Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập– Tự do – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực HĐ ghi): .................................... 1.Tên sáng kiến: Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS 2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên môn môn Toán THCS 3. Mô tả bản chất của sáng kiến: 3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Qua nhiều nămgiảng dạy môn toán THCS, chúng tôi nhậnthấyrằnghầu hết học sinh mỗi khi gặpbài toán liên quan đến luỹ thừa là tỏ vẻ e sợ, đặc biệt là luỹ thừa với số mũ lớn, số mũ tổng quát. Khi đóhọc sinh lớp 6, lớp 7 mới được tiếp xúc với toán luỹ thừa, trong sách giáo khoa yêu cầu ở mức độ vừa phải, nhẹ nhàng. Chính vì thế mà khi giáo viên chỉ cần thay đổi yêu cầu của đề bài là học sinh đã thấy khác lạ, khi nâng cao lên một chút là các em gặp khó khăn chồng chất: Làm bằng cách nào? làm như thế nào? ...chứ chưa cần trả lời các câu hỏi: làm thế nào nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? 3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến: a. Mục đích của giải pháp: Để nâng cao và mở rộng kiến thức phần luỹ thừa cho học sinh THCS bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình kết hợp với sự tìm tòi, học hỏi các thầy cô giáo đồng nghiệp, chúng tôi muốn trình bày một số ý kiến “Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS” nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cần thiết và những kinh nghiệm cụ thể về phương pháp giải toán luỹ thừa cho các đối tượng học sinh. Bên cạnh đó giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic.... tạo sự say mê cho các bạn yêu toán nói chung và toán luỹ thừa nói riêng. b. Nội dung giải pháp: b.1. Tính mới của giải pháp: Trong toán học, “Toán luỹ thừa’’ là một mảng kiến thức khá lớn, chứa đựng rất nhiều các bài toán hay và khó. Để làm được các bài toán về luỹ thừa không phải là việc dễ dàng kể cả đối với học sinh khá và giỏi, nhất là đối với học sinh lớp 6, lớp 7, các em mới được làm quen với môn đại sốvà mới được tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực hiện các phép biến đổi đại số, ít phương pháp, kĩ năng tính toán... Để học tốt bộ môn toán nói chung và “Toán luỹ thừa’’ nói riêng, điều quan trọng là luôn biết rèn nếp suy 1 https://thuviengiaoan.net/

2. nghĩ qua việc học lý thuyết, qua việc giải từng bài tâp... qua sự suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Đứng trước một bài toán khó, chưa tìm ra cách giải, học sinh thực sự lúng túng, hoang mang và rất có thể sẽ bỏ qua bài toán đó, nhưng nếu có được sự giúp đỡ, gợi mở thì các em sẽ không sợ mà còn thích thú khi làm những bài toán như vậy. b.2.Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ: Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn giúp học sinh học tốt hơn phần toán luỹ thừa, giúp các em không còn thấy sợ khi gặp một bài toán luỹ thừa hay và khó. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh khi học và đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dưới dạng các bài tập. b.3. Cách thức thực hiện sáng kiến Ngay từ đầu năm học, tôi đã tham khảo sách giáo khoa, sách tham khảo sau đó phối hợp với thầy cô đồng nghiệp cùng nhau thực hiện chuyên đề này. Chúng tôi thường xuyên trao đổi khả năng tiếp thu, sự hứng thú trong học tập của học sinh thông qua các buổi họp tổ chuyên môn, cũng như tổ chức thao giảng, hội giảng, chuyên đề của tổ. b.4.Các bước thực hiện của sáng kiến. Sau đây chúng tôi xin trình bày một số dạng toán và phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao bằng một vài ví dụ cụ thể. 1. Dạng 1: Tìm số chưa biết 1.1. Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong luỹ thừa *Phương pháp: Đưa về hai luỹ thừa cùng số mũ. Bài tập 1: Tìm x biết rằng: a) x3 = -27 c) (x – 2)2 = 16 Đối với bài toán này, học sinh chỉ cần nắm vững kiến thức cơ bản là có thể dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp. Giải a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = -8 x3 = (-3)3 x = -3 b) (2x – 1)3 = - 8 d) (2x – 3)2 = 9 (2x – 1)3 = (-2)3 2x – 1 = - 2 − 1 Vậy x = - 3 x = 2 − 1 Vậy x = 2 c) (2x – 3)2 = 9 => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hoặc 2x -3 = -3 2 https://thuviengiaoan.net/

