Giải phương trình, bất PT, hệ PT với sự hỗ trợ của Casio fx-570 VN plus

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ —————————— SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO fx-570 VN PLUS NGƯỜI THỰC HIỆN: NGUYỄN HỮU HẢI KRÔNG BÚK, THÁNG 2 NĂM 2016 https://dethigdcd.net/

2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO fx-570 VN PLUS Giáo viên thực hiện : Nguyễn Hữu Hải Năm học : 2015 - 2016 Krông Búk, tháng 2 năm 2016 https://dethigdcd.net/

3. MỤC LỤC MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii 1. MỞ ĐẦU 1 1.1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.5. Phạm vi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. NỘI DUNG 3 2.1. Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.1 Định lý Vi-ét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.2. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.1.3. Các dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 15 3.1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 i https://dethigdcd.net/

4. DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT N : Tập các số tự nhiên Z : Tập các số nguyên Q : Tập các số hữu tỉ R : Tập các số thực MTBT : Máy tính bỏ túi SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông SKKN : Sáng kiến kinh nghiệm ĐH-CĐ : Đại học - cao đẳng ii https://dethigdcd.net/

5. 1. MỞ ĐẦU 1.1. Lý do chọn đề tài - Trong chương trình môn toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với các dạng bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán đó trong các đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ rất phong phú và đa dạng, mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có , Tại sao lại như vậy? - Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày đang còn đơn giản về nội dung, giới thiệu sơ lược một số ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để giải được các bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. - Ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ về Công nghệ thông tin, Máy tính bỏ túi (MTBT) là công cụ rất hữu hiệu hỗ trợ học sinh trong quá trình học và giáo viên trong quá trình dạy. Có nhiều bài toán khó nhưng với chiếc MTBT chúng ta có thể tìm được phương pháp giải. - Bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong các đề thi ĐH-CĐ là tương đối khó, với mục đích giúp học sinh có thêm kỹ năng giải quyết bài toán nên tôi xin trình bày một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình với sự hỗ trợ của MTBT CASIO fx-570 VN PLUS. 1 https://dethigdcd.net/

6. 1.2. Mục đích nghiên cứu • Đề tài này được nghiên cứu nhằm mục đích trang bị thêm cho học sinh phương pháp giải toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và kỹ năng sử dụng MTBT để hỗ trợ tìm kiếm lời giải. • Giúp học sinh tự tin hơn khi tiếp cận bài toán, khi bên cạnh các em có thêm phương tiện học tập đắc lực là MTBT, qua đó nâng cao hiệu quả hơn trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia. • Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân, cho đồng nghiệp, tạo cảm hứng cho học sinh trong quá trình học tập. • Hướng ứng phong trào thi đua viết SKKN của tập thể giáo viên trường THPT Nguyễn Văn Cừ năm học 2015 - 2016. 1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành bài viết với đề tài này tôi đã nghiên cứu kỹ các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải toán. • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là nội dung chương trình môn toán THPT đặc biệt là các chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình và kiến thức về ứng dụng của máy tính bỏ túi. 1.4. Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận • Sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm thực tiễn 2 https://dethigdcd.net/

7. 1.5. Phạm vi áp dụng Đề tài này có thể áp dụng được cho tất cả học sinh có học lực từ trung bình trở lên của trường THPT Nguyễn Văn cừ. 2. NỘI DUNG 2.1. Một số kiến thức cơ sở 2.1.1.Định lý Vi-ét • Nếu phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0(a 6= 0) có hai nghiệm x1,x2thì x1+ x2= −b x1.x2=c a, a. • Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x2− Sx + P = 0. 2.1.2. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản   •  p g(x) ≥ 0 f(x) = [g(x)]2   • f(x) = g(x) ⇔  f(x) =p f(x) = g(x) ⇔ f(x) = [g(x)]3 3p 2.1.3. Các dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản   •  p 3p g(x) ≥ 0 f(x) = g(x) (hoặcf(x) ≥ 0) g(x) ⇔ • 3p • g(x) ⇔ f(x) = g(x) f(x) =  p f(x) ≥p g(x) ≥ 0 f(x) ≥ g(x) • g(x) ⇔      3 p g(x) ≥ 0 f(x) ≥ [g(x)]2 g(x) < 0 f(x) ≥ g(x) ⇔ hoặc f(x) ≥ 0 https://dethigdcd.net/

