ESTUDIO DE CASOS - Mecánica Cuántica (09) - Pozo de altura finita

1. Mecánica CuánticaCaso de estudio:Pozo de altura finita(Pozo cuadrado de Potencial) Física Moderna (Física IV) - Ing. Gabriel Pujol

2. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Solución de la física clásica: Podemos distinguir dos casos a) y b) Caso a) La partícula NO PUEDE EXISTIR FUERA DEL POZO por cuanto su energía cinética sería negativa: Dentro del pozo la partícula PUEDE EXISTIR para cualquier valor de energía total positiva Caso b) Sean las siguientes condiciones de frontera: En este caso la partícula puede estar en cualquier posición del eje .

3. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …cuando la partícula se encuentra en la Región su energía cinética valdrá: …al entrar en la Región aumentará su energía cinética al igual que su cantidad de movimiento , en este caso será: …al abandonar la Región y entrar a la Región , disminuirá su energía cinética al igual que su cantidad de movimiento , en este caso será: Sean las siguientes condiciones de frontera:

4. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Solución de la Mecánica Cuántica: En Mecánica Cuántica no puede definirse la posición de una partícula con precisión absoluta, sólo podemos calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región. Evaluaremos sólo el caso de una partícula cuya energía total sea . A tal efecto dividimos el espacio en tres regiones: ; y . Sean las siguientes condiciones de frontera: Para calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en alguna de estas tres regiones: ; y , es necesario estudiar la función de onda .

5. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Esta función de onda , (por el Postulado N° 4) debe satisfacer la ecuación estacionaria de Schrodingerque en el caso de partículas unidimensionales, para (estacionaria) es: con Nuevamente, podemos distinguir dos casos a) y b) Caso a) Región(dentro del pozo ) En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: Sean las siguientes condiciones de frontera:

6. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …esta ecuación la podemos escribir como: con *(ecuación diferencial homogénea de segundo orden) …cuya solución general podemos plantearla como: Caso b) Regionesy (fuera del pozo ) En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: Sean las siguientes condiciones de frontera:

7. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …esta ecuación la podemos escribir como: con *(ecuación diferencial homogénea de segundo orden) …cuya solución general podemos plantearla como: Esta función debe ser (junto con sus derivadas primeras), finitas, continuas y uniformes en el espacio de configuración del sistema (por el Postulado N° 1), por lo que en las fronteras de las 3 Regionesdeben tener el mismo valor. Sean las siguientes condiciones de frontera:

8. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …veamos los siguientes casos: Región …por lo tanto, para que la función sea finitadeberá ser: …Región Sean las siguientes condiciones de frontera: …por lo tanto, para que la función sea finitadeberá ser:

9. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …mientras que por las condiciones de continuidadde las función y de su derivada primera podemos plantear: Finalmente, la solución será:

10. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Operemos con las expresiones , , y . Restemos miembro a miembro las ecuaciones y(recordando que la suma o resta de dos igualdades es otra igualdad). …y recordando que , resulta: (fórmula de Euler) …y operando en forma análoga resulta:

11. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Del análisis de las expresiones , , y se deduce que, si: …podemos hacer: …si ahora: …podemos hacer: …las expresiones y son incompatibles pues ambos coeficientes son reales y no simultáneamente nulos. Ello conduce a dos clases de soluciones: Segunda clase: Primera clase: …para hallar los coeficientes aplicaremos el 2° Postulado a todo el espacio de configuración: (2° Postulado)

12. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Física Moderna – Luis R. Arguello Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna – Volumen 2 – Serway / Jewett

13. Muchas Gracias