3. Bài tập 2. Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5 Nếu ở bài 1 học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến bài 2 này không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa đã cùng cơ số- chưa biết, số mũ- đã biết- lại khác nhau .Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh sẽ “ tìm mò’’được x = 0 hoặc x = 1, nhưng cách này sẽ không thuyết phục lắm bởi biết đâu còn số x thỏa mãn đề bài thì sao? Giáo viên có thể gợi ý: x2 = x5 => x5– x2 = 0 => x2.(x3 - 1) = 0 d ) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – 2 = -4 hoặc x – 2 = 4 x = -2 Vậy x = -2 hoặc x = 6 2x = 6 x = 3 Vậy x = 3 hoặc x = 0 . 2x = 0 x = 0 x = 6 =  =  = 0 2 x  0 0 x x => => =>    = = 1 3 x − = 3 1 x 1 0 x  Đến đây giáo viên có thể cho học sinh làm bài tập sau: Bài tập 3. Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Hướng dẫn: Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành: x10 = x20 =  0 x =   = 0 10 x 0 x  Giải tương tự bài 2 ở trên ta được : => => = − 1 1 x    = 10 − = 10 1 x 1 0 x    = x Rất có thể học sinh dừng lại ở đây, vì đã tìm được x. Nhưng đề bài yêu cầu tìm y nên ta phải thaytrở lại điều kiện đặt để tìm y. 1 +) Với x = 0 ta có : 3y -1 = 0 => 3y = 1 => y = 3 2 +) Với x = 1 ta có: 3y -1 = 1 => 3y = 2 => y = 3 +) Với x = -1 ta có: 3y – 1 = -1 => 3y = 0 => y = 0 1; y= 3 2; y=0 Vậy y = 3 Bài tập 5: Tìm x và y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 0 (*) 3 https://thuviengiaoan.net/

4. Với bài toán này, cơ số và số mũ của hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x và y bên cạnh đó là dấu“’’thật là khó! Lúc này chỉ cần gợi ý nhỏ của giáo viên là các em có thể giải quyết được vấn đề: hãy so sánh (3x - 5)100 và (2y +1)200với 0. Giải Ta thấy: (3x - 5)100 0 x Q (2y +1)200 0 x Q => Biểu thức (*) chỉ có thể bằng 0, không thể nhỏ hơn 0 Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = 0 khi (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 3x – 5 = 2y + 1 =0 − 1 5 và y = => x = 3 Bài tập 6: Tìm các số nguyên x và y sao cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 4 Theo bài 3, học sinh sẽ nhận ra ngay: (x + 2)2 0 x Z 2(y – 3)2 0 x Z Nhưng nảy sinh vấn đề ở “ < 4 ” , học sinh không biết làm thế nào. Giáo viên có thể gợi ý: Từ (1) và (2) suy ra, để: (x + 2)2 + 2(y – 3)2< 4 thì chỉ có thể xảy ra những trường hợp sau: +) Trường hợp 1: (x + 2)2 = 0 và (y – 3)2 = 0 => x = -2 => y = 3 +) Trường hợp 2: (x + 2)2 = 0 và 2 (1) (2) (y – 3)2 = 1 =  4 y => x = -2 =>  = 2 y +) Trường hợp 3: (x + 2)2 = 1 (y – 3)2 = 0 và + =  2 1 x =>  => y = 3 + = − 2 1 x = −  1 x =>  = − 3 x +) Trường hợp 4 : (x + 2)2 = 1 (y – 3)2 = 1 và = − =   1 4 x y =>  =>  = − = 3 2 x y Vậy ta có bảng giá trị tương ứng của x và y thỏa mãn đề bài là: 4 https://thuviengiaoan.net/

5. x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 2 3 3 4 2 4 2 Thật là một bài toán phức tạp! Nếu không cẩn thận sẽ xét thiếu trường hợp, bỏ sót những cặp giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện đề bài. 1.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa. Phương pháp:Đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số. Bài tập 1: Tìm n N biết: a) 2008n = 1 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a a) 2008n = 1 => 2008n = 20080 => n = 0 Nhưng đến câu b, thì các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ. Lúc này rất cần có gợi ý của giáo viên: b) 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n. (1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = 2 Theo hướng làm câu b, học sinh có ngay cách làm câu c, và d, c) 32-n. 16n = 1024 (25)-n. (24)n = 1024 2-5n. 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 5. 3n-1 = 162 =>6. 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – 1 = 3 c) 32-n. 16n = 1024 5 https://thuviengiaoan.net/