8.         f(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0 f(x) ≤ [g(x)]2    p • f(x) ≤ g(x) ⇔ 2.2. Một số bài toán Bài toán 1 3√2x2+ 6x + 3 = 0. Giải phương trình√2 − x + 2 − Phân tích và lời giải: Điều kiện x ≤ 2 Đặt t =√2 − x suy ra t2= 2 − x ⇒ x = 2 − t2, Khi đó phương trình (1) trở thành : 3p Bây giờ ta sử dụng chức năng SHIFT (1) t ≥ 0 2(2 − t2)2+ 6(2 − t2) + 3 ⇔ 2t4− t3− 20t2− 12t + 15 = 0 t + 2 = (2) SOLV E của MTBT để tìm các nghiệm của phương trình (2), Tiếp đó dùng máy tính tính các tổng và tích sau lưu t1vào biến A t1= 0,618... lưu t2vào biến B t2= 3,58... lưu t3vào biến C t3= −1,618... lưu t4vào biến D t4= −2,089... Bảng 1: Nhân tử: Không xác định được A + B = 4,20748... A.B = ... Nhân tử là t2+ t − 1 A + C = −1 A.C = −1 A.D=... Nhân tử: Không xác định được A + D = −1,47142... Nhân tử: Không xác định được B + C = 1,97142... B.C = ... B + D = −3 B.D = −15 Nhân tử là t2−3 2t −15 2 2 2 C.D =... Nhân tử: Không xác định được C + D = −3,70748... Bảng 2: 4 https://dethigdcd.net/

9. ? ? t2−3  2t −15 t =−1 +√5 t =−1 −√5 t =3 +√129 t =3 −√129 Vì vậy phương trình (2) tương đương 2(t2+ t − 1) = 0 2 nhận  2  t2+ t − 1 = 0 loại 2 ⇔ ⇔ 2t2− 3t − 15 = 0 nhận 4  loại 4 √5 − 1 2 √129 + 3 4 √5 − 1 2 √129 + 3 ⇔ 2 − x =6 − 2√5 ⇔ 2 − x =132 + 6√129 ⇔ x =−3√129 − 53 √5 + 1 2 √5 + 1 2 ⇒√2 − x = ⇒√2 − x = • Với t = ⇔ x = (n) 4 • Với t = 4 16 (n) 8 và x =−3√129 − 53 Vậy phương trình có hai nghiệm x = . 8 Nhận xét: Bài toán trên ta không thể dùng máy để dò các nghiệm x để xét tổng và tích rồi dự đoán nhân tử chung để đưa ra định hướng biểu thức liên hợp vì qua cách giải trên ta thấy phương trình có hai nghiệm vô tỉ, nhưng tổng và tích không phải là những số hữu tỉ. Bài toán 2 Giải hệ phương trình (trích đề thi đại học khối D-2012)   Trước tiên ta sử dụng máy tính để tìm kiếm lời giải  xy + x − 2 = 0 2x3− x2y + x2+ y2− 2xy − y = 0 (1) (2) Nếu phương trình (2) có nhân tử chung thì ta sẽ tìm quy luật bằng cách nhập phương trình (2) vào màn hình máy tính, rồi dùng chức năng dò SHIFT SLOVE, nhưng mặc định máy tính chỉ hiểu x là biến còn y là tham số. Do đó máy yêu cầu nhập y và máy sẽ tìm x, ta nhập vài giá trị y đơn giản để tìm giá trị x tương ứng, qua đó ta tìm ra quy luật biểu diễn giữa x và y. Kết quả được thể hiện qua bảng sau 5 https://dethigdcd.net/

