ESTUDIO DE CASOS - Mecánica Cuántica (10) - Barrera de Potencial

1. Mecánica CuánticaCaso de estudio:Barrera de Potencial(Efecto Túnel) Física Moderna (Física IV) - Ing. Gabriel Pujol

2. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Un carrito de juguete es empujado, y por acción del impulso sube una colina. Subirá hasta cierto punto, y luego descenderá al punto de inicio. Lo que pasa es que a medida que va subiendo, su energía cinética va convirtiéndose en energía potencial gravitatoria. El punto en el que se detiene es el punto en el que toda la energía cinética que tenía se volvió potencial. No consigue llegar a la cima. Si en lugar de una colina fuera una pared, no subiría nada. Golpearía la pared, y se iría hacia atrás.  Imaginemos la siguiente situación: En cuántica, cuando lanzamos una partícula (carrito) a una barrera de potencial (pared), ocurre algo inesperado: la partícula tiene una probabilidad de entrar en la barrera de potencial y aparecer del otro lado. Nota: La partícula tiene una función de onda y esta función de onda está definida sobre todo el espacio.

3. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Solución de la física clásica: Podemos distinguir dos casos a) y b) Caso a) Incidiendo desde la izquierda, la partícula será reflejada por la barrera de potencial en (punto de retorno). La zona es inaccesible mientras que la región es físicamente prohibida. Caso b) En este caso la partícula puede estar en cualquier posición del eje . La partícula NO SE REFLEJARÁ. Sean las siguientes condiciones de frontera: Al atravesar la barrera bajará su energía cinética (se frenará) hasta sobrepasarla , para continuar con la energía inicial .

4. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Solución de la Mecánica Cuántica: En Mecánica Cuántica no puede definirse la posición de una partícula con precisión absoluta, sólo podemos calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en una determinada región. A tal efecto dividimos el espacio en tres regiones: ; y . Para calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en alguna de estas tres regiones: ; y , es necesario estudiar la función de onda . Sean las siguientes condiciones de frontera:

5. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Esta función de onda , (por el Postulado N° 4) debe satisfacer la ecuación estacionaria de Schrodingerque en el caso de partículas unidimensionales, para (estacionaria) es: con Nuevamente, podemos distinguir dos casos a) y b) Caso a) En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: Sean las siguientes condiciones de frontera: para para para con: y

6. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera …considerando que las ondas se desplazan de izquierda a derecha, no pueden haber ondas reflejadas para , por lo que la constante  debe ser cero. …y las condiciones de continuidad en este caso son: …operando con las expresiones , , y , podemos eliminar las constantes y :

7. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Podemos escribir explícitamente que la onda incidente es: …que la onda reflejada es: …y que la onda transmitida es: El movimiento de la partícula en el lado lejano de la barrera se denomina efecto túnel o penetración de barrera. La probabilidad del efecto túnel se puede describir con un coeficiente de transmisión y un coeficiente de reflexión . El coeficiente de transmisión representa la probabilidad de que la partícula penetre al otro lado de la barrera, y el coeficiente de reflexión es la probabilidad de que la partícula sea reflejada por la barrera. Se requiere que . La probabilidad de transmisión o probabilidad de tunelización es la relación entre la intensidad transmitida y la intensidad del incidente :

8. La partícula cuántica bajo condiciones de frontera Caso b) En este caso, la ecuación de Schrodingerqueda: Los cálculos que conducen a los coeficientes de transmisión y reflexión son esencialmente los mismos reemplazando por para para para con: y

9. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Física Moderna – Luis R. Arguello Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna – Volumen 2 – Serway / Jewett

10. Muchas Gracias