NIZAMATDIN
Uploaded by
9 SLIDES
0 VUES
0LIKES

EKUB EKUK

DESCRIPTION

CXXZ CXZWQEWQR321321R32

1 / 9

Télécharger la présentation

EKUB EKUK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Eng katta umumiy bo‘luvchi (EKUB) va eng kichik umumiy karrali (EKUK), xossalari. Evklid algoritmi. Chekli zanjir kasrlar, munosib kasrlar, xossalari. Ta’rif. ? va ?butun sonlarning ikkalasiga ham bo’linadigan son shu sonlarning umumiy bo’luvchisi deyiladi. Ta’rif. ? va ?natural sonlar umumiy bo’luvchilarining eng kattasi shu sonlarning eng kata umumiy bo’luvchisi (EKUB) deyiladi, uni (?,?)ko’rinishda belgilanadi. Ta’rif. Agar (?,?) = 1bo’lsa, u holda ? va ?natural sonlar o’zaro tub sonlar deyiladi. Teorema(qoldiqli bo’lish haqidagi). Har qanday ? ∈ ?, ? ∈ ? uchun shunday yagona ? ∈ ? va yagona manfiymas ? butun son topiladiki, ular uchun ushbu ? = ?? + ?0 ≤ ? < ? munosabatlar o’rinli bo’ladi. Isboti. [x] orqali xR sonining butun qismini,ya’ni xdan katta bo’lmagan eng katta butun sonini belgilaymiz. {x} =x – [x] tenglik bilan xR sonining kasr qismi aniqlanadi. Butun qism va kasr qism ta’riflaridan bevosita     a a a       | b | | b | | b |   tenglik kelib chiqadi. Demak,     a a =bq+r,   a | b | | b |     | b | | b |   bu yerda     a a , r=a–bq = .  q sgn b | b |     | b | | b |   Bundan a=bq+r va 0  r<b. Agar a=bq1+ r1tenglik bajarilsa ( 0  r1<b ), u holda b(q –q1)= r1– r bo’ladi. 0  r, r1<b tengsizliklardan bq –q1= r1–r<b tengsizlik kelib chiqadi, bundan q –q1< 1. q ,q1sonlar butun bo’lgani uchun

  2. q= q1 , r1 = rga ega bo’lamiz. Izoh. Yuqoridagi q son to’liqsiz bo’linma,r son esa a ni b ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiq deb yuritiladi. Natija. asonining biror bo’luvchisiga mos bo’lgan bo’linma yagonadir. a va bsonlarning ikkalasini ham bo’ladigan son shu sonlarning umumiy bo’luvchisi deyiladi. D(a,b)orqali a va bsonlarning umumiy bo’luvchilari to’plamini belgilaymiz. Ravshanki, barcha a va b uchun D(a,b) to’plam yuqoridan chegaralangan. Shuning uchun a va bsonlarining umumiy bo’luvchilari ichida eng kattasi mavjud bo’lib, shu sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi deyiladi va (a,b) orqali belgilanadi. Xossalar. a) ptub son bo’lsa, ixtiyoriy natural mson uchun ( , )  yoki ( , ) 1 p m bo’ladi; p m p    m n bo’ladi; b) bo’lsa , u holda ( ', ') 1 ( , ), m n ', ' d m dm n dn     va ( ', ') 1 m n  bo’lsa , u holda c) bo’ladi; ' d d ( , ), m n ' ', d m ' ' d m n d n p p       d) agar , i    ), u holda va bo’lsa ( bu yerda p– tub sonlar, 2... 2... , ... m 0 p p n p p p p 1 2 k 1 2 k 1 1 1 2 k k k i        min( k p , ) min( 1 p , ) min( 2 p , ) ( , ) m n ... 1 1 2 2 k k tenglik o’rinli. e) a va bsonlarining eng katta umumiy bo’luvchisi shu sonlarning barcha umumiy bo’luvchilariga bo’linadi. Teorema. Agar a soni bsonidan kichik bo’lmasdan, a = bq + r (0  r<b) bo’lsa, u holda (a,b)= (b,r)bo’ladi. Isboti.D(a,b)orqali a va bsonlarning umumiy bo’luvchilari to’plamini belgilaymiz. a = bq + r (0  r<b) va c  D(a,b)bo’lsin. Demak, r= a – bq soni c soniga bo’linadi, ya’ni c  D(b,r). Aksincha, c  D(b,r) bo’lsa, u holda a = bq + r soni c ga bo’linadi, ya’ni c  D(a,b ). Demak, agar a soni bsonidan katta bo’lmasdan, a = bq + r (0  r< b) bo’lsa, u holda D(a,b) , D(b,r) to’plamlar ustma–ust tushadi. Bundan ularning eng katta elementlari o’zaro teng bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni (a,b)= (b,r). Izoh. Barcha a va b nolga teng bo’lmagan sonlar uchun a,b(a>b>0) sonlar uchun qoldiqli bo’lish haqida teoremaga ko’ra: a = bq1 + r1. Agar r1= 0 bo’lsa, u holda (a, b) = b.