10. 1 2 3 4 y 1 0.5 1 1.5 x Bảng 3: Nhìn vào bảng ta nhận thấy các cặp số (2;0.5);(3;1),(4;1.5) có quy luật biểu diễn là y = 2x + 1. Do đó ta dự đoán nhân tử chung của phương trình là 2x + 1 − y. Giải: Phương trình (2) tương đương x2(2x − y + 1) + y(y − 2x − 1) = 0  y = 2x + 1 ⇔ x2(2x + 1 − y) − y(2x + 1 − y) = 0 ⇔ (2x + 1 − y)(x2− y) = 0 ⇔ y = x2 • Khi y = 2x + 1 thay vào phương trình (1), ta có x(2x + 1) + x − 2 = 0   x =−1 −√5 x =−1 +√5 ⇒ y = −√5 ⇒ y =√5  2 ⇔ 2x2+ 2x − 2 = 0 ⇔ 2 • Khi y = x2thay vào phương trình (1), ta có x3+x−2 = 0 ⇔ (x − 1)(x2+ x + 2) = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1. ?−1 +√5 Nhận xét: Chúng ta cũng có thể giải bài toán trên bằng phương pháp rút thế, sau đó sử ? ?−1 −√5 ? ;√5 ;−√5 Vậy hệ phương trình trên có ba nghiệm , ,(1;1). 2 2 dụng máy tính trong việc hỗ trợ giải phương trình bậc cao, được trình bày sau. Do x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên từ phương trình (1) ta có y =2 − x x x5+ x4− x2− 3x + 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x4+ 2x3+ 2x2+ x − 2) = 0  x4+ 2x3+ 2x2+ x − 2 = 0 (3). Thế vào phương trình (2) rồi biến đổi ta có phương trình x = 1 Nhập phương trình (4) vào máy tính, dùng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE, thử ⇔ (4) tổng và tích các nghiệm ta sẽ phân tích được thành nhân tử. Ta dò được hai nghiệm x1,x2như sau. 6 https://dethigdcd.net/

11. gán x1cho biến A x1= −1.618... gán x2cho biến B x2= 0.618... Bảng 4: Do A + B = −1 và A.B = −1 nên nhân tử là x2+ x − 1. Thực hiện phép chia đa thức x4+ 2x3+ 2x2+ x − 2 = 0 cho x2+ x − 1 được thương là x2+ x + 2. Nên phương trình (4) tương đương (x2+ x − 1)(x2+ x + 2) = 0 ⇔ x2+ x − 1 = 0,phương trìnhx2+ x + 2 = 0 vô nghiệm.   Vậy hệ phương trình trên có ba nghiệm x =−1 +√5 x =−1 −√5 ⇒ y =√5 ⇒ y = −√5  2 ⇔ 2 ?−1 +√5 ? ?−1 −√5 ? ;√5 ;−√5 , ,(1;1). 2 2 Bài toán 3 √x2+ x +√x − 2 ≥p 3(x2− 2x − 2) Giải bất phương trình (1) trên tập số thực. (Trích đề thi minh họa - kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia năm 2015) Giải: Điều kiện của bất phương trình: x ≥ 1 +√3 Với điều kiện (*), bất phương trình (1) ⇔ x2+ 2x − 2 + 2p x(x + 1)(x − 2) ≥ x2− 4x − 2 (đây là bất phương trình vô tỉ có dạng cơ bản)    Giải hệ (II): Bất phương trình x2−4x−2 ≥ 0 ⇔ x ∈?−∞;2 −√6?∪?2 +√6;+∞?,(∗∗). Bây giờ ta cần đến sự hỗ trợ của máy tính để giải bất phương trình (∗). x(x + 1)(x − 2) ≥ 3(x2− 2x − 2) ⇔p     x2− 4x − 2 < 0 x(x + 1)(x − 2) ≥ 0 x2− 4x − 2 ≥ 0 x(x + 1)(x − 2) ≥ (x2− 4x − 2)2  (I) ⇔  (II) Giải hệ (I) và kết hợp với điều kiện (∗) ta có tập nghiệm T1=?1 +√3;2 +√6? x(x + 1)(x − 2) ≥ (x2− 4x − 2)2⇔ x4− 9x3+ 13x2+ 18x + 4 ≤ 0 (2). 7 https://dethigdcd.net/

