ESTUDIO DE CASOS - Mecánica Cuántica (12) - Átomo de Hidrógeno

1. Mecánica CuánticaCaso de estudio:Átomo de Hidrógeno Física Moderna (Física IV) - Ing. Gabriel Pujol

2. Evolución histórica de los Modelos Atómicos Es verdad que Bohr lo hizo de una manera un tanto “chapucera”, pero hizo posible que en 1927 emergiera un modelo atómico plenamente mecanocuántico. Nosotros podemos hacer la siguiente cronología: • El átomo-bola de Datontuvo vigencia durante todo el siglo XIX, ayudando a asentar la Química como ciencia y como industria. Fue la época dorada de la Química. • El descubrimiento del electrón en 1897 permitió que en 1904 J. J. Thomson planteara el existencia del átom-pudding, bola de materia cargada positivamente que contenía electrones en su interior. La evolución de los modelos atómicos es un ejemplo que explica perfectamente cómo la Física Clásica en 1913 había llegado a su límite y cómo una mente privilegiada como la de Niels Bohrfue capaz de usar la incipiente Mecánica Cuántica para explicar la estructura atómica.

3. Evolución histórica de los Modelos Atómicos Es verdad que Bohr lo hizo de una manera un tanto “chapucera”, pero hizo posible que en 1927 emergiera un modelo atómico plenamente mecanocuántico. Nosotros podemos hacer la siguiente cronología: • El átomo-bola de Datontuvo vigencia durante todo el siglo XIX, ayudando a asentar la Química como ciencia y como industria. Fue la época dorada de la Química. • El descubrimiento del electrón en 1897 permitió que en 1904 J. J. Thomson planteara el existencia del átom-pudding, bola de materia cargada positivamente que contenía electrones en su interior. • Este modelo fue sustituido por el átomo nuclear de Rutherford en 1911. (El descubrimiento del núcleo atómico fue un hito importantísimo, pero, al mismo tiempo, el movimiento de los electrones en torno a un centro con carga positiva introducía un problema irresoluble para la Física clásica: el átomo con núcleo no puede existir, es inestable, después de 10-8 segundos debería destruirse). La evolución de los modelos atómicos es un ejemplo que explica perfectamente cómo la Física Clásica en 1913 había llegado a su límite y cómo una mente privilegiada como la de Niels Bohrfue capaz de usar la incipiente Mecánica Cuántica para explicar la estructura atómica.

4. Evolución histórica de los Modelos Atómicos Sin embargo, la experiencia nos demuestra que los átomos son estables y que la existencia del núcleo es irrefutable. Se había llegado al límite de la Física clásica. En 1911 todos los físicos sabían que era necesario inventar una nueva física que explicara los fenómenos que ocurren en el interior del átomo: la Física Cuántica. • En 1913 Bohrconsiguió introducir la cuantización de la energía en el átomo. (La idea era sencilla: los electrones no podían estar a cualquier distancia del núcleo, solo podían ocupar capas situadas a ciertas distancias permitidas, el tamaño de las órbitas electrónicas estaba cuantizado). En este modelo las innovaciones cuánticas cohabitaban con la Física clásica. • En 1927 Schrödingerpropone un modelo atómico completamente cuántico. (La idea de Schrödingerera simple: el electrón en el átomo se comporta como una onda material que, al estar confinada, solo puede vibrar de determinadas maneras). Cada uno de esos estados de vibración fueron denominados orbitales. Así, un átomo era más parecido a una cuerda vibrante que a un sistema planetario.

5. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno …como en cualquier problema de mecánica cuántica comenzamos proponiendo un potencial. Supondremos al núcleo (con una masa 1856 veces mayor que la masa del electrón) en reposo en el origen de coordenadas y al electrón sometido a un potencial coulombiano: con: El signo nos indica que el electrón está sometido a una fuerza central atractiva . Según Schrödinger, para cualquier sistema aislado existe una función matemática de las coordenadas espaciales y del tiempo, , tal que dicha función contiene toda información relevante acerca del estado del sistema. A la denominamos función de onda o función de estado del sistema. En 1927 se cerró el círculo abierto en 1913 con Bohr. Fue entonces cuando Erwin Schrödinger propuso un modelo de átomo completamente cuántico…

6. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno La expresión del potencial nos indica que la misma no depende del tiempo, por lo que la función de onda podrá escribirse: donde: Así, el estado de un electrón de masa  alrededor de un núcleo de masa  se describe mediante la ecuación de Schrödingeren coordenadas esféricas (por tratarse de un problema tridimensional): Supondremos que la solución de la ecuación de Schrödingeres el producto de dos funciones: una que describe el estado del electrón en la dirección radial  y otra en la dirección angular : (resolvemos por separación de variables)

7. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno Resolvemos la función , para ello calculamos: …y reemplazando en la ecuación de Schrödinger: …multiplico ambos miembros por : …agrupamos de un lado del igual los términos en y del otro, los términos en : (en donde es la constante de separación de variables)

8. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno De ello surgen dos ecuaciones: …multiplico ambos miembros de la primera de estas ecuaciones por y reordeno: …multiplico ambos miembros de la primera de estas ecuaciones por y reordeno: Supondremos que la solución de la ecuación es el producto de dos funciones: una que describe el estado del electrón en la dirección angular  y otra en la dirección angular : (resolvemos por separación de variables)

9. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno Resolvemos la función , para ello calculamos: …y reemplazando en la ecuación : …multiplico ambos miembros por : …agrupamos de un lado del igual los términos en y del otro, los términos en : (en donde es la constante de separación de variables)

10. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno De ello surgen dos ecuaciones: …multiplico ambos miembros de la primera de estas ecuaciones por y reordeno: …multiplico ambos miembros de la primera de estas ecuaciones por y reordeno: …teniendo en cuenta las ecuaciones , y :

11. Modelo cuántico del átomo de hidrógeno …la solución buscada será: Cada una de estas funciones quedará definida a menos de un factor constante , el que se determinará mediante la condición de normalización: …debiendo ser:

12. Bibliografía Recomendada(en orden alfabético) Física Moderna – Luis R. Arguello Física para Ciencias e Ingeniería con Física Moderna – Volumen 2 – Serway / Jewett

13. Muchas Gracias