ESTUDIO DE CASOS - Mecánica Cuántica (04) - Dualidad onda-partícula – Partícula cuántica

1. Mecánica CuánticaCaso de estudio:Dualidad onda-partícula – Partícula cuántica Física Moderna (Física IV) - Ing. Gabriel Pujol

2. Propiedades ondulatorias de las partículas …si estuviera compuesta de partículas (fotones) con una energía y con una cantidad de movimiento (momentum). En el ano de 1924, Louis de Broglie postulo que ya que los fotones tienen a la vez características ondulatorias y de partículas, es posible que todas las formas de la materia tengan ambas propiedades,ydado que la cantidad de movimiento de un fotón puede ser expresada de la forma: …la longitud de onda de De Brogliede dicha partícula será igual a: Además, en analogía con los fotones, De Broglie postulo que las partículas también obedecerán a la relación de Einstein:, donde es la energía total de la partícula, es la constante de Planck y su frecuencia. Fenómenos como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton representan una prueba de que cuando la luz (y otras formas de radiación electromagnética) interactúa con la materia, se comporta como ....

3. Postulado de DeBrolie  Louis-Victor de Broglie (1892-1987), formuló una hipótesis en la que afirmaba que: Toda la materia presenta características tanto ondulatorias como corpusculares comportándose de uno u otro modo dependiendo del experimento específico. …la longitud de onda y la frecuencia de la onda piloto asociada a una partícula de cantidad de movimiento y energía relativista estará dada por: …y que el movimiento de una partícula está regido por la propagación ondulatoria de las ondas piloto.

4. Partícula cuántica …no obstante, la evidencia experimental muestra que esta conclusión es exactamente la que debe aceptarse. El reconocimiento de esta naturaleza dual lleva a un nuevo modelo, la partícula cuántica. Hagamos un rápido repaso de algunas de las características de las partículas y de las ondas ideales: • Una partícula ideal tiene de tamaño cero dimensiones. Debido a eso, una característica esencial de una partícula es que está localizada en el espacio. • Una onda ideal tiene una sola frecuencia y es infinitamente larga. Por lo tanto, una onda ideal NO se localiza en el espacio. La idea de que tanto la luz como las partículas de la materia tienen propiedades a la vez de partícula y de onda no encaja.... Una onda individual tiene la misma amplitud en cualquier sitio del espacio, (no existe ningún punto en el espacio diferente de cualquier otro punto). Sin embargo, cuando se añade una segunda onda, existe alguna diferencia relativa a los puntos en fase en comparación con los que están fuera de fase.

5. Partícula cuántica Cada onda nueva se agrega de forma que una de sus crestas este en , (con el resultado de que todas las ondas se suman constructivamente en ). Cuando se considera un gran número de ondas, la probabilidad de que exista un valor positivo de una función de onda en cualquier punto es igual a la probabilidad de que se tenga un valor negativo, y existe interferencia destructiva en todos los sitios excepto cerca de . Ahora imagine que se agregan más y más ondas a las dos originales, donde cada nueva onda tiene una nueva frecuencia. La naturaleza localizada de esta entidad es la única característica de una partícula que fue generada mediante este proceso.

6. Partícula cuántica La representación matemática de estas ondas es: …y utilizando el principio de sobreposición: …resulta conveniente escribir lo anterior de manera que se utilice la identidad trigonométrica: …y haciendo y , será: Regresemos a la combinación de dos ondas y consideremos dos ondas de igual amplitud pero de frecuencias diferentes y .

7. Partícula cuántica …y llamando y podemos escribir: …y el factor entre corchetesde la última ecuación representa la envolvente de la onda, como por ejemplo la curva color azul de la figura. Esta envolvente, resultado de la combinación, puede moverse a través del espacio a una rapidez distinta de la de las ondas individuales. Esta rapidez se conoce como rapidez de fase. Para una onda individual, su rapidez se conoce por:

8. Partícula cuántica El factor entre paréntesis cuadrados de la ecuación tiene la forma de una onda, por lo que se mueve con una rapidez conocida por esta misma relación: …a este término se le conoce como rapidez de grupo, es decir, la rapidez del paquete de ondas. Para la sobre posición de una gran cantidad de ondas para formar un paquete de ondas, esta relación se convierte en una derivada: Multiplicando tanto el numerador como el denominador por , donde se tiene: Considere los términos en el paréntesis de la ecuación, de manera separada. En el caso del numerador tendremos: …y para el caso del denominador tendremos: …y por lo tanto,

9. Partícula cuántica Porque se está explorando la posibilidad de que la envolvente de las ondas combinadas represente la partícula, piense en una partícula libre con una rapidez que es pequeña en comparación con la rapidez de la luz c. La energía de esta partícula es su energía cinética: (recordar que ) …y al derivar esta ecuación respecto a resulta: En consecuencia la rapidez de grupo del paquete de ondas es idéntica a la rapidez de la partícula que se modela en su representación. Esto permite confiar más en el hecho de que el paquete de ondas es una forma razonable de generar una partícula.

10. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Física Moderna – Luis R. Arguello Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna – Volumen 2 – Serway / Jewett

11. Muchas Gracias