12. Nhập vế trái của bất phương trình vào máy tính, dùng chức năng SHIFT SLOVE ta dò được 4 nghiệm Lưu x1vào biến A x1= −0.65... Lưu x2vào biến B x2= −0.32... Lưu x2vào biến C x3= 3.20... Lưu x4vào biến D x4= 6.50... Bảng 5: Thử tổng và tích các nghiệm ta có A + D = 6;A.D = −4 và B + C = 3;B.C = −1. Nên bất phương trình (2) tương đương (x2− 6x − 4)(x2− 3x − 1) ≤ 0 Giải bất phương trình này bằng phương pháp lập bảng xét dấu ta có nghiệm x ∈ ? tập nghiệm T2=?2 +√6;3 +√13?. ? ?3 +√13 ? 3 −√13;3 −√13 ;3 +√13 ∪ , kết hợp với các điều kiện (∗) và (∗∗) ta có 2 2 Suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là T = T1∪ T2=?1 +√3;3 +√13? Tôi xin trình bày cách giải theo đáp án bộ giáo dục đưa ra để chúng ta tiện so sánh . giữa hai cách trình bày. • Điều kiện x ≥ 1 +√3 (∗). • Với điều kiện (∗) , bất phương trình (1) tương đương x2+ 2x − 2 + 2p x(x + 1)(x − 2) ≥ x(x − 2) − 2(x + 1) ?p (2) ⇔p ⇔ x2− 6x − 4 ≤ 0 ⇔ 3 −√13 ≤ x ≤ 3 +√13 Kết hợp (∗) và (∗∗), ta được tập nghiệm của bất phương trình (1) là: T =?1 +√3;3 +√13?. x(x + 1)(x − 2) ≥ 3(x2− 2x − 2) ⇔p Do với mọi x thỏa mãn (∗), nên ta cóp ??p ? x(x − 2) − 2√x + 1 x(x − 2) +√x + 1 ≤ 0 (2) x(x − 2) +√x + 1 > 0 nên x(x − 2) ≤ 2√x + 1 (∗∗). 8 https://dethigdcd.net/

13. Nhận xét: Cách giải thứ hai trình bày gọn gàng hơn cách thứ nhất nhưng học sinh sẽ khó lòng thực hiện khi tạo nhân tử chung bằng cách này. Bài toán 4 3√12x2+ 46x − 15 − 3√x3− 5x + 1 = 2(x + 1), (1) trên tập số thực. Giải phương trình Phân tích và lời giải: Nhập phương trình (1) vào máy tính. Dùng chức năng SHIFT SLOVE ta dò được ba nghiệm Lưu x1vào biến A x1= 2 Lưu x2vào biến B x2= −2.41... Lưu x3vào biến C x3= 0.414... Bảng 6: Do B + C = −2,B.C = −1, nên ta suy ra nhân tử của phương trình là (x − 2)(x2+ 2x − 1) = x3− 5x + 2. Bây giờ ta đi tìm lượng liên hợp cho các căn bậc ba ở vế trái, ta dễ dàng nhận biết biểu thức cần thêm, bớt để liên hợp là dạng bậc nhất ax + b. 3√12x2+ 46x − 15 − (ax + b) = 0, Thay x = 2 và x = −1 +√2 vào ta có hệ ẩn a,b, giải ra ta có a = 2,b = 1. Suy ra 3√x3− 5x + 1−(ax+b) = 0, thay x = 2 và x = −1+√2 ta có hệ ẩn a,b, giải ra ta có a = 0,b = −1. Suy ra Do đó phương trình (1) 3√12x2+ 46x − 15 − (2x + 1) −? ⇔ 3 (12x2+ 46x − 16)2+ (2x + 1) − (x3− 5x + 1)2+ Nên ta giả định 3√12x2+ 46x − 15 − (2x + 1). Tương tự 3√x3− 5x + 1 + 1. 3√x3− 5x + 1 + 1)? 3√12x2+ 46x − 15 + (2x + 1)2 = 0 ⇔ ⇔ = 0 −8x3+ 40x − 16 q 3p x3− 5x + 2 3√x3− 5x + 1 + 1  ?x3− 5x + 2? 8  q 3√12x2+ 46x − 15 + (2x + 1)2 (12x2+ 46x − 15)2+ (2x − 1) 3 9 https://dethigdcd.net/