  3. Agar r1 0 bo’lsa, u holda b = r1q2 + r2. Agar r2= 0 bo’lsa, u holda jarayonni to’xtatamiz, aks holda (ya’ni r2  0) davom ettiramiz: r1 = r2q3 + r3. b > r1 > r2 > r3 > . . .>0 tengsizliklardan jarayon qoldiq nolga aylanganda tugashi kelib chiqadi. Demak, quyidagi tengliklarga ega bo’lamiz : a= bq1 + r1, b = r1 q2 + r2, r1 = r2 q3 + r3, . . . . . . . . . . . . ., rn–2 = rn–1qn–1+ rn, rn–1 = rnqn. Bunda (a, b) = (b, r1) = (r1, r2) = . . . = (rn–1,rn) = rn. Shunday qilib, (a, b) ni topish uchun qoldiqli bo’lish jarayoni 0 ga teng qoldiq hosil bo’lguncha davom ettiriladi, 0 dan farqli eng kichik qoldiq a, b sonlarining eng katta bo’luvchisi bilan ustma–ust tushadi. Mazkur jarayon Evklid algoritmi deyiladi. Izoh. Agar a soni bsonidan kichik bo’lmasa, u holda (a,b)= (b, a–b) bo’ladi. Ta’rif. a va b sonlarining musbat umumiy karralilari ichida eng kichigi shu sonlarning eng kichik umumiy karralisi deyiladiva u [ a,b] orqali belgilanadi. Xossalar.    a b bo’ladi; a) bo’lsa , u holda ( ', ') 1 [ , ], a b ' ' m m aa bb    ' b) Agar tengliklar bajarilsa, u holda m son , a bsonlarning umumiy bo’luvchisi bo’lib, ' m m  bo’ladi; ' ' ',( ', ') 1 a b m aa bb c) Agar a c va b cbo’lsa, u holda [ , ] a b cbo’ladi; p p       d) agar , i    ), u holda va bo’lsa ( bu yerda p– tub sonlar, 2... 2... , ... m 0 p p n p p p p 1 2 k 1 2 k 1 1 1 2 k k k i

  4.        max( k p , ) max( 1 p , ) max( 2 p , ) [ , ] m n ... 1 1 2 2 k k tenglik o’rinli. Teorema. Barcha m va n butun sonlar uchun [m, n] · (m, n) = mn tenglikni isbotlang. Isboti. [a,b]= [|a|,|b|] bo’lgani uchun faqat natural m va n sonlar holini qarash yetarli. 2... k m p p p  va 1 k n p p p      2... 1 2 k 1 2 k 1    ), u holda , 0 p– tub sonlar, bo’lsin ( bu yerda , ... p p i i 1 2 k               min( k p , ) max( k p , ) min( 1 p , ) min( 2 p , ) max( 1 p , ) max( 2 p , ) va ( , ) m n tengliklar o’rinli. Bundan (m,n) [m,n]  p  kelib chiqadi. ? qilamiz. ? = ??0+ ?1⇒? ? = ?1?1+ ?2⇒? ... [ , ] m n ... 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 k k                min( k p  , ) max( k  , ) ...  min( 1 p ,   , max( 1 p ,   ) , ) min( 2 p ) ... , ) max( 2 p , k k   , ) p p p k k k k 1 1 1 1 2 2 2 2  ) max(      ) max(  ) max(         min( k , ) ... min( 1 , ) min( 2 p , p p mn 1 1 1 1 2 2 2 2 k k 1 1 2 2 k k 1 2 k ?, ? > 0ratsional son berilgan bo’lsin. ? va ? sonlariga Yevklid algoritmini tatbiq ?= ?0+?1 ?1= ?1+?2 ?0 ≤ ?1< ? ?10 ≤ ?2< ?1 ?1= ?2?2+ ?3⇒?1 ?2= ?2+?3 ?20 ≤ ?3< ?2 ……………………………………………………… ??−2= ??−1??−1+ ??⇒??−2 ?? ??−1= ??−1+ ??−1 ??−1= ??????−1 = ?? ?? Bu yerdan ? ?= ?0+?1 ?= ?0+1 1 1 = ?0+ = ⋯ = ?0+ ?1+?2 1 ? ?1 ?1+ ?1 ?2+ ⋯1 ?? Qisqacha, ? ?= [?0,?1,?2,…,??] (1). Ta’rif. Ratsional sonni (1) ko’rinishdagi ifodasi chekli zanjir kasr yoki uzluksiz kasr deyiladi.

