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ESTUDIO DE CASOS - Hiperestáticos - Viga continua de dos tramos

ESTUDIO DE CASOS - Hiperestu00e1ticos

Gabriel104
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ESTUDIO DE CASOS - Hiperestáticos - Viga continua de dos tramos

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Presentation Transcript

  1. Sistemas HiperestáticosEstudio de CasosViga continua de dos tramos Introducción a la Mecánica del Sólido Deformable Ing. Gabriel Pujol Para la carrera de Ingeniería Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

  2. …y se aplicaba a los tipos de estructuras propias de la época: puentes metálicos, barras articuladas, arcos y vigas continuas, de reducido grado de hiperestaticidad. Con el siglo XX llega el uso del hormigón armado. Las barras constituidas con este material poseen nudos que pueden considerarse rígidos y por lo tanto las piezas trabajan fundamentalmente a flexión, por lo que el grado de hiperestaticidad de las mismas crece notablemente y consecuentemente el Método de las Fuerzas resulta poco práctico. Cómo ya vimos, el “Método de las Fuerzas” fue desarrollado durante el siglo XIX… Consideraciones Preliminares Además, con la aparición de los métodos de cálculo numérico a mediados del siglo pasado, los Métodos de Compatibilidad quedaron totalmente obsoletos. En la actualidad, el Método de las Deformaciones (dado que las incógnitas que se plantean son los movimientos de los nudos), del Equilibrio(porque las ecuaciones que se plantean son de equilibrio) o de la Rigidez(ya que los coeficientes que aparecen en las ecuaciones que se plantean son de rigidez) constituye la forma práctica de cálculo de estructuras.

  3. Básicamente, este método consiste en identificar el número de movimientos incógnita que determinan la deformación de la estructura, satisfaciendo a priori las condiciones de compatibilidad de movimientos en los nudos de la estructura. Cómo ya vimos, el “Método de las Fuerzas”fue desarrollado durante el siglo XIX… Consideraciones Preliminares El número de incógnitas del problema es, pues, igual al grado de indeterminación cinemática del problema (los giros y desplazamientos de los nudos). Imponiendo ahora las condiciones de compatibilidad en las piezas individuales, éstas están cinemáticamente determinadas; por lo tanto se pueden calcular, en función de las incógnitas cinemáticas, los esfuerzos que actúan sobre las barras, y en particular los valores de los extremos de piezas. Las condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos en los nudos proporcionan el número necesario de ecuaciones para resolver las incógnitas cinemáticas.

  4. …lo constituye el hecho que, si nos resulta posible determinar los desplazamientos y las rotaciones de los nudos de una estructura hiperestática... De manera muy sintética, podemos decir que el fundamento del Método de las Deformaciones… …se demuestra que los pares extremos en cada una de las barras pueden expresarse en función de dichos desplazamientos generalizados y de fuerzas debidas a las causas exteriores actuando sobre un sistema llamado fundamental. Consideraciones Preliminares Luego, para cada una de las barras las fuerzas extremas normales al eje y las que poseen su dirección podrán obtenerse fácilmente por consideraciones de equilibrio, lo que permitirá conocer su esquema de cuerpo libre, resultando inmediato, entonces, el trazado de sus diagramas de características.

  5. Si consideramos una barra i-j, sus extremos, (después que han actuado las acciones exteriores), habrán pasado a ocupar las posiciones i’ y j’, mientras que las secciones correspondientes habrán experimentado un giro. De manera muy sintética, podemos decir que el fundamento del Método de las Deformaciones… Consideraciones Preliminares Si asociamos tres coordenadas locales con cada extremo de la barra (C1 a C6), tendremos un número de seis desplazamientos generalizados, que tienen lugar según esas coordenadas y que serán, justamente, las incógnitas cinemáticas de esa barra. Estando el sistema general en equilibrio, la barra aislada también lo estará, bajo la acción de las cargas exteriores que la solicitan y de las fuerzas generalizadas que el resto de la estructura le transmite a través de las coordenadas C1 a C6.

  6. 4 t 1 t/m A C B 2 m 5 m 4 m El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Ejemplo

  7. 4 t 1 t/m A C B 2 m Finalmente, aplicando el principio de superposición de efectos, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio. 5 m 4 m Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Ejemplo Formamos un sistema de ecuaciones que permita determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtenemos los esfuerzos en la estructura.

