima  3.

45. Invers : p q • jika n bukan bilangan prima  3 maka n bukan bilangan ganjil • Kontraposisi : q  p • jika n bukan bilangan ganjil maka n bukan bilangan prima  3.

46. Inferensi Adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi 1. Modus Ponens Misal hipotesis (anteseden) p pada implikasi p  q bernilai benar. Agar proposisi bersyarat p  q mempunyai nilai benar, maka q harus bernilai benar.

47. Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p ( p q ))  q, yang dalam hal ini, p danp qadalah hipotesis, sedangkan q adalah konklusi. Secara simbolik modus Ponens dapat dinyatakan sebagai berikut. Modus ponen menyatakan bahwa jika hipotesis p dan implikasi p qbenar, maka konklusi q benar.

48. p : 20 habis dibagi 2 q : 20 adalah bilangan genap Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap 20 habis dibagi 2 ──────────────────────────────── Jadi20 adalah bilangan genap

49. 2. Modus Tollens modus Tollens mirip dengan modus Ponens. Bedanya terletak pada hipotesa kedua dan kesimpulan. Hipotesa kedua dan kesimpulanmerupakan negasi dari masing-masing proposisi pada hipotesa pertama. Dalam bentuk simbol modus Tollens dapat ditulis sebagai berikut :

50. p : n bilangan ganjil q : n2 bernilai ganjil Jika , n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil n2 bernilai genap ─────────────────────────── Jadi n2 bukan bilangan ganjil adalah benar hipotesis kesimpulan