  5. Teorema. Har qanday ratsional sonni chekli zanjir kasr ko’rinishida yozish mumkin. Isboti. I. Agar ? ?musbat bo’lsa; 1)? > ? ⇒ ? 2)? < ? ⇒ ? ?= [?0,?1,?2,…,??] ?= [0,?1,?2,…,??] II. ? ?manfiy bo’lsa, uni ? ?= −? +?1 ? ?= −? +?1 ?1ko’rinishda ifodalash mumkin. U holda = [−?,?1,?2,…,??] ?1 III. Agar ? ?= ?butun son bo’lsa, u holda ? ?= ? = [?] Ta’rif. ?0 ?0= ?0 1, ?1= ?1 ?1= ?0+ 1 ?1, ?2= ?2 ?2= ?0+ 1 ? ?= ?? ?? ?0= , … ??= ?1+1 ?2 kasrlar chekli zanjir (1) ning munosib kasrlari deyiladi. Har bir munosib kasr ratsional sondir. 1 ?? berilgan almashtirish orqali hosil qilinadi. ??– munosib kasr ??−1 ni ??−1+ Demak, ?0 1= ?0 ?0; ?1= ?0+ 1 ?1= ?0?1+1 ?1 ?1 ?1 ?0= = =?2(?0?1+ 1) + ?0 ?1?2+ 1 1 ?1?2+ 1=?0?1?2+ ?0+ ?2 ?2 ?2= ?0+ = ?0+ ?1+1 =?1?2+ ?0 ?1?2+ ?0 ?1?2+ 1 ?2 va h.k. ??=??−1??+ ??−2 ??−1??+ ??−2 Demak, ?0= ?0, ?1= ?0?1+ 1, … , ??= ??−1??+ ??−2 ?0= 1, ?1= ?1, … , ??= ??−1??+ ??−2 Misollardan namunalar:

  6. 1-misol. ∀? ∈ ? uchun ?(? + 1)(2? + 1)ning 6 ga bo’linishini isbotlang. Isboti. Natural sonlar qatorida 2 ta ketma-ket kelgan sonlar ?(? + 1) ⋮ 2bo’lganligidan ?(? + 1)(2? + 1) ⋮ 2 va 6=2∙3 bo’lib, (2, 3)=1 ekanligidan ?(? + 1)(2? + 1) ⋮ 3 ekanligini ko’rsatish lozim. Qoldiqli bo’lish haqidagi teoremaga ko’ra har qanday natural sonni n = 3k yoki n = 3k + 1 yoki n = 3k + 2ko’rinishda ifodalash mumkin. Bundan 1)Agar ? = 3?bo’lsa, u holda ?(? + 1)(2? + 1) ⋮ 3 ; 2)Agar ? = 3? + 1ko’rinishda bo’lsa, u holda 2? + 1 = 6? + 3 va ?(? + 1)(2? + 1) ⋮ 3 ; 3)Agar ? = 3? + 2ko’rinishda bo’lsa, u holda ? + 1 = 3? + 3 va ?(? + 1)(2? + 1) ⋮ 3 ; Demak, (? + 1)(2? + 1) ⋮ 6 . 2- misol. Berilgan 123 va 321 sonlarning EKUB va EKUKlarini ikki usulda toping. Yechish. Berilgan natural sonlarning EKUB va EKUKlarini toppish uchun ularni tub ko’paytuvchilaridan yoki Yevklid algoritmidan foydalanish mumkin. 1-usul. Berilgan sonlarni tub ko’paytuvchilarga kanonik yoyilmasini topamiz: 123 = 3 ∙ 41 = 31∙ 411∙ 1070; 321 = 3 ∙ 107 = 31∙ 410∙ 1071; Demak, EKUB va EKUKning ta’rifiga ko’ra (123; 321)=3 va [123; 321]=3∙41∙107=13161. 2-usul. Berilgan sonlar uchun qoldiqli bo’lish teoremasi yordamida Yevklid algoritmini tuzamiz: 321=123∙2+75; 75=321-123∙2; 123=75∙1+48; 48=123-75∙1; 75=48∙1+27; 27=75-48∙1; 48=27∙1+21; 21=48-27∙1; 27=21∙1+6; 6=27-21∙1; 21=6∙3+3; 3=21-6∙3 6=3∙2+0 Demak, 3=21-6∙3=(48-27∙1)-(27-21∙1) ∙3=48-27∙4+21∙3=123-75∙1-(75-48∙1) ∙4+(48- 27∙1) ∙3=123-75∙5+48∙7-27∙3=123-(321-123∙2) ∙5+(123-75∙1) ∙7-(75-48∙1) ∙3=123∙18-