  8. 4 t 1 t/m A C Procedemos a fijar angularmente el nudo Bde forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será 1 = 0 (Nota: en este caso no es necesario imponer la restricción de desplazamientos horizontales dado que no existen cargas es esa dirección). En consecuencia el sistema fundamental resultante será el que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal BC), y una barra empotrada-empotrada (barra horizontal AB). B 2 m 5 m 4 m Resolución Definimos el Sistema Fundamental:

  9. 4 t 1 t/m A C B 2 m Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (qyP)sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas(en este caso la rotación del nodo B)y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. 5 m 4 m Resolución Definimos el Sistema Fundamental:

  10. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Barra articulada - empotrada cargada con una carga P en L/2 Resolución

  11. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Barra doblemente empotrada cargada con una carga uniforme Resolución

  12. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Barra doblemente empotrada con un giro  en A Resolución

  13. Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas Hallar las reacciones de vínculo para la viga continua de dos tramos de la figura Barra articulada - empotrada con un giro  en A Resolución

  14. 4 t 1 t/m A C B 2 m M0A(q) M0B(q) 5 m 4 m Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán a las barras ABy BCde acuerdo con el siguiente esquema… …por lo tanto, de tablas, el momento en el vínculo Ay en nodo Bdebido a la acción de las cargas exteriores (q) serán: con:

  15. 4 t 1 t/m A C B 2 m M0A(q) M0B(q) 5 m 4 m Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas R0A(q) R0B(q) …y en cuanto a las reacciones en los apoyos tendremos: con:

  16. 4 t 1 t/m - A C B 2 m M0A(q) M0B(q) M0B(P) 5 m 4 m Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas R0A(q) R0B(q) …mientras que, el momento en el nodo Bdebido a la acción de las cargas exteriores (P) serán: con:

  17. 4 t 1 t/m - A C B 2 m M0A(q) M0B(q) M0B(P) 5 m 4 m Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas R0A(q) R0B(q) R0C(P) R0B(P) … y en cuanto a las reacciones en los apoyos tendremos: con:

  18. mA A C B B1 2 m q = 1 Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B) 5 m 4 m A B 4EJ 6EJ 6EJ 2EJ L L2 L2 L El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto será para la barra AB (para un valor unitario de q): con:

  19. mA A C B B1 2 m q = 1 Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B) 5 m 4 m A B RB1() RA() 4EJ 6EJ 6EJ 2EJ L L2 L2 L … y en cuanto a las reacciones en los apoyos tendremos: con:

  20. 3EJ mA A C L B2 B B1 2 m B C q = 1 Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B) 5 m 4 m RB1() RA() 3EJ 3EJ L2 L2 …mientras que el efecto para la barra BC (para un valor unitario de q) será: con:

  21. 3EJ mA A C L B2 B B1 2 m B C q = 1 Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B) 5 m 4 m RC() RB1() RA() RB2() 3EJ 3EJ L2 L2 … y en cuanto a las reacciones en los apoyos tendremos: con:

  22. 4 t 1 t/m …para ello planteamos  M = 0 en el nodo B: A A C C B B 2 m 2 m M0A(q) M0B(q) M0B(P) 5 m 5 m 4 m 4 m RC() RB1() R0A(q) RA() RB2() R0B(q) R0C(P) R0B(P) mA B2 B1 q = 1 …y reemplazando valores será: Planteamos el equilibrio del nudo B y calculamos 1…

  23. 4 t 1 t/m …para la barra AB será: A A C C B B 2 m 2 m M0A(q) M0B(q) M0B(P) 5 m 5 m 4 m 4 m RC() RB1() RA() R0A(q) RB2() R0B(q) R0C(P) R0B(P) mA B2 MAB B1 …para la barra BC será: q = 1 MBA MBC …y reemplazando valores será: Con 1 calculamos los pares extremos de barra…

  24. 4 t 1 t/m …para la barra AB será: A A C C B B 2 m 2 m M0A(q) M0B(q) M0B(P) 5 m 5 m 4 m 4 m RC() RB1() RA() R0A(q) RB2() R0B(q) R0B(P) R0C(P) mA B2 B1 …para la barra BC será: q = 1 …y reemplazando valores será: RC RA RB Con 1 calculamos los esfuerzos extremos de barra…

  25. Cuerpo Libre 4 t 1 t/m 1,361 t + A C B Q 2 m - 5 m 4 m Momentos Flexores M 2,556 t.m 2,639t MAB 1,846 t.m Corte 2,72 t.m RA RB RC - - + + 2,639t 2,36 t Trazamos los diagramas de Cuerpo Libre, Momentos Flexores y Corte…

  26. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

  27. Muchas Gracias

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