6. Bài tập 2: Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực sự thấy khó khi gặp bài này, không biết phải làm như thế nào để tìm được hai số mũ m và n. Giáo viên gợi ý: 2m + 2n = 2m+n 2m+n– 2m– 2n = 0 => 2m.2n -2m -2n + 1 = 1 2m (2n - 1) – (2n - 1) = 1 (2m - 1) (2n - 1) = 1 (*) Vì 2m 1 , 2n 1  m, n  N n = 4   = − = = m m  1 2 1 1 2 2 m   Nên từ (*) => =>  =>  = 1 n − = = n n 2 1 1 2 2  Bài tập 3: Tìm các số tự nhiên n sao cho: a) 3 < 3n 234 b) 8.16  2n 4 Đây là dạng toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép. Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số. a) 3 < 3n 234 31 < 3n 35 => n   5 ; 4 ; 3 ; 2 Vậy: m = n = 1 b) 8.16  2n 4 23.24 2n 22 27 2n 22 => n  7 ; 6 ; 5 ; 4 ; 3 ; 2  Bài tập 4: Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415. 915 < 2n. 3n < 1816. 216 Với bài này, giáo viên gợi ý học sinh quan sát, nhận xét về số mũ của các lũy thừa trong một tích thì học sinh sẽ nghĩ ngay ra hướng giải bài toán: 415. 915 < 2n. 3n < 1816. 216 (4. 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 6 https://thuviengiaoan.net/

7. 630 < 6n < 632 => n = 31 Bây giờ, học sinh khôngnhững biết làm các bài toán tương tự mà còn có thể tự ra các bài toán dạng tương tự. 1. Tìm các số nguyên n sao cho: a) 9 . 27n = 35 c) 3-2. 34. 3n = 37 d) 2-1 . 2n + 4. 2n = 9. 25 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: a) 125.5  5n 5.25 c) 243  3n 9.27 3. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng : a) 2x+1. 3y = 12x 4. Tìm số tự nhiên n biết rằng : 411. 2511 2n. 5n 2012.512 Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa. 2.1 Tìm một chữ số tận cùng * Phương pháp: cần nắm được một số nhận xét sau: +) Tất cả các số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số tậncùng là một trong các chữ số đó. +) Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 +) Chú ý: 24 = 16 74 = 2401 Bài tập 1:Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 . Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: 20002008có chữ số tận cùng là chữ số 0. 11112008có chữ số tận cùng là chữ số 1. 987654321có chữ số tận cùng là chữ số 5. 204681012có chữ số tận cùng là chữ số 6. Bài tập 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: b) (23: 4) . 2n = 4 b) (n54)2 = n d) 2n+3 2n =144 b) 10x: 5y = 20y 34 = 81 84 = 4096 7 https://thuviengiaoan.net/

8. 7 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 20072007 , 10231024. Hướng dẫn: Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận cùng là: 0; 1; 5; 6. +) 20072008 = (20074)502 = ( 1 ...... )502 = là 1 . +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = =>13 5725có chữ số tận cùng là 7. +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. = 1 ...... . 3 ...... => 20072007có chữ số tận cùng là 3. +) 23456 = (24)864 = 16864 = 6 ...... => 23456có chữ số tận cùng là 6 . +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. 8 ...... = ( => 5235có chữ số tận cùng là 8. +) 10231024 = (10234)256 = ( 1 ...... )256 = là 1 . +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( . 2003 => 20032005có chữ số tận cùng là 3 . +) 204208 =( 2042)104 = ( 6 ...... )104 = ...... => 204208có chữ số tận cùng là 6. 5,996, 81975 , 9 6 9 , 4 9 ...... nên 20072008chữ số tận cùng 1 ...... . 1357 = ...... 1 7 ...... )501. ...... = ( ...... = 3 1 3 ...... )8 . ...... = ...... . ...... = ...... 6 8 6 8 8 ...... =>10231024có chữ số tận cùng 1 ...... )501. 2003 = ...... 1 1 6 7 7 6 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( cùng là 6. +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. cùng là 2 . +) 996 = ( 94)24 =( 5là một số lẻ nên có chữ số tận cùng là 4 +) Ta thấy 6 5 4 ...... )502 = ...... => 1358 2008có chữ số tận 6 6 ...... => 81975có chữ số tận ...... = ...... 2 6 2 ...... )24 = ...... => 996có chữ số tận cùng là 1 . 1 1 +) Ta thấy 99là một số lẻ nên 9 Bài tập 3: Cho A = 172008– 112008– 32008. Tìm chữ số hàng đơn vị của A. Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phảitìm chữ số tận cùng của tổng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. Hướng dẫn: Tìm chữ số tận cùng của 172008; 112008; 32008 ta có: A = 172008– 112008– 32008 = 1 ...... - Vậy A có chữ số tận cùng là 9. Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244– 1321. Chứng tỏ rằng : M  10 9có chữ số tận cùng là 9 . 9 ...... - ...... = ...... - ...... = ...... 1 1 0 1 9 8 https://thuviengiaoan.net/

9. tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( 244 =(242)2 = 5762 = 1321 = (134)5.13 = ( Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng ...... )6.17 = ...... .17 = ...... 1 1 7 ..... 6 ...... )5.13 = ...... . 13 = ...... 1 1 3 Vậy M = Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài toán tổng quát sau: Bài 5:Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: a. A = 24n– 5 (n  N, n ≥ 1) b. B = 24n + 2+ 1 (n  N) c. C = 74n – 1 (n  N) Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 => 24n–5 có chữ số tận cùng bằng 1 b) B = 24n + 2+ 1 (n  N) Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16ncó chữ số tận cùng là 4 => B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 c) C = 74n – 1 Ta có 74n = (74)n = (2401)ncó chữ số tận cùng là 1 Vậy 74n –1 có chữ số tận cùng bằng 0. Bài 6: Chứng tỏ rằng, các số có dạng: ...... + ..... - ...... = ...... => M  10 7 6 3 0 có chữ số tận cùng bằng 6 n a) A = chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2) 22− 1 n b) B = chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1) 24+ 4 n Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa n 4 2 , 9 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: c) H = chia hết cho 2 (n  N, n ≥ 1) 92+ 3 n 2 , 2 n 2 n n n Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: a) Với n  N, n ≥ 2, ta có : , , = = = 2 2 2 2 4 4 n n n 2 9 9 2 2 a ( ) 2 − 2 n 2 − − 2 2 . 2 2 n n n 2 = có chữ số tận cùng là 6 = = 2 2 4 2 2 16 n => A = có chữ số tận cùng là 5 22− 1 9 https://thuviengiaoan.net/

10. Vậy A  5 b) Với n  N, n ≥ 1, ta có : ( ) 2 − 1 n 4 − − 1 1 n n n 2 = có chữ số tận cùng là 6 = = 4 4 4 . 4 4 2 16 n Vậy B  10 c) Với n  N, n ≥ 1, ta có : => B = có chữ số tận cùng là 0 24+ 4 ( ) 9 − 1 n 2 − − n 1 1 n n 9 = có chữ số tận cùng là 1 = = 2 2 2 . 2 2 9 81 n Vậy H  2 2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần chú ý những số đặc biệt sau: +) Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0)cũng tận cùng bằng chính nó. +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. +) các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742có tận cùng bằng 76. +) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992có tận cùng là 01. +) Số 26n (n  N, n >1) Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này: 2100 = (220)5 = ( 76 ...... )5 = 76 ...... 3100 = (320)5= ( 01 ...... )5 = 01 ...... Bài tập 2:Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 5151 b) 9999 c) 6666 Hướng dẫn: Đưa vềdạng các số có haichữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. a) 5151 = (512)25. 51 = ( 01 ...... )25. 51 = => 5151có 2 chữ số tận cùng là 51 Tương tự: b) 9999 =(992)49.99 = ( 01 ...... )49 . 99= c) 6666 =(65)133.6 = ( 76 ...... )133 . 6= ...... d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( 76 ...... . 224 = 24 ...... => H = có tận cùng là 4 92+ 3 d) 14101. 16101 ...... . 51 = ...... 01 51 ...... . 99 = 01 ...... 99 . 6 = 76 ...... 56 )50 . 224 = ...... 76 10 https://thuviengiaoan.net/

11. Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: a) 512k; Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: 512k+1 (k N*) b) 992n; 992n+1; (n N*) 99 ; 99 99 c) 65n; 65n+1; (n N*) 66 Gợi ý: ; 66 6 a) 512k = (512)k = ( 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( b) 992n = (992)n = ( 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( ...... )k 01 ...... )k 01 ...... )n 01 ...... )n 01 , ta có 9999là một số lẻ => có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1) 99 99 99 99 99 99 = 99.(992)n = 99 . ( ...... )n 99 c) 65n = ( 65)n = ( 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( => (Với n N, n > 1 99 99 01 )n ...... 76 )n ...... 76 , ta có 6666là một số có tận cùng là 6 => có dạng 65n+1 (n N, n > 1) 66 66 66 66 6 6 )n 66 2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. *Phương pháp: Chú ý một số điểm sau. +) Các số có tận cùng001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng chính số đó. +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 0625. Bài tập 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các phần trước. 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 Vậy: 52000có ba chữ số tận cùng là 625. có bốn chữ số tận cùng là 0625. Bài tập 2: Tìm ba chữ số tận cùng của: a) 23n . 47n (n N*) b) 23n+3 . 47n+2 (n N) => = 6 . ( 66 6 ...... 76 11 https://thuviengiaoan.net/

12. Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 376ncó tận cùng là 376 => 23n . 47ncó tận cùng là 376. b) 23n+3 . 47n+2. Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng túng ở sốmũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 = (8.47)n+1 . 47 = 47 . 376n+1 Ta có: 376n+1có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số tận cùng là 672 Bài tập3:Chứng tỏ rằng: n a. 5 + 375  1000 ( n N, n ≥ 1) 4 n b. c. 2001n + 23n . 47n + 252ncó tận cùng bằng 002 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan và kĩ năng biến đổi. 5 - 25  100 ( n N, n ≥ 2) 2 − − 1 1 n n = ntận cùng là 625 a. Ta có: 5 = ( n N, n ≥ 1) 4 4 . 4 4 5 625 n => 5+ 375 có tận cùng 000. 4 n Vậy: 5 + 375  1000 4 = ( ) − 2 n 2 − − 2 22 . 2 n n n b. Ta có 5 = = ( n N, n ≥ 2) 2 2 2 4 5 625 5 n Vậy 5 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. 2 n c. 2001n + 23n . 47n + 252n Ta thấy : 2001ncó tận cùng là 001 23n. 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. Dạng 3: So sánh hai lũy thừa Do đó : 5 - 25  100 2 12 https://thuviengiaoan.net/

13. * Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lưu ý một số tính chất sau : Với a, b, m, n N , ta có: a > b  an > bn m > n  am > an a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n 0) Với A, B là các biểu thức ta có: An > Bn A > B > 0 Am > An => m > n và A > 1 m < n và 0 < A < 1 Bài tập 1: So sánh: a) 33317 và 33323 b) 200710 và 200810 c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ. a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 c) Ta có: (2008-2007)2009 = 12009 = 1 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài tập 2: So sánh a) 2300 và 3200 b) 3500 và 7300 c) 85 và 3.47 d) 202303 và 303202 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Hướng dẫn: a) Ta có: 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 Vì 8100 < 9100 => 2300 < 3200 b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100 n N* (a > 1) e) 9920 và 999910 f) 111979 và 371320 g) 1010 và 48.505 h) 199010 + 1990 9 và 199110 13 https://thuviengiaoan.net/

14. 7300 = (73)100 = 343100 (808.101)101 f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = 372)660 = 1369660 Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320 g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 199110 = 1991. 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 Bài tập 3.Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 Với bài nà, học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 Bài tập 4 . So sánh : a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán.Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 (2) (*) (1) (2) (2) (1) 14 https://thuviengiaoan.net/

15. Vậy 10750 < 7375 Bài tập 5. So sánh: a) (-32)9 và (-16)13 b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 b) (-5)30 và (-3)50 −)100 và ( −)500 1 1 c) (-32)9 và (-18)13 d) (16 2 Hướng dẫn: Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 − (− −)100 = −)500 = 100 1 500 ) 1 1 còn ( 1 1 1 1 d) Ta có : (16 = = = 100 500 100 400 500 16 2 2 16 2 2 1 > 1 Vì 2400 < 2500 nên 400 500 2 2 −)100 > ( −)500 1 1 Vậy (16 2 + + 2008 2007 2008 1 2008 1 Bài 6. So sánh A và B biết : A = ; B = + + 2009 2008 2008 1 2008 1 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau: * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được: +  a> 1 thì a a c +) Nếu b + b b c 15 https://thuviengiaoan.net/

16. + a< 1 thì a a c +) Nếu b Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có :  + b b c +< 1 nên 2008 2008 1 Vì A = + 2009 2008 1 +< + + ) 1 + + 2008 2008 2007 2008 1 2008 1 2007 2008 .( 2008 2008 2008 A = = = + + + ) 1 + 2009+ 2009 2009 2009 2008 1 2008 1 2007 2008 .( 2008 2008 2008 +=B 2007 2008 1 = + 2007 2008 1 Vậy A < B . Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau : + + + 2008 2009 ( 2008 1 ). 2008 2008 1 2007 + 2007 2009+ Cách 1: Ta có : 2008.A = =1+ = + 2009 2009 2008 1 2008 1 2008 1 + 2008 + + 2007 2008 2008 1 ). 2008 2008 1 2007 2007 2008+ 2008.B = =1+ = + + 2008 2008 1 2008 1 2008 1 2007 2009+ 2007 2008+ Vì 20082009+1 >20082008+1 nên < 2008 1 2008 1 Cách 2: => 2008.A < 2008. B => A < B + − + − += 2009 2008 2009 2008 2008 2008 2007 2008 .( 2008 ) 1 + 2007 2008 1 1= A = + + 2008 2008 2008 1 2008 1 2008 1 2007 2008+ = 2008 - 2008 1 + − + − += 2008 2007 2008 2008 2008 2007 2007 2008 .( 2008 ) 1 + 2007 2008 1 1= B = + + 2007 2007 2008 1 2008 1 2008 1 2007 2007+ = 2008 - 2008 1 2007 2008+ 2007 2007+ Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên < 2008 1 2008 1 2007 2008+ 2007 2007+ => 2008 - > 2008 - 2008 1 2008 1 1> B 1 => A < B (vì A,B > 0) Vậy A + + 100 101 100 1 100 1 Bài 8 .So sánh M và N biết: M = ; N = + + 99 100 100 1 100 1 Hướng dẫn: 16 https://thuviengiaoan.net/