14.  1 = 0,(∗) q + 3√x3− 5x2+ 1 + 1 (x3− 5x2+ 1)2+ 3 8 3p (x3− 5x + 1)2+ Nên phương trình (∗) ⇔ x3− 5x + 2 = 0 ⇔ x = 2;x = −1 +√2;x = −1 −√2. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =?2;−1 ±√2? Bài toán 5 Do 3√12x2+ 46x − 15 + (2x + 1)2 3√x3− 5x + 1 + 1 (12x2+ 46x − 15)2+ (2x + 1) 1 3p + > 0 với mọi x. Giải hệ phương trình sau với x,y ∈ R (Trích đề thi cao đẳng năm 2011)   Phân tích: Phương trình (2) đơn giản nhưng dùng máy tính ta không phát hiện ra quy 2√2x + y  = 3 − 2x − y, (1) x2− 2xy − y2= 2, (2) luật biểu diễn giữa x và y, nhưng với phương trình (1) ta lại tìm ra quy luật biểu diễn giữa x và y. 0 1 2 3 y 0.5 0 -0.5 -1 x Bảng 7: Từ bảng ta dự đoán cách biểu diễn là y = 1−2x. Do đó phương trình (1) sẽ có nhân tử chung là 2x + y − 1, từ đó ta có cách điều chỉnh để xuất hiện biểu thức này. Giải: Điều kiện của hệ là 2x + y ≥ 0. Phương trình (1) tương đương 2(√2x + y − 1) + 2 = 3 − 2x − y ⇔ 22x + y − 1 √2x + y + 1+ 2x + y − 1 = 0 10 https://dethigdcd.net/

15. ? ? 2 √2x + y + 1+ 1 ? (∗) thế vào phương trình (2) và biến đổi, ta có phương trình x2+ 2x − 3 = 0  x = −3 ⇒ y = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;−1),(−3;7). ⇔ (2x + y − 1) = 0 ? 2 √2x + y + 1+ 1 ⇔ 2x + y − 1 = 0, vì y = 1 − 2x ≥ 0. 1 ⇒ y = −1, thỏa mãn điều kiện 7, thỏa mãn điều kiện x = ⇔ Bài toán 6 Giải hệ phương trình sau với ẩn x,y ∈ R (trích đề thi đại học khối A năm 2011).   Phân tích tìm lời giải: Do phương trình (2) đơn giản hơn nên ta tìm dùng máy tính để  5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = 0 (1) xy(x2+ y2) + 2 = (x + y)2 (2) tìm mối liên hệ giữa x và y ở phương trình (2). Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức năng SHIFT SLOVE được thể hiện trong bảng sau 1 2 3 4 y 0.5 =1 0.333... =1 0.25 =1 1 x 2 3 4 Bảng 8: Ta dự đoán được mối liên hệ giữa x và y là: x.y = 1, tức nhân tử chung là xy − 1. Giải: Phương trình (2) ⇔ xy(x2+ y2) + 2 = x2+ y2+ 2xy ⇔ xy(x2+ y2) − (x2+ y2) + 2 − 2xy = 0 ⇔ (x2+ y2)(xy − 1) − 2(xy − 1) = 0 ⇔ (xy − 1)(x2+ y2− 2) = 0  x2+ y2= 2 xy = 1 ⇔ 11 https://dethigdcd.net/

