COMPLEMENTO TEÓRICAS - Introducción a la teoría lineal de la elasticidad

1. Teoría lineal de la elasticidad (TLE)Complemento Teóricas:Introducción Curso de Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. …el problema que en general se desea resolver con esta teoría es el siguiente: “dado un sólido en equilibrio, solicitado por un estado de cargas dado, se requieren determinar la tensiones σx, σy, σz, τxy, τyz, τxz, (seis funciones escalares); las deformaciones εx, εy, εz, γxy, γyz, γxz, (seis funciones escalares) y los desplazamientos u, v y w (tres funciones escalares) para los distintos puntos del sólido” Es decir, que en general se tienen 15 funciones incógnitas. El equilibrio se resuelve mediante: • Las seis ecuaciones de las relaciones cinemáticas lineales (que relacionan deformaciones con desplazamientos). • Las tres ecuaciones de equilibrio interno (que relacionan tensiones con las fuerzas actuantes). • Las seis ecuaciones constitutivas de la ley generalizada de Hooke (que relacionan tensiones con deformaciones). Veamos algunos conceptos preliminares

3. Con estas suposiciones, las ecuaciones que resultan son lineales pero para poder resolverlas harán falta conocer las condiciones de borde del correspondiente problema. Se pueden presentar tres formas distintas de problemas: • Problema elástico de primera especie: es cuando están especificadas las fuerzas actuantes en las superficies del cuerpo. • Problema elástico de segunda especie: es cuando especificamos los desplazamientos de los puntos de la superficie del cuerpo. • Problemas mixtos: es cuando para una parte de la superficie se especifican las fuerzas que actúan sobre dicha parte de la superficie y se dan los desplazamientos de los puntos del resto de la superficie. Veamos algunos conceptos preliminares

4. Analicemos las deformaciones: Un cuerpo elástico se deforma bajo la acción de fuerzas (el término deformación se refiere a cambios en la distancia entre puntos pertenecientes a un sólido). Por otro lado, el desplazamiento de un punto del sólido elástico se caracteriza con un vector cuyas componentes en la terna xyzse designan con (u,v,w) y es posible relacionarlas con las deformaciones que tienen lugar. La figura muestra el desplazamiento y una pequeña deformación de un elemento diferencial en el plano cuyas medidas son dxy dy. El elemento ABCD toma la forma A´B´C´D´ luego de la deformación. (Los corrimientos de los puntos A, B, C, y D en los vértices se indican en la figura). Las componentes del corrimiento del punto de referencia A, de coordenadas (x,y), son u(x,y) y v(x,y).

5. De la misma forma los corrimientos del punto B son u(x+dx,y) y v(x+dx,y) y para los puntos restantes los corrimientos quedan definidos de manera análoga. Así, de acuerdo a la teoría de pequeños desplazamientos, podemos plantar: …y la deformación en dirección x, es definida como: …donde: …y utilizando la igualdad AB = dx y la aproximación para A’B’, la relación queda: …y en forma similar podemos definir:

6. La distorsión del elemento ABCD se caracteriza con el cambio del ángulo inicialmente recto y se cuantifica de la siguiente manera: …y para pequeñas deformaciones, (es decir ángulos y pequeños), se cumple: …y en consecuencia: …y despreciando los términos de orden superior, se obtiene:

7. Si se realiza un razonamiento análogo al anterior pero en los planos yzyxz, los resultados se extienden para un caso general en las tres dimensiones que permite obtener las relaciones cinemáticas lineales. (Relaciones cinemáticas lineales)

8. Al sistema de ecuaciones anterior se suman las ecuaciones de compatibilidad que garantizan una propiedad fundamental desde el punto de vista matemático con respecto a las funciones corrimiento de un cuerpo sometido a deformación (esta es que las funciones sean continuas y de valor único). (Ecuaciones de compatibilidad)

9. Un cuerpo rígido está en equilibrio si es nula la resultante de las fuerzas actuantes y los momentos con respecto a tres ejes ortogonales. En el caso de sólidos deformables la condición anterior se debe cumplir para cada volumen imaginario que se pueda separar del cuerpo considerado (es decir, un sólido deformable se encontrará en equilibrio si para cada volumen del cuerpo es nula la resultante de fuerzas y momentos). De la condición de nulidad de la resultante de fuerzas en cualquier volumen del cuerpo se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio interno: (Ecuaciones de equilibrio interno)

10. …donde: X, Y y Z se refieren a las componentes de las fuerzas de volumen actuantes; ax, ay y az componentes del vector aceleración y es la densidad del material del cuerpo. Para el caso estático, cuando las fuerzas inerciales son nulas, el sistema de ecuaciones anterior se reduce a: …siendo por Cauchy:

11. Las relaciones anteriores no son suficientes para resolver problemas estáticos o dinámicos en un sólido deformable. Es necesario una relación entre las componentes de deformación del sólido y las componentes de tensión actuantes. Manteniendo las hipótesis de pequeñas deformaciones y medio continuo, la relación utilizada para sólidos elásticos es la conocida Ley de Hooke: (Ecuaciones constitutivas) …y la condición que existe entre µ, G y el módulo E está dada por:

12. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) • Estabilidad II – Enrique Fliess Apunte del CEI – Teoría de la Elasticidad Lineal – Estabilidad IIIC – H. Rezk • Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo • Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz • Mecánica de materiales - F. Beer y otros • Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez • Resistencia de materiales - V. Feodosiev • Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer • Resistencia de materiales - S. Timoshenko

13. Muchas Gracias