17. +> 1 101 100 1 Cách 1 : N = + 100 100 1 + + + +> + += M 101 101 101 100 100 100 1 99 100 100 100 1 100 ( 100 ). 1 100 1 => N = = = = + + + + + + 100 100 100 99 99 100 1 99 100 100 100 1 100 1 100 ( 100 ). 1 Vậy M < N. + − += + − 99 100 100 100 ( 1 ). 99 100 + 99 100 1 100 100 99 99 99 99+ Cách 2: M = = = 100 - + + 99 100 1 100 1 100 1 100 1 + − + − += 101 100 101 100 100 100 99 100 ( 1 100 ). 100 + 99 100 1 99 100+ N = = = 100 - + + 100 100 1 100 1 100 1 100 1 99 99+ 99 100+ 99 99+ Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên > => 100 - < 100 - 100 1 100 1 100 1 99 100+ 100 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: 1. So sánh: a, 528 và 2614 b, 521 và 12410 d, 421 và 647 e, 291 và 535 h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410 2. So sánh: 1 Vậy M < N. c, 3111 và 1714 g, 544 và 2112 1 và 3 1 1 và 3 1 a) 2 b) 5 200 199 300 300 8 5 15 20 −        1 1 1 3 c) và d) và      4 10 10 8  3. So sánh: + + 15 16 13 1 13 1 a) A = và B = + + 16 17 13 1 13 1 + và + 1999 2000 1999 1 1999 1 b) A = B = + + 1998 1999 1999 1 1999 1 + + 69 100 100 1 100 1 c) A = và B = + + 68 99 100 1 100 1 Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa. *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi. 17 https://thuviengiaoan.net/

18. Bài tập 1:Tính giá trị các biểu thức sauvới x=7. + 30 7 13 27 2 5 . 2 5 . a) A = + 27 7 10 27 2 5 . 2 5 . + () 5 ) x + () 6 x b) M = ( ) − () 5 − 6 x với x = 7 ( x − 4 x Hướng dẫn: Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ. + + 30 7 13 27 13 7 17 20 2 5 . 2 5 . 2 5 . 10 2 ( 7 5 . + ) = 23 = 8 a) A = = + 27 7 10 27 17 20 2 5 . 2 5 . 2 5 . 2 ( 5 ) + () 5 ) x + () 6 x M = ( ) − () 5 − 6 x b) ( x − 4 x cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng. Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ + + () 5 ) () 7 5 ) x + + () 6 () 7 6 x M = ( ) = ( ) − − () 5 − 6 () 5 − 7 6 x ( ( 7 x − − 4 7 4 x 12 13 1 2 = 32 = 9 1 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng: a) A = 102008 + 125  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006 31 c) M = 88 + 220 17 d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7 Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng:Nếu a  m, a  n, (m;n) = 1 thì am.n (a, m, n N*) a) A = 102008 + 125  45 Ta có: 102008 + 125 = 0 ... 100 + 125 = 2008 số 0 A có tận cùng là 5 => A  5 Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A  9. Mà (5;9) = 1 => A  5.9 hay A  45 b) B = 52008 + 52007 + 52006 31 M = = 2 3 3 100 0125 ... 2005 số 0 18 https://thuviengiaoan.net/

19. chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung. B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 .( 52 + 51 + 1) B = 52006 . 31  31 c) M = 88 + 220 17 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17  17 d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36 7 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn: H = 3135 . 299 – 3136 . 36 H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136 H = 3135 . 14 - 35. 3136 H = 7 . (3135 . 2 – 5. 3136 )  7 Bài tập 3 . Cho A = 2+ 22 + 23+……+ 260 Chứng tỏ rằng: A3 , A7 , A5 Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm2 / 3 / 4 / ….lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó. Ví dụ : A = 2+ 22 + 23+……+ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+…….+(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+…….+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+…..+257+259) = 3.( 2+23+25+…..+257+259) => A3 Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)+……+(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+…….+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+…….+258) = 7.(2+24+27+…….+258) Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép 19 https://thuviengiaoan.net/

20. Bài tập 4: Chứng tỏ rằng: a) D = 3 + 32 + 33 + 34+……..+ 32007 13 b) E = 71 + 72 + 73 + 74+…. + 74n-1 + 74n 400 Hướng dẫn: a) Ta thấy : 13 = 1 + 3 + 32nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau : D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +…….+ (32005 + 32006.+ 32007) =3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +…….+ 32005.(1 + 3 + 32) = 3. 13 + 34. 13 + ……..+ 32005. 13 = (3 + 34+ ……+ 32005). 13 => D  13 b, Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) + …+ 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74). (1+74 + 78+ …+74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ). (1+74 + 78+ …+74n-4) = 7.(1 + 7 + 49 + 343 ). (1+74 + 78+ …+74n-4) = 7.400 . (1+74 + 78+ …+74n-4)  400 => E  400 Bài tập 5: a) Tính tổng: Sn = 1 + a + a2 + .. + an b) áp dụng tính các tổng sau: A = 1 + 3 + 32+ … + 32008 B = 1 + 2 + 22 + 23+ ……+ 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74+…. + 7n-1 + 7n a) Đây là một bài toán tổng quát , giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm: Để thu gọn các tổng lũy thừa nà, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa. A = (2+ 23)+(22+24)+……+(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)+……+257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+…….+257+258) = 5. (2+22+25+26+…….+257+258 => A5 => A 7 20 https://thuviengiaoan.net/