  7. 321∙5-75∙10+48∙3=123∙18-321∙5-(321-123∙2) ∙10+(123-75∙1) ∙3=123∙41-321∙15- 75∙3=123∙41-321∙15-(321-123∙2) ∙3=123∙47-321∙18=123∙47+321∙(-18). Bundan, 3=123∙47+321∙(-18) kelib chiqadi. Yevklid algoritmidagi oxirgi noldan farqli qoldiq EKUB ni beradi. Demak, 321∙123 (321,123)= 13161. (123, 321)=3. Bundan [123,321] = 3-misol. {? ∙ ? = 768 (?,?) = 8 sistemani qanoatlantiruvchi ? va ? sonlarni toping. Yechish. Berilgan ? va ?sonlarning eng katta umumiy bo’luvchisi 8 ekanligidan, bu sonlarni ? = 8? va ? = 8?ko’rinishda yozib olamiz. Bu yerda (?,?) = 1. Bundan ? ∙ ? = 8? ∙ 8? = 64 ∙ ? ∙ ? = 768 ni, bundan esa ? ∙ ? = 12 ni hosil qilamiz. Demak, 12 o’zaro tub ? va ?sonlarning ko’paytmasi ko’rinishida ifodalanadi. Quyidagi holatlar bo’lishi mumkin: ??? ∙ ? 1 12 12 3 4 12 4 3 12 12 1 12 Bundan, ??? ∙ ? 8 96 768 24 32 768 32 24 768 96 8 768 Demak, (?,?): (8; 96), (24; 32), (32; 24), (96; 8) 4-misol. Berilgan 104 munosib kasrlarini toping. 23kasrni chekli zanjir kasr ko’rinishida ifodalang va uning Yechish. 104 sonlari uchun Yevklid algoritmi tuzamiz. 23kasrni chekli zanjir kasr ko’rinishida ifodalash uchun 104 va 53 104 = 23 ∙ 4 + 12; 23 = 12 ∙ 1 + 11;

  8. 12 = 11 ∙ 1 + 1; 11 = 1 ∙ 11 + 0. Yevklid algoritmidagi tengliklarning har ikkala tomonini bo’luvchilarga bo’lamiz: 104 23= 4 +12 23; 23 12= 1 +11 12; 12 1 11; 11= 1 + 11 1= 11. Hosil bo’lgan tengliklarning o’ng tomonidagi kasr sonni uning teskarisi bilan almashtirish natijasida 104 23= 4 +12 1 23 12 1 1 1 23= 4 + = 4 + = 4 + = 4 + 1 +11 1 +1 1 1 + 12 11 1 +1 12 11 chekli zanjirni hosil qilamiz. Uni qisqacha 104 Agar berilgan kasr manfiy bo’lsa, birinchi qoldiqni musbat qilib olamiz. Masalan, −23 23= [4;1,1,11]ko’rinishida ifodalaymiz. 3 13va kasr qismi chekli zanjir ko’rinishida ifodalanadi. −23 13= −2 + 13 13= −2 + 3 13= −2 + 1 1 = −2 + = [−2;4,3] 4 +1 3 3 104 23= [4;1,1,11] ning munosib kasrlarini topish uchun quyidagi Berilgan jadvalni tuzamiz: ? -1 0 1 2 3 ?? - 4 1 1 11 ?? 1 4 5 9 104 ?? 0 1 1 2 23 Demak, ?0 ?0= 4; ?1 ?1= 5; ?2 9 2; ?3 104 23. ?2= ?3= 5-misol. Berilgan √14sonni zanjir kasr ko’rinishida ifodalang: Yechish. 1 √14 = 3 + ?1;

  9. √14−3=√14+3 1 1 ?1= = 1 + ?2; 5 1 √14−2=√14+2 5 1 ?2= −1= = 2 + ?3; √14+3 5 2 1 √14−2=√14+2 2 1 ?3= −2= = 1 + ?1; √14+2 2 5 1 5 1 ?4= −1= √14−3= √14 + 3 = 6 + ?5; √14+2 5 1 1 ?5= √14+3−6= √14−3. ?5= ?1bo’lganligi uchun, yana yuqoridagi jarayon hosil bo’ladi. Demak, √14 = [3;(1,2,1,6)].

More Related