16. • Với xy = 1 ⇒ x =1 3y4− 6y2+ 3 = 0 ⇔ y2= 1 ⇔ y = ±1 . Nên trong trường hợp này hệ có 2 nghiệm (1;1) và (−1;−1). ythay vào phương trình (1) và biến đổi, ta có phương trình • Với x2+ y2= 2 Phương trình (1) ⇔ 3x2y + 3y3+ 2x2y − 4xy2− 2x − 2y = 0 ⇔ 3y(x2+ y2) + 2x2y − 4xy2− 2x − 2y = 0 ⇔ 4y + 2x2y − 4xy2− 2x = 0 ⇔ (x − 2y)(2xy − 2) = 0  xy = 1 (đã giải ở trên) x = 2y Với x = 2y thay vào phương trình x2+ y2= 2 ta có 5x2= 2   Vậy hệ có hai nghiệm là r 5⇒ y =2√2 r 2 x =  5 5⇒ y = −2√2 ⇔ 2 x = − 5 5;2√2 ?√2 ? ?−√2 ? ;−2√2 và . 5 5 5 Bài toán 7   9x2+ 9xy + 5x − 4y + 9√y = 7 √x − y + 2 + 1 = 9(x − y)2+√7x − 7y (2)  (1) (x,y ∈ R). Giải hệ phương trình Phân tích tìm lời giải:Ta tìm mối liên hệ giữa x và y từ phương trình (2) kết quả được thể hiện trong bảng sau 0 1 2 3 y 0.3333... =1 1,3333... =4 2.3333.. =7 3.3333... =10 x 3 3 3 3 Bảng 9: Ta dự đoán nhân tử chung là x = y+1 3, nên ta sẽ sử dụng phương pháp liên hợp "ép xuất hiện nhân tử chung" là 3y − 3x + 1. Giải: Điều kiện x ≥ y ≥ 0. 12 https://dethigdcd.net/

17. Nếu x = y thì phương trình (2) vô nghiệm, suy ra x > y, do đó từ phương trình (2) ⇔√x − y + 2 −√7x − 7y + 1 − [3(x − y)]2= 0 ⇔ ? Vì x > y ≥ 0 nên tương đương y = x −1 ? ⇔ 18x2− 8x + 6x −8 nghiệm x =4 9. Ta lại tiếp tục ép để xuất hiện nhân tử chung là 4x − 9 Phương trình (∗∗) tương đương ⇔ 2x(9x − 4) +2 ? vì x>0 nên 3+ Với x =4 9. Vậy hệ có nghiệm là 2 − 6x + 6y √x − y + 2 +√7x − 7y+ (1 − 3x + 3y)(1 + 3x − 3y) = 0 ⇔ (1 − 3x + 3y) ? 3thay vào phương trình (1) ta được phương trình x −1 3 3 r ? 2 √x − y + 2 +√7x − 7y+ (1 + 3x − 3y) 2 √x − y + 2 +√7x − 7y+ (1 + 3x − 3y) (∗) = 0 ? > 0 nên phương trình (∗) r ? ? ? x −1 x −1 x −1 9x2+ 9x + 5x − 4 + 9 3= 7 3− 3 = 0 (∗∗), sử dụng máy tính ta tìm được một 3+ 9 3(9x − 4) + 3(√9x − 3 − 1) = 0 2x +2 3+ ? 9⇒ y =1 ? 3 = 0 ⇔ x =4 ? ?4 √9x − 3 + 1 √9x − 3 + 1 ⇔ (9x − 4) 9, 2x +2 3 > 0. ? 9;1 9 2.3. Bài tập Bài tập 1 3√9 − x3=√3x2+ 13 Giải phương trình sau trên tập số thực R : 2x + Đáp số : S = {1;2} Bài tập 2    x3− y3− 6x2+ 3(x − 5y) = 14 √3 − x +√y + 4 = x3+ y2− 5 (x,y ∈ R). Giải hệ phương trình Đáp số : S = {(−1;−3),(2;0)} 13 https://dethigdcd.net/