21. * Xét a = 1 ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =( n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1 ta có : Sn = 1 + a + a2 + .. + an a. Sn = a + a2 + .. + an+1 a. Sn - Sn = an+1– 1 + − 1 an 1 => Sn = − 1 a b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B , C nhờ công thức Sn 32009− 1 A = 1 + 3 + 32+ … + 32008 = 2 B = 1 + 2 + 22 + 23+ ……+ 21982 = 21983 - 1 + 1− n 7 7 C = 71 + 72 + 73 + 74+…. + 7n-1 + 7n= 6 Bài tập 6: Thu gọn tổng sau : M = 1 - 2 + 22- 23+ … + 22008 Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏisự lúng túng với những dấu “+”, “-“xen kẽ. Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu gọn được tổng M. Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau; còn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét hiệu của chúng: M = 1 - 2 + 22- 23+ … + 22008 2M= 2 - 22 + 23– 24+ … + 22009 => 2M + M = 22009 + 1 22009+ 1 => M = 3 Bài tập 7. Tính 1 1 1 1 a, A = + + + + ....... 2 3 100 2 2 2 2 1 1 1 1 b, B = 1+ + + + + ....... 2 3 500 5 5 5 5 Hướng dẫn: làm tương tự bài 4 1 1 1 1 1 a) A = + + + + + ....... 2 3 99 100 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2A = 1+ + + + + ....... 2 3 99 2 2 2 2 21 https://thuviengiaoan.net/

22. 1 1 1 1 1 1 1 1 => 2A – A =(1+ ) – ( ) + + + + + + + + ....... ....... 2 3 99 2 3 100 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1+ − + − + − + + − − ....... 2 2 3 3 99 99 100 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 A = 1 - 100 2 1 1 1 1 b) B = 1+ + + + + ....... 2 3 500 5 5 5 5 1 1 1 1 5B = 5+1+ + + + + ....... 2 3 499 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 => 5B – B = (5+1+ ) – (1+ ) + + + + + + + + ....... ....... 2 3 499 2 3 499 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 5+1-1+ − + − + − + + − − ....... 2 2 3 3 499 499 500 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 4B = 5 - 500 5 1): 4 B = (5 - 500 5 Bài tập 8.Tính: B = 1002 - 992 + 982– 972+ ……+22 - 1 Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 1002, 982, …, 22 thành một nhóm và các số còn lại thành một nhóm . Ta có: B = 1002 - 992 + 982– 972+ ……+22– 1 = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+……..+(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+…….+2+1 = 100.(100+1): 2 = 5050 Bài tập9:Chứng tỏ rằng. 1 1 1 1 1 a, H = + + + + +  .. 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2007 2008 1 1 1 1 1 1 1 1 b, K = + + + + + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 8 10 12 14 Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên. 1 n 1 n 1 + (n  N*) Lưu ý: = − ) 1 − .( 1 n n 22 https://thuviengiaoan.net/

23. 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: , , , …….., 2 2 2 2 2 . 1 3 . 2 4 . 3 2007 2008 . 2 3 4 2008 1 1 1 1 1 1 1 1 => H = (*) + + + + +  + + + .. .. 2 2 2 2 2 2 . 1 3 . 2 2007 2008 . 2 3 4 2007 2008 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mà + + + = − + − + − + + − = −  .. 1 ..... 1 1 2 . 1 3 . 2 2007 2008 . 2 2 3 3 4 2007 2008 2008 Nên , từ (*) => H < 1 Qua bài toán trên, giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán tổng quát sau: Bài tập 10.Chứng tỏ : 1 1 1 1 1 n a) H = (n   + + + + + +  * , ) 1 .. ..... 1 N n 2 2 2 2 2 2 3 4 2003 1 1 1 1 1 1 1 1 b) K = < 2 + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 8 10 12 14 Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 n 1 n a) H < = + + + − + − + − + + − = −  ..... 1 ..... 1 1 − 2 . 1 3 . 2 ( 1 ). n n 2 2 3 3 4 1 n Nên H < 1 1( 1 1 1 1 1 1 1(1+1) = 1.2 = 2 1 b) K = ) < + + + + + + 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 2 2 1 1 1 1 1 1 (Vì theo câu a, ) + + + + +  1 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 6 7 1. Vậy K < 2 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau: 1.Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viếtđược dưới dạng số chính phương: M = 13+23 N = 13+23+33 P = 13+23+33+43 2. Tính A và B bằng hai cách trở lên: A = 1+2+22+23+24+…….+2n B = 70+71+72+73+74+……+7n+1 3. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2; T = 22+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 4. So sánh: a) A = 1+2+ 22 + 23 +24+25+……+ 22008 và B = 22009– 1 Q = 13+23+33+43+53 R = 13+23+33+43+53+63 K = 13+23+33+43+53+63+73 (n  N*) (n  N) 23 https://thuviengiaoan.net/

