Datové struktury a algoritmy Část 12 Výpočetní geometrie Computational Geometry

1. Datové struktury a algoritmyČást 12Výpočetní geometrie Computational Geometry Petr Felkel

2. Výpočetní geometrie (CG) • Úvod • Algoritmické techniky – paradigmata • řazení • zametací technika (scan-line) • rozděl a panuj (divide and conquer) • geometrické místo (Locus approach)

3. Výpočetní geometrie? • Vznikla v roce 1975 – M. I. Shamos • Hledá optimální algoritmy pracující s geometrickými objekty • body, přímky, úsečky, mnohoúhelníky - polygony • Aplikace v řadě dalších oblastí: • databázové systémy, robotika, počítačová grafika, počítačové vidění, rozpoznávání obrazců • řadu problémů lze formulovat geometricky

4. Výpočetní geometrie? • Charakteristická je • velká probádanost algoritmů v rovině • nárůst složitosti v prostoru či n-dimenzích • méně znalostí o řešení v n-dimenzích • Podle kompletnosti vstupu • off-line – data známe naráz • on-line – data dodávána postupně (udržujeme řešení)

5. Algoritmické techniky – paradigmata = principy návrhu efektivních algoritmů, které zůstávají stejné i pro velmi odlišné aplikace • hrubá síla – prohledá / zkusí všechno • efektivní algoritmus– co nejúspornější • optimální algoritmus – dosáhl dolní meze složitosti - 

6. Algoritmické techniky – paradigmata • Řazení • Zametací technika (plane sweep) • Rozděl a panuj (divide and conquer) • Geometrické místo (Locus approach)

7. Řazení

8. Řazení • předzpracování dat, které • vede k jednoduššímu zpracování • typicky • podle některé ze souřadnic (např. dle osy x či y) • nebo dle úhlu kolem daného bodu/ů • Př. konvexní obálka

9. Konvexní obálka = nejmenší konvexní mnohoúhelník, který obsahuje všechny body Convex HullCH(V )

10. Grahamův algoritmus 1/2 1. Seřadíme body p  V dle x; 2. Najdeme horní, pak dolní řetěz a) pmin a pmax  CH(V) b) přidáme bod pi+1 c) kontrola úhlu (pi-1, pi, pi+1) i=i-1 vypustíme pi konvexní konkávní p p p p p p p p p i-1 i i+1 i-1 i i+1 i-1 i i+1

11. p i a b p p i-1 i+1 Grahamův algoritmus 2/2 Kontrola úhlu (pi-1, pi, pi+1) Vektorový součin b x a xi+1 – xi yi+1 – yi> 0=> konvexní xi – xi-1 yi – yi-1< 0=> konkávní Složitost 1. O( n log n ) 2. O( n )=> celkemO( n log n )

12. Jarvisův algoritmus balení dárku (gift wrapping) 1. Vezmeme bod ps minimální souřadnicí y a vodorovnou přímku 2. Otáčíme přímku kolem p dokud nenarazí na bod q 3. p = nový bod q 4. Dokud (p  p0) jdi na 2 Složitost: O( n ) + O( n ) * k=> celkemO( k*n ) vhodný pro málo bodů na konvexním obalu

13. Zametací technikaPlane sweep

14. Zametací technika – princip • Svislou přímku (scanline, SL, zametací přímku) suneme zleva doprava přes množinu objektů • Pamatujeme si informace o objektech nalevo od přímky (y-stuktura, T) • Při průchodu nad objektem ji aktualizujeme • Nesuneme se spojitě, ale skáčeme mezi body, kde je nutno zastavit • Body jsou v prioritní frontě (x-struktura, B, postupový plán) – odebírám je zleva-doprava

15. Minimální body Od nich nalevo ani dolů není žádný bod 1. Seřadíme body dle souřadnice x -> x-struktura 2. Inicializujeme y-strukturu na  3. Scanline umísťujeme zleva doprava do bodů v x-str. 4. Do y-strukt. ukládám minimální y-souřadnici O(n log n) - řazení O(1) na bod

16. Průsečíky úseček • Vyloučení neviditelných ploch ze zpracování • T, y-str. = úsečky v pořadí průsečíků se SL • B, x-struk., body, kde se mění pořadí úseček • na začátku koncové body • průběžně průsečíky sousedů

17. Průsečíky úseček • Inicializace • koncové body –> B • T prázdné B: AL,BL, CL,CR, AR,BR T: prázdná1 BL AR b ? CL c ? a CR AL BR b 1 2 3 4 5 6 7 8

18. Průsečíky úseček 2. dokud není B prázdná • vezmi bod p z B (a smaž ho v B) • dle typu bodu p aktualizuj T strukturu: • L ... • P ... • průsečík ...

19. Průsečíky úseček • L • Najdi v T sousedy s (úsečky s1 a s2) (s je úsečka s počátečním bodem p) • if( protíná s1 x s2 ) odstraň průsečík (už nejsou sousedy) • vlož průs. s1 x s a s x s2do B

20. BL AR b ? CL c ? a AL CR 1 2 3 4 5 6 7 8 Průsečíky úseček B0: AL,BL, CL,CR,AR,BR T0: prázdná 1. AL B1: BL, CL,CR,AR,BR T1: a BR

21. BL AR b CL c ? a AL CR 1 2 3 4 5 6 7 8 Průsečíky úseček 2. BL p1= s1x s = a x b ... vložit B2: CL,p1, CR, AR,BR T2: a, b s1 s p1 BR

22. BL AR b CL c a AL CR 1 2 3 4 5 6 7 8 Průsečíky úseček 2. BL B2: CL,p1, CR, AR,BR T2: a, b 3. CL p1= s1x s2 = a x b...smazat p2= s1x s = a x c ... vložit B3: p2, CR, AR,BR T3: a, c, b s1 s s2 p1 p2 BR

23. Průsečíky úseček • průsečík úseček s a s’ • Najdi v T sousedy sa s’(úsečky s1 a s2) • prohoď sa s’ v T • if( protíná s x s1 ) odstraň průsečík z B • if( protíná s’ x s2 ) odstraň průsečík z B (už nejsou sousedy) • vlož průs. s x s2 as’ x s1do B

24. BL AR b CL c a AL CR 1 2 3 4 5 6 7 8 Průsečíky úseček B3: p2, CR, AR,BR T3: a, c, b 4. p2 změna pořadí úseček a,c B4: p1, CR, AR,BR T4: c, a, b 5. p1 změna pořadí úseček a,b B5: CR, AR,BR T5: c, b, a p1 p2 BR

25. Průsečíky úseček • R • Najdi v T sousedy s (úsečky s1 a s2) (s je úsečka s koncovým bodem p) • smaž s z T • if( protíná s1 x s2 )vlož průs do B

26. BL AR b CL c a AL CR 1 2 3 4 5 6 7 8 Průsečíky úseček B5: CR, AR,BR T5: c, b, a 6. CR B6: AR,BR T6: b, a 7. AR B7: BR T7: b 8. BR B7: prázdná T7: prázdná p1 p2 BR

27. Průsečíky úseček • Paměť O(n) • Operační složitost • n+k poloh • každá log n => O(k+n) log n

28. Rozděl a panuj Divide and conquer

29. Viditelnost objektů • na tabuli • 2n+1 hranic

30. Geometrické místoLocus approach

31. Voronoiův diagram • viz průsvitky