ESTUDIO DE CASOS - Mecánica Cuántica (08) - Pozo de altura infinita

1. Mecánica CuánticaCaso de estudio:Pozo de altura infinita Física Moderna (Física IV) - Ing. Gabriel Pujol

2. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Solución de la física clásica: La partícula NO PUEDE EXISTIR FUERA DEL POZO por cuanto su energía cinética sería negativa: Dentro del pozo la partícula PUEDE EXISTIR para cualquier valor de energía total positiva Solución de la Mecánica Cuántica: En Mecánica Cuántica no puede definirse la posición de una partícula con precisión absoluta, sólo podemos calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región. Sean las siguientes condiciones de frontera:

3. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera A tal efecto dividimos el espacio en tres regiones: ; y . Para calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en alguna de estas tres regiones: ; y , es necesario estudiar la función de onda . Esta función de onda , (por el Postulado N° 4) debe satisfacer la ecuación estacionaria de Schrodingerque en el caso de partículas unidimensionales, para (estacionaria) es: con Sean las siguientes condiciones de frontera:

4. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: Esta ecuación sólo acepta la solución trivial dado que es el único valor que puede evitar que el segundo término del primer miembro sea distinto de (la ecuación de Schrodingerdebe estar acotada). Pero si y la probabilidad de hallar la partícula fuera del pozo es NULA. Regiones I y III (fuera del pozo):

5. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: …esta ecuación la podemos escribir como: con …cuya solución general podemos plantearla como: *(ecuación diferencial homogénea de segundo orden) Esta función debe ser (junto con sus derivadas primeras), finitas, continuasy uniformes en el espacio de configuración del sistema (por el Postulado N° 1), por lo que en las fronteras de las 3 Regionesdeben tener el mismo valor (en este caso ). Regiones II (dentro del pozo):

6. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …por lo tanto (en ) resulta: = 0  0 = 0 = 1 = 0 …para que esto se cumpla debe ser () y entonces: …por su parte, (en ) resulta : (con ) …dónde () pues sino resultaría: …elevando al cuadrado la expresión e igualándola con la y despejando, podemos hallar una expresión para la energía : (con )

7. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …hasta acá, la ecuación estacionaria de Schrodingeres: = 0 = 0 …para hallar el coeficiente aplicaremos el 2° Postulado a todo el espacio de configuración: (2° Postulado) (resuelvo la integral ) …por lo tanto: …y la ecuación estacionaria de Schrodingeres:

8. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …la solución total será: Para la física clásica es igualmente probable encontrar a la partícula en cualquier coordenada entre , pero para la mecánica cuántica la densidad de probabilidad oscila más y más a medida que aumenta . aumentan las oscilaciones (ecuación temporal) Cuando (para valores de energía muy altos) las oscilaciones están tan comprimidas que las predicciones de la mecánica cuántica se aproximan a los de la física clásica.

9. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Física Moderna – Luis R. Arguello Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna – Volumen 2 – Serway / Jewett

10. Muchas Gracias