18. Bài tập 3 √x2+ 4x + 3 +√x2+ x =√3x2+ 4x + 1 trên tập số thức R. ? Giải phương trình ? −1;−8 − 2√19 Đáp số:S = 3 Bài tập 4    2x2− y2− 7x + 2y + 6 = 0 −7x3+ 12x2y − 6xy2+ y3− 2x + 2y = 0 (x,y ∈ R). Giải hệ phương trình Đáp số : S = {(2;2),(3;3)} Bài tập 5 Giải bất phương trình√5x − 1 −√x − 1 >√2x − 4. Đáp số:S = [2;10) Bài tập 6 Giải bất phương trình (2x − 1)√x +√2x2+ x − 1 ≥√2x2− x +√x + 1. h1 ? 2;+∞ Đáp số: S = Bài tập 7   ? 5y2− x2? 4y3+ 3y +p = y2?x2+ 4y2+ 8? √5;3 +√5 5  x x +√12 − 2x = 2y2− 2√y − 4 ?? (x,y ∈ R). Giải hệ phương trình ?? Đáp số : S = 3 + Bài tập 8 Giải phương trình√3 + 2x +√6 − 2x = 3 +√−4x2+ 6x + 18 trên tập số thực R. n o −3 Đáp số : S = 2;3 14 https://dethigdcd.net/

19. 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1. Kết luận Mặc dù chương trình SGK hiện hành đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng, kỳ thi tốt nghiệp THPT hiện nay thì câu giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vẫn thuộc dạng câu khó có tính phân loại. Do vậy nếu học sinh chỉ nắm vững kiến thức phương pháp giải toán trong SGK thì số lượng học sinh giải được câu này là không nhiều. Do vậy để học sinh đạt kết quả cao hơn ngoài việc giáo viên trang bị thêm kiến thức phương pháp giải toán bổ trợ thì việc dạy cho các em có kỹ năng sử dụng và khai thác những thế mạnh mà MTBT mang lại là điều hết sức cần thiết. Trong phạm vi bài viết này tôi xin giới thiệu một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mà việc phân tích tìm kiếm lời giải được hỗ trợ bởi MTBT, có thể cách thực hiện mà tôi trình bày không gọn gàng nhưng với cách này học sinh dễ dàng hơn trong việc xử lí và giải quyết một bài toán. Trong điều kiện đơn vị nơi tôi công tác số lượng và chất lượng học sinh còn rất hạn chế thì việc ứng dụng công nghệ thông tin vào quá trình học tập là rất cần được phát huy. Mặc dù đã cố gắng nghiên cứu tham khảo nhiều tài liệu để vừa viết, vừa giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song với năng lực và thời gian có hạn, rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp, những người yêu thích môn toán để đề tài mang lại hiệu quả thiết thực hơn cho nhà trường, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của bản thân và chất lượng học tập cho học sinh. 3.2. Kiến nghị • Đối với hội đồng khoa học cấp trường: Có giải pháp khuyến khích giáo viên tích cực trong việc tự nghiên cứu bồi dưỡng 15 https://dethigdcd.net/

20. nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ. • Đối với sở giáo dục Đào tạo - Cần tổ chức các buổi hội thảo chuyên môn thiết thực hơn trong việc trao đổi nâng cao hiệu quả dạy học các chuyên đề. - Gửi các chuyên môn chất lượng và các SKKN đạt giải cao và có ứng dụng thực tiễn về các đơn vị để giáo viên có cơ hội trao đổi và học hỏi kinh nghiệm để nâng cao hiệu quả dạy học và giáo dục. Krông Búk, tháng 2 năm 2016 Người thực hiện Nguyễn Hữu Hải 16 https://dethigdcd.net/

21. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thái Sơn, (2014), Hướng dẫn giải toán trên máy tính CASIO fx − 570V NPLUS, Nhà xuất bản đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Phú Khánh và cộng sự, Bí quyết đạt điểm 10 môn toán, (2014), Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội . [3] Nguyễn Hữu Biển, Tìm hiểu các kỹ thuật giải hệ phương trình. 17 https://dethigdcd.net/