24. b) P = 1 + 3 + 32+ … + 3200 và Q = 3201 c) E = 1 + x + x2+ … + x2008 và F = x2009 5. Chứng tỏ rằng: a, 13+33+53+73 23 b) 3+33+35+37+……+32n+1 30 c) 1+5+ 52 + 53+…….+ 5403+5404 31 d) 1+4+ 42 + 43 +44+……+ 499 và B = 4100 6. Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng: A = 1+2+ 22 + 23+……+ 22008 + 22002 7. Tính: a) 3S – 22003biết S = 1 – 2 + 22 - 23+……+ 22002 b) E = 2100– 299– 298– 297 - … - 22 - 2 – 1 c) H –K biết: H = 1 + 3+ 32 + 33+……+ 320 K = 321 : 2 8.Tìm: a) Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n . Với A = 3+ 32 + 33+……+ 3100 b) Chữ số tận cùng của M biết : M = 2+ 22 + 23+….. + 220 9. Chứng tỏ rằng : a) 87– 218 14 h, 122n+1 + 11n+2 133 c) 817– 279 - 913 405 i, 70+71+72+73+…..+7101 8 b) 106– 57  59 k, 4+ 42 + 43 +44+……+ 416 5 d) 1099+23 9 l, 2000+20002+20003+ ……+20002008 2001 e) 1028 + 8  72 m, 3+ 35 + 37+……+ 31991 13 và  41 10. Chứng tỏ rằng: (x  N*) (n  N*) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) b) + + + +   + + + +  .. .. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 2 4 6 100 5 6 7 100 Dạng 5: Toán có lời văn với lũy thừa. Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương. Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. *Phương pháp: Cần nắm được một số kiến thức sau: +) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là 0, 1 , 4, 5, 6, 9 và không thể tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. +) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. 24 https://thuviengiaoan.net/

25. +) Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số có số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương. Bài tập 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng MÙI . MÙI = TÂN MÙI Bạn hãy trả lời giúp. Phân tích đề bài: Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) MÙI là số có 3 chữ số Theo (*) thì (MÙI)2có tận cùng là mùi và có 6 chữ số. Đi tìm đáp án: Gọi MÙI = a. Ta có: a2 = 1000. TÂN + a hay a2– a = 1000. TÂN => a.(a-1)  1000 Ta thấy a-1 và a là hai số liên tiếp 1000 = 125 . 8 với (125; 8 ) = 1 Vậy có thể xảy ra: +) a  125 và a – 1  8 => a = 625 +) a  8 và a-1  125 => a = 376 Do đó: 625 . 625 = 390625 (thỏa mãn) 376 . 376 = 141376 (không thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N) Vậy MÙI . MÙI = TÂN MÙI Bài tập 2: Đố bạn: số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3, 6, 8, 8. Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án: Gọi số chính phương phải tìm là n2 Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6 Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng là 36. Do đó số chính phương cần tìm là 8836 Bài tập 3. Bạn hãy tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau. (*) chính là 625 . 625 = 390625 25 https://thuviengiaoan.net/

26. Gợi ý : Gọi số cần tìm là n => n2 = aabb= 11. a0 b a0 = 11k2 (k => Ta có 100  11k2909 => 4  k 9 Thử các giá trị của k chỉ có số 704 có chữ số hàng chục bằng 0. Vậy k = 8 và số cần tìm là 7744. 3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp Các giải pháp trên có thể áp dụng cho tất cả học sinh các khối lớp, tùy theo đối tượng học sinh giáo viên chọn dạng bài tập cho phù hợp. Đặt biệt các giải pháp này đem lại hiệu quả khá cao trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các khối lớp. 3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giảipháp: Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh khá giỏi,tôi đã hướng dẫn các em học sinh khối 6 học chuyên đề này , Kết quả cho thấy các em không những đã giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề này, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và phần toán lũy thừa nói riêng. Các em học sinh sau khi được học chuyên đề đã nắm vững được các dạng bài tập về lũy thừa để tìm ra phương pháp giải hợp lý nhất cho các bài tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt một số em trong đội tuyển học sinh giỏi các em đã giải và vận dụng rất linh hoạt, nhanh và chọn được phương pháp tối ưu khi giải toán . 3.5.Tàỉ liệu kèm theo gồm: không có Chợ Lách, ngày 15 tháng 2 năm 2019 )  b N 26 https://thuviengiaoan.net/