1. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 1 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1 TEORÍA DE TENSORES CARTESIANOS 1.1 Los conceptos fundamentales de la mecánica de medios continuos serán establecidos utilizando la notación indicial, propia del cálculo de tensores cartesianos. Introducción: Las leyes físicas, los conceptos matemáticos y los teoremas serán “re-formulados” utilizando las definiciones y convenciones del cálculo tensorial. 1.2 Definiciones Básicas 1.2.1 Notación Tensorial iR , Un vector en un espacio euclídeo de tres dimensiones puede representarse por donde el subíndice i toma los valores 1, 2 y 3: ( ) 3 2 1 , , R R R Ri= , i R corresponden a los componentes del vector en un sistema cualquiera de y los coordenadas. 1.2.2 Producto Escalar ib viene dado por: ia y El producto escalar de dos vectores r 3 r ∑ = i ⋅ = + + = a b a b a b a b a ib . 1 1 2 2 3 3 i 1 Utilizando la convención de que dossubíndices repetidos indican siempre una suma, para todos los valores de los subíndices, queda: r r . ⋅ = a b a ib i 1.2.3 Un tensor de gran utilidad en el cálculo es el llamado “Delta de Kronecker” y está definido por: Tensor Delta de Kronecker = ⎧ 1 para i j δ = ⎨ . ij ≠ 0 para i j ⎩

2. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 2 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Utilizando este tensor podemos escribir el producto escalar de dos vectores en la forma: r r . ⋅ = = δ a b a b a b i i ij i j 1.2.4 El Tensor de permutación es un tensor de tercer orden definido por: Tensor Permutación ⎧ 1 cuando ijk forman permutació n par ⎪⎨ = − 1 eijk cuando ijk forman permutació n impar . ⎪⎩ 0 si no forman permutació n Utilizando este tensor podemos escribir el producto vectorial de dos vectores en la forma: r r , × = a b e a b ijk j k y el triple producto escalar en la forma: r r r × ⋅ = a b c e a b c . ijk i j k 1.2.5 Es posible definir el “orden de un tensor” como el número de subíndices que aparece asociado a la letra que identifica al tensor: Orden o Rango de un Tensor = = a Tensor de Orden Cero Escalar = = Pr ai Tensor de imer Orden Vector = = aij Tensor de Segundo Orden Matriz = = "Cubo " aijk Tensor de Tercer Orden = = "Hipercubo " aijkl Tensor de Cuarto Orden N En un espacio tridimensional, un tensor de orden N posee 3 componentes.

3. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 3 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Ejemplo: Matriz de 3x3 ⎡ ⎤ a a a 11 12 13 ⎢ ⎥ = aij a a a = ⇒ = N 2 3 9 n componente s ⎢ ⎥ 21 22 23 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ a a a 31 32 33 Ejemplo: Ley Generalizada de Hooke e C ⋅ = σ = ⇒ = N 4 3 81 n componente s ij ijrs rs 1.2.6 Gradiente El gradiente de una función escalar viene dado por: ∂ = ∇ = φ φ φ ∂ φ ∂ φ k ˆ i ˆ j ˆ + + grad . ∂ ∂ ∂ x y z El operador “∇”recibe el nombre “Nabla”, “Delta Invertida” o “Del” y se puede operar con él como un vector. Está definido por: ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ k ˆ i ˆ j ˆ ∇ = + . ∂ x y z En notación tensorial el gradiente se representa por: φ φ = ∂ ∂ = ,φ grad . i ix La “coma” delante del subíndice significa diferenciación con respecto a las ix. coordenadas espaciales 1.2.7 La divergencia de un campo vectorial viene dada por: Divergencia ∂ F ∂ ∂ ∇r ∂ F ∂ F ∂ y = + + x z F . x y z En notación tensorial el gradiente se representa por: ∂ F = = δ i F F . , , i i ij i j ∂ x i

4. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 4 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1.2.8 Si tomamos la divergencia del gradientede una función obtenemos el Laplaciano de dicha función: Laplaciano ∇ ⋅ ∇ = ∇ = 2 f f ii f . , 1.2.9 La rotación de un campo vectorial viene dada por: Rotacional ∂ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ r r F ∂ F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ F ∂ F ∂ F ∂ F ∂ k ˆ i ˆ j ˆ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ y y + − + − = ∇ × = − ⎜⎝ ⎟⎠ rot F F z x z x . y z z x x y En notación tensorial la podemos expresar con ayuda del tensor de permutación como: F e F rot , = ∂ r ∂ = k e F . ijk ijk k j x j − δ e 1.2.10 Identidad “ ” En la manipulación de ciertas expresiones indiciales, es de gran utilidad hacer uso de la siguiente identidad: δ δ δ δ − = . ijke e irs jr ks js kr Esta identidad podría verificarse considerando que, en general se tiene: δ δ δ ip iq ir ⋅ = δ δ δ ijke e pqr jp jq jr . δ δ δ kp kq kr r = k Si : δ δ δ δ δ δ jq jk jp jk jp jq ⋅ = δ ⋅ − δ ⋅ + δ ⋅ ijke e , δ δ δ δ δ δ pqk ip iq ik kq kk kp kk kp kq = δ δ δ − δ δ − δ δ δ − δ δ + δ δ δ − δ δ ( ) ( ) ( ) , ip jq kk kq jk iq jp kk kp jk ik jp kq kp jq = δ δ − δ − δ δ − δ + δ δ δ − δ δ ( ) ( ) ( ) , ip jq jq iq jp jp ik jp kq kp jq = δ δ δ − δ δ δ , ik jp kq ik kp jq = δ δ − δ δ . iq jp ip jq

5. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 5 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1.3 Un punto medular del análisis tensorial es el estudio de la transformación de un sistema de coordenadas a otro. Transformación de Coordenadas ixson las coordenadas de un punto en ixson las coordenadas del mismo punto en otro Si el conjunto de variables independientes un sistema de referencia, y sistema, la transformación de un sistema a otro, esta especificada por las relaciones: i= ( , , ) x f x x x , y 1 2 3 i i= ( , , ) x g x x x . 1 2 3 i Para asegurar que esta transformación es reversible y que existe una correspondencia biunívoca entre las variables de una Región R, es necesario que: Las funciones que relacionan los dos sistemas sean únicas, continuasy que posean primeras derivadas parciales continuas en R. 1 ∂ x = i J El determinante del Jacobiano, , debe ser distinto de cero para 2 ∂ x j todos los puntos de la Región R, es decir: ∂ ∂ ∂ x x x 1 1 1 ∂ ∂ ∂ x x x 1 2 3 ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x = = ≠ 0 J 2 2 2 i ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x 1 2 3 j ∂ ∂ ∂ x x x 3 3 3 ∂ ∂ ∂ x x x 1 2 3 Si J es positivo la transformación es “propia”, es decir, transforma un sistema dextrógiroen otro dextrógiro, y si es negativo, se llama “impropia”y transforma un sistema dextrógiro en levógiro. 1.3.1 El Tensor Métrico Lo primero que nos interesa conocer acerca de un sistema de coordenadas es como se mide la longitud o distancia entre dos puntos. Esta información nos la da el tensor métrico del sistema.

6. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 6 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Sea x = θ = θ ( , , ) x x x una ( θ i x transformación ) , 3 2 θ θ . admisible , y sea su inversa 1 2 3 i i , 1 i 1x , 2x y 3x se asumen coordenadas cartesianas Si las coordenadas rectangulares, la longitud del elemento ds viene dada por: = + + = = δ 2 2 1 2 2 2 3 ds dx dx dx dx dx dx dx . i i ij i j dx pueden expresarse en referencia al sistema iθ por: Las diferenciales i ∂ x θ ∂ = θ i dx d . i j j Si reemplazamos esta ecuación en la anterior, se obtiene: ∂ ∂ 3 x θ x θ ∑ = i = θ θ 2 i i ds d d . k t ∂ ∂ 1 k t Si definimos la función: ∂ ∂ 3 x θ x θ ∑ = i θ θ θ = ( , , ) i i g , 1 2 3 kt ∂ ∂ 1 k t entonces, el cuadrado del elemento de línea en el sistema general de coordenadas iθ se obtiene: = θ θ 2 ds g d d . kt k t El desarrollo de la expresión anterior establece que: = θ d + θ d θ d + θ d θ d 2 2 ( ) ds g g g 11 1 12 1 2 13 1 3 + θ d θ d + θ d + θ d θ d 2 ( ) g g g 21 1 2 22 2 23 2 3 + θ d θ d + θ d θ d + ( θ d 2 ) g g g 31 1 3 22 2 3 33 3 g = g Este tensor es siempre simétrico ya que . kt tk g son llamadas las Componentes del Tensor Métrico Euclidiano en i θ . Las funciones kt el sistema de coordenadas

7. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 7 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases i θ otro sistema general de coordenadas tal que la transformación de coordenadas i θ hacia Sea i θ viene dada por: desde θ i= θ θ θ θ ( , , ) . 1 2 3 i Ahora las diferenciales pueden expresarse como: θ ∂ θ = θ k d d , k t θ ∂ t 2 ds y utilizando la expresión para , el elemento de distancia viene dado por: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = θ θ = θ θ = θ θ 2 k t k t ds g d d g d d g d d , kt k t kt m n kt m n θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ m n m n = θ θ 2 ds g d d . mn m n g las Componentes del Tensor Coherentemente, llamaremos a las funciones mn iθ . Métrico Euclidiano en el sistema de coordenadas Esta última forma diferencial cuádrica es de importancia fundamental ya que define la longitud de cualquier elemento de línea en sistemas de coordenadas generales. iθ son dos conjuntos de coordenadas generales, entonces g y mn g se relacionan por medio de Leyes Específicas de Transformación. i θ y Se concluye que, si los Tensores Métricos Euclidianos mn 1.3.2 Determinación del Tensor Métrico Euclidiano encoordenadas polares planas ) ; ( 2 1 θ θ θ = = r y su correspondiente expresión para la longitud de un elemento de línea. Tensor Métrico en Coordenadas Polares Considerando las siguientes relaciones con un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares (ver figura):

8. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 8 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases = x θ θ = θ θ ( , ) cos x , 1 1 1 2 1 2 = x θ θ = θ θ ( , ) sin x , 2 2 1 2 1 2 θ =θ = + 2 1 2 2 ( , ) x x x x , 1 1 1 2 ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ − θ = θ = 1 ( , ) sin 2 x x , ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 2 2 1 2 + 2 1 2 2 x x se pueden establecer las componentes del tensor métrico como: 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 x x x x x x x x =∑ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = + = + = θ + θ = 2 2 i i cos sin 1 1 1 2 2 1 2 g , 11 2 2 ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ = 1 i 1 1 1 1 1 1 1 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 x x x x x x ∑ = i = = = + = θ − θ θ + θ θ θ = i i 1 1 2 2 (cos )( sin ) (sin )( cos ) 0 g g , 12 21 2 1 2 2 1 2 ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 x x x x x x x x =∑ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ 2 = + = + = θ − θ + θ θ = θ 2 2 1 1 2 2 1 2 i i ( sin ) ( cos ) g , 22 1 2 1 2 1 θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ θ ∂ = 1 i 2 2 2 2 2 2 2 2 y la longitud de un elemento de línea como: = θ d θ d + θ d θ d + θ d θ d + θ d θ d = θ d + θ θ d 2 2 2 ( ) ( ) ds g g g g . 11 1 1 12 1 2 21 1 2 22 2 2 1 1 2 Esta última expresión, no es sino, la familiar expresión de coordenadas polares: = + θ 2 2 2 ( ) ds dr rd . 1.3.3 Análogamente al ejemplo anterior, es posible establecer el Tensor Métrico Euclidiano en coordenadas esféricas y su correspondiente expresión para la longitud de un elemento de línea. Tensor Métrico en Coordenadas Esféricas Para esto, se debe considerar la siguiente transformación directa: θ = + + 2 1 2 2 2 3 x x x , 1

9. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 9 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ − θ = 1 3 cos , ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 2 + + 2 1 2 2 2 3 x x x ⎛ ⎞ x ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ − θ = 1 2 tan , 3 x 1 y su correspondiente transformación inversa: θ θ θ = x sin cos , 1 1 2 3 = θ θ θ sin sin x , 2 1 2 3 = θ cosθ x . 3 1 2 La aplicación de la misma metodología de cálculo utilizada en el caso de las coordenadas polares, permite obtener las componentes del tensor métrico Euclidiano en el caso de las coordenadas esféricas, las que en este caso corresponden a: 11= 1 g , = (θ 2 ) g , 22 1 = θ θ 2 2 ( ) (sin ) g , 33 1 2 = ; 0 ∀ ≠ gij i j ). El cuadrado del con todos los otros componentes nulos ( elemento de línea por lo tanto es: = θ d + θ θ d + θ θ θ d 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (sin ) ( ) ds . 1 1 2 1 2 3 1.4 Ley de Transformación de un Vector 1.4.1 Sistemas de Referencia “sin prima” y “con prima” r dibujado a partir de un punto arbitrario P en el espacio. r puede ser descrito en función del sistema de ejes cartesianos “sin primas”, con origen en O y también en función del sistema de ejes cartesianos “con primas”, con origen en O’. Consideremos un vector A El vector A Ambos conjuntos de ejes pueden ser trasladados sin rotación al origen común en P, sin perdida de generalidad.

10. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 10 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases La proyección de A r iA , y la sobre los ejes “sin prima” da los componentes iA′. proyección sobre los ejes “con prima” da las componentes Se desea entender como se relacionan los componentes “con prima” con los componentes “sin prima” y viceversa. 1.4.2 Introduciendo la noción de cosenos directores entre los dos conjuntos de ejes como: Cosenos Directores 1y′ respecto de los ejes ( , , ) ( , , ) a a a y y y = cosenos directores del eje 11 12 13 1 2 3 2 y′ respecto de los ejes ( , , ) a a a ( , , ) y y y = cosenos directores del eje 21 22 23 1 2 3 3y′ respecto de los ejes ( , , ) y y y ( , , ) a a a = cosenos directores del eje 1 2 3 31 32 33 Resumiendo esto en forma tabular, donde el primer subíndice indica los ejes con prima y el segundo subíndice indica los ejes sin prima: 3y 1y 2 y 1y′ a a a 13 12 11 2 y′ a a a 23 22 21 3y′ a a a 31 32 33 3y′ y el eje 1y . a Ejemplo: es el coseno del ángulo entre el eje 31 1.4.3 Leyes de Transformación para Componentes Cartesianos r 1y′, es igual a la suma de las Recordando que la proyección del vector A sobre el eje iA sobre el mismo eje: proyecciones de los componentes 1 ′ = + + A a A a A a A . 11 1 12 2 13 3 Similarmente: 2 ′ ′ = + + A a A a A a A , 21 1 22 2 23 3 = + + A a A a A a A . 3 31 1 32 2 33 3

11. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 11 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Intercambiando ahora los roles de los ejes con prima por los ejes sin prima, y repitiendo el mismo procedimiento: 1 ′ 2 ′ 3 ′ = + + A a A a A a A , 1 11 12 13 1 ′ 2 ′ 3 ′ = + + A a A a A a A , 2 21 22 23 1 ′ 2 ′ 3 ′ = + + A a A a A a A . 3 31 32 33 Estos dos conjuntos de ecuaciones son las leyes de transformación para los componentes cartesianos de un tensor, y pueden pensarse como la definición de un vector. Ejemplo: r Las componentes de un vector A ) 0 , 1 , 1 ( = . Considere un conjunto de ejes cartesianos “con prima”, obtenido a 30 alrededor del eje iA′ de este vector? en un sistema de ejes cartesianos “sin prima” son iA partir de la rotación en un ángulo de ° 1y . ¿Cuales son los r componentes “con prima” ij a , entre los ejes con prima y sin prima, están dados como Los cosenos directores sigue: ⎛ ⎞ 1 0 0 ⎜ ⎟ = ° ° 0 cos 30 sin 30 ij a ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − ° ° 0 sin 30 cos 30 Por lo tanto, a partir de la ley de transformación: i ′ = A a A , ij j se obtiene: 1 ′ = + + = = 1 A a A a A a A A . 11 1 12 2 13 3 1 2 ′ ′ = + + = ° = cos 30 3 2 A a A a A a A A , 21 1 22 2 23 3 2 = + + = − ° = − sin 30 1 2 A a A a A a A A . 3 31 1 32 2 33 3 2

12. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 12 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1.4.4 Leyes de Transformación en Notación Indicial Consideremos ahora, el expresar estas leyes de transformación de tensores, en notación indicial: ′ 1 = + + ⎛ ⎞ A a A a A a A ⎜ ⎟ 11 1 12 2 13 3 ′ i ′ 2 = + + ⇔ = + + A a A a A a A A a A a A a A ⎜ ⎟ . 1 1 2 2 3 3 21 1 22 2 23 3 i i i ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ ′ 3 = + + A a A a A a A 31 1 32 2 33 3 Así, en su forma mas compacta: i ′ A = a A . ij j De manera similar: s ′ = A a A . r rs 1.4.5 Matriz de Rotación Estas relaciones entre vectores correspondientes a dos sistemas de coordenadas, puede también pensarse como la “rotación” o “transformación” de un sistema a otro. Esta transformación puede ser entendida como una “matriz de rotación” que “aplica” sobre un sistema y lo transforma en otro. Lo anterior se entiende comúnmente, como que el vector originales premultiplicado por la matriz de rotación para obtener el vector “rotado”: ′ 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ t t a a a 11 12 13 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ′ 2 = a a a t t ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ . 21 22 23 2 ′ 3 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ a a a t t 31 32 33 3 1.4.6 Las matrices de rotación poseen las siguientes propiedades de ortogonalidad: Propiedades de la matriz de rotación = δ a ija , (Ortogonalidad de filas) kj ik y = δ a jia . (Ortogonalidad de columnas) jk ik

13. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 13 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Esto significa en palabras, que el producto punto de cada fila (o columna) consigo misma es unitario, ya que obviamente son paralelas, y que el producto punto de una fila (o columna) con otra fila (o columna), es cero, ya que son perpendiculares. Otra propiedad de las matrices de rotación, que se desprende de la manera en que se definen los ángulos de los cosenos directores, es que la inversa de la matriz de rotación es su traspuesta. 1.4.7 Utilizando la ley de transformación de un vector, se puede demostrar la invarianza del producto escalar i u w = como: Invarianza del Producto Escalar iv ′ = = = δ = = ( )( ) ( )( ) w a u a v a a u v u v u v w . ik k il l ik il k l kl k l k k 1.4.8 Invarianza de la Forma Bilineal Dado un tensor ijt y dos vectores 2 jy , se defina la forma bilineal F ix e como: F = 2 t x y . ij i j jy , y es invariante para una transformación de ix e Esta expresión es lineal en coordenadas: ′ ij ′ i ′ ′ = = = = 2 ( )( )( ) 2 F t x y a a t a x a y t x y F j ik jl kl im m jn n mn m n 1.4.9 Tensores Simétricos y Antimétricos t = t ijt es simétrico si . Es decir, los elementos “sobre” la diagonal Un tensor principal son iguales a los elementos “bajo” la diagonal principal. En el caso de tensores de segundo orden, los componentes del tensor se reducen a 6 elementos. ij ji Este tensor cumple con la ley de transformación de coordenadas: ji ′ ij ′ = = = t a a t a a t t . ik jl kl ik jl lk = − t t ijt es antimétrico si Por otra parte, un tensor sólo 3 componentes diferentes, ya que los términos de la diagonal principal deben ser nulos para que se cumpla la condición de antimetría. . Este tipo de tensores tiene ij ji Es posible definir el siguiente vector equivalente al tensor antimétrico:

14. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 14 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases ⎡ ⎤ t 32 1 ⎢ ⎥ = − = t e t 13 t ⎢ ⎥ . i ijk jk 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ t 21 La relación inversa es: − ⎡ ⎤ 0 t t t 3 2 t ⎢ ⎥ = − = − 0 t t e t . ⎢ ⎥ 3 t 1 ij ijk k ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − 0 2 1 1.4.10 Representación gráfica de un Tensor Simétrico jy se consideran dos veces ix e Si en la forma bilineal de un tensor ijt , los vectores ix , y se toma en cuenta la simetría de éste, se obtiene la forma el mismo vector cuadrática: = = + + + + + 2 1 2 2 2 3 2 ( 2 ) F t x y 11 t x t x t x 12 t x x t x x t x x 22 33 1 2 23 2 3 31 3 1 ij i j Esta expresión corresponde a una cuádrica centrada en el origen en un espacio cartesiano tri-ortogonal, donde si se tienen las componentes del tensor y el valor de F, la superficie queda unívocamente definida. Sobre esta superficie es posible definir un vector que siempre es normal a ésta. Este vector se denomina gradiente de F y puede ser expresado en términos del tensor y del vector posición del punto como: F = , t x . i ij j 1.4.11 Direcciones y Valores Principales Estamos interesados en encontrar las direcciones en las cuales la cuádrica quedaría orientada “justo” en las direcciones de los nuevos ejes coordenados. Esto podría lograrse utilizando las propiedades de invarianza de la forma bilineal, de modo que las componentes del tensor original, se transformen de acuerdo a la ley de cambio de sistemas coordenados de un tensor. Las direcciones buscadas podrían determinarse tomando en cuenta que, el vector que une el origen del sistema de coordenadas con un punto de la superficie, debe apuntar en la misma dirección, que el vector normal a la superficie en ese punto.

15. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 15 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Lo anterior significa que el vector posición de un punto sobre la superficie, debe ser colineal con el vector normal a la superficie en ese punto, lo que matemáticamente se expresa como: = = λ = λδ F t x x x . , i ij j i ij j Reordenando la ecuación anterior se obtiene: − λδ = ( ) 0 t x . ij ij i La solución de este sistema de ecuaciones homogéneas corresponde a las 3 direcciones principales buscadas. Los correspondientes valores de λ se denominan los valores principales. Los valores principales se obtienen de la condición para la existencia de soluciones no nulas, lo que nos conduce a establecer la ecuación característica del tensor. 1.4.12 La resolución de la ecuación anterior nos permite definir la ecuación característica de un tensor como: Ecuación Característica − λδ = − λ + λ − λ + 3 2 t I I I , 1 2 3 ij ij , , I I I donde los parámetros continuación. son los invariantes principales del tensor, definidos a 1 2 3 1.4.13 Los invariantes principales de un tensor se definen como: Invariantes Principales = = + + = I t t t t traza 1 11 22 33 ii 1 1 = − = − = − + − + − 2 ( i 2 23 2 13 t 2 12 t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I t t t t t t t t t t 11 t t 11 t t + ) 1 + ) 1 + 2 ( 1 )( 22 33 33 22 ii ii ij ij ii i i i 2 2 = = I t e t t t 3 1 2 3 ij ijk i j k

16. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 16 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1.4.14 Extremos Direcciones Principales Entendidas como Problema de Valores Otra forma para encontrar las direcciones principales de un tensor, consiste en considerar la situación como un problema de valores extremos. En este caso, consideraremos la magnitud de los valores de los elementos de la diagonal principal, como un funcional, al que debe determinársele sus valores extremos. Esto puede realizarse mediante herramientas estándares del cálculo en varias variables, como el Método de los Multiplicadores de Lagrange. En este método se plantea el maximizar o minimizar una función objetivo, sujeta a ciertas restricciones. Esta metodología puede resumirse como sigue: La componente de la diagonal principal del tensor (funcional) para una nueva dirección coordenada esta dada por: kk ′ = t x x t i j ij ix corresponde a los términos de la matriz de rotación del donde el vector unitario nuevo eje k. La norma de este vector unitario (restricción) puede escribirse como: δ = = 1 x x x x . i i ij i j ix para los que kk t′ es máximo o mínimo, sujeto a la condición Los valores de = j i x δ 1 ij x , se puede establecer utilizando los Multiplicadores de Lagrange: λ = − λ δ ) 1 − ( , ) ( F x x x t x x . i i j ij ij i j Resolviendo: ∂ F = − λδ = 0 x t x , j ij ij j ∂ x i ∂ F λ = − 1= ij x x δ 0 , i j ∂ queda: ∂ F = ⇒ − λδ = 0 ( ) 0 t x . ij ij j ∂ x i Por lo tanto, los valores extremos de la diagonal principal ocurren en las direcciones principales.

17. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 17 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 1.5 Análogamente al caso de un vector o tensor de 1er orden, es posible establecer una ley de transformación para tensores de 2do orden. Ley de Transformación de un Tensor de 2do Orden Esta ley puede ser enunciada como: ij ′ t = a a t , ik jl kl donde, de acuerdo a la convención de Einstein, se debe realizar una doble sumatoria sobre los subíndices k y l. La transformación inversa puede ser establecida como: t = a a t . ij ki lj kl 1.6 Considerando las leyes de transformación de un tensor de 1er orden (vector), y de transformación de un tensor de 2do orden (matriz), es posible generalizar estos resultados para establecer la ley de transformación de un tensor de orden cualquiera N. Leyes de Transformación de Tensores cartesianos de orden N En resumen, las leyes de transformación de un tensor de orden n son: ′ = A A (N = 0: Escalar) r ′ ′ = A a A (N = 1: Vector) ri i = A a a A (N = 2: Matriz) rs ri sj ij rst ′ = ... A a a a A (N = N: Tensor de orden N) ... ... ri sj tk ijk 1.7 Notación Indicial e Implementación en Ordenadores Una de las principales fortalezas de la teoría de tensores es su aplicación a la resolución de problemas prácticos de ingeniería. En particular, esta teoría puede ser enfocada a materias como el análisis de estructuras, resistencia de materiales o a cualquier medio continuo que pueda ser modelado mediante elementos finitos. La implementación de esta teoría se puede realizar mediante el análisis matricial con calculadoras portátiles o mediante la programación de subrutinas en lenguajes de programación de ordenadores.

18. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 18 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Algunos lenguajes clásicos de programación, en los cuales se podrían implementar la teoría de tensores y su notación indicial asociada, son: FORTRAN, PASCAL, C++, etc. Algunos softwares más “amigables” donde estas subrutinas se pueden desarrollar con facilidad son: VISUAL BASIC, MATHCAD, MATLAB, etc. En estos lenguajes de programación, debido a la manera en que la compilación del código fuente establece las instrucciones en lenguaje de maquina, es que la notación indicial adquiere gran potencia por ser el lenguaje “natural” de comunicación entre el programador en notación indicial y el modo en como esto se implementa a nivel de hardware.

19. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 19 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 2 TENSOR DE TENSIONES 2.1 Introducción: Ahora consideraremos el estudio más detallado de un caso particular de tensor de segundo orden: el Tensor de Tensiones. Se subentenderá que lo desarrollado para este tensor en particular, será aplicable a cualquier otro tensor de segundo orden. El tensor de tensiones es uno de los más importantes tensores en el análisis de tensiones en un medio continuo, y corresponde al concepto que le dio originalmente el nombre a esta rama de la matemática. La característica principal de este tensor, es que permite definir el “campo de tensiones” en un punto al interior de un sólido. En este capítulo estableceremos primero la definición y las características específicas de este tensor, y luego veremos la forma que adquieren algunas de las propiedades de los tensores de segundo orden, en este caso en particular. 2.2 Consideremos un cuerpo ocupando un volumen V en un tiempo t dentro de una superficie cerrada S . Nos interesa conocer la interacción entre el material interior y el exterior a esta superficie S . A partir de esta consideración, surge la definición del concepto básico de mecánica del continuo: el Principio de Tensiones de Euler- Cauchy. Definición de Tensiones, Hipótesis Euler-Cauchy ∆ Consideremos un elemento diferencial de superficie S normal positiva ∆ , que estará en función del área y orientación de la superficie considerada. , sobre la superficie S , y su i ν hacia fuera de S . La parte de fuera de S ejerce sobre la de iF adentro una fuerza

20. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 20 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Si al tender momento de las fuerzas actuando sobre la superficie ( 0 → ∆ ∆ S Mi ), entonces el límite al que tiende este cuociente se define como: ∆ = → ∆ 0 ∆S → Fi∆ ∆ 0 dFi dS S , el cociente tiende a un límite definido , y si el ∆ desaparece en el límite S F dF ν = i i T Lim S . i ∆ S dS Este límite recibe el nombre de “vector de tensiones” o “tracción”, y posee dimensiones de fuerza por unidad de superficie. El vector de tensiones que representa la acción del material exterior al elemento de superficie sobre el interior, es igual en magnitud pero en dirección contraria, al que representa la acción del interior sobre el exterior. 2.3 Componentes Cartesianas de Tensiones. Fórmula de Cauchy k S ∆ i ν son Consideremos ahora un caso particular, en el que las superficies planas son ix , o lo que es lo mismo, que sus normales normales a los ejes cartesianos paralelas a los ejes dados. 2 3 1 T i T i T En cada superficie tenemos un tensor de tensiones superior representa la superficie sobre la cual actúa. Si descomponemos este vector en sus componentes tendremos: , , , donde el índice i ⎛ ⎞ 1 1 1 ( τ ) = τ τ , , , , T T T ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ 1 2 3 11 12 13 2 2 2 ( τ ) = τ τ , , , , T T T ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ 1 2 3 21 22 23 3 3 3 ( τ ) = τ τ , , , , T T T ⎜⎝ ⎟⎠ 1 2 3 31 32 33

21. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 21 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases El conjunto de las nueve componentes de los tres vectores puede considerarse, como τ ya sabemos, un tensor de segundo orden, , denominado tensor de tensiones. ij a b T , T , Si conocemos los esfuerzos a través de tres planos perpendiculares entre si, c T , podemos escribir el esfuerzo a través de un plano cualquiera cuya normal es en función de estos esfuerzos. i i i ν i Si escogemos los tres planos normales a los tres ejes coordenados, ellos definen las τ y el esfuerzo viene dado por: ν = . Si utilizamos la letra σ para referirnos específicamente al tensor de tensiones, y utilizamos las convenciones de notación indicial, la ecuación anterior puede ser escrita como: σ ν σν= . ν T nueve componentes del tensor a través del plano cuya normal i ij ν j τ i T ji i k ki 2.4 Ecuaciones de Equilibrio dx . El volumen es dx dx dS = Consideremos un paralelepípedo infinitesimal de lados dx dx dx dV = y las áreas de las caras son i dS = dx dx , , etc. 2 1 2 1 2 3 1 2 3 τ τ τ τ dS son Si los componentes del esfuerzo a través de la cara , ∂ y , y a 21 33 22 2 ∂ τ ∂ τ τ + τ + τ + 23 22 dx dx 21 dx través de la cara opuesta son: , , . 22 2 23 2 21 2 ∂ ∂ ∂ x x x 2 2 2

22. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 22 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases La ecuación de equilibrio del paralelepípedo, considerando que actúan fuerzas de if , puede establecerse para una de las componentes como: volumen ∂ τ ∂ ∂ τ τ + + + = 31 11 21 0 f , 1 ∂ ∂ ∂ x x x 1 2 3 y para las tres componentes como: ∂ i j x τ ij + = 0 f . ∂ Por tanto, la ecuación de equilibrio de fuerzas queda: 0 , = + i j ij f τ . Análogamente, puede establecerse la ecuación de equilibrio de momentos considerando el momento de las fuerzas externas en torno al centro de gravedad del cuerpo, lo que queda: δ τ = ⇔ τ = ⇔ τ = τ 0 0 e e . ijk ij ik ijk jk jk kj Esta relación significa que en ausencia de momentos externos resultantes, el tensor de tensiones es simétrico. 2.5 Transformación de Coordenadas Al igual que en secciones anteriores consideremos que las componentes del tensor de tensiones están definidas con respecto a un sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares 3 2 1 , , x x x . r r r Consideremos ahora, un segundo sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares , , x x x ′ ′ ′ con el mismo origen pero orientado en diferente dirección (ver figura). r r r 1 2 3

23. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 23 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Consideremos las componentes del tensor de tensiones en este nuevo sistema de referencia. Como sabemos, la relación entre los ejes de coordenadas de ambos sistemas esta dada por: β = ′ , β son los cosenos directores del eje x x k ki i r ixr kx′ donde los con respecto al eje . ij τ es un tensor, podríamos escribir inmediatamente la ley de Dado que transformación, sin embargo, para enfatizar la importancia de este resultado, vamos a derivar esta ley basándonos en la fórmula de Cauchy derivada con anterioridad. ij Esta fórmula establece que si dS es un elemento de superficie cuyo vector unitario normal ν ˆ tiene componentes i ν , entonces la fuerza por unidad de área actuando ν T con componentes: r sobre la superficie dS es un vector ν = τ ν iT . ji j r kx′ Si la normal ν ˆ se elige paralela a los ejes , entonces: ν = β ν = β ν = β , , , 1 1 2 2 3 3 k k k entonces: k ′ = τ β iT . ji kj k iT′ en la dirección del eje x′ esta dado por el producto de Las componentes del vector m k iT′ y β . De aquí, las componentes pueden escribirse como: mi k ∑ km ′ ′ m ′ τ = . proy de T sobre x i i k k k β ′ ′ ′ = + β + β T T T 1 1 2 2 3 3 m m m = τ β β + τ β β + ... , 11 1 1 12 1 2 m k m k es decir: km ′ τ = τ β β . ji kj mi Como se puede apreciar, las componentes del tensor de tensiones se transforman como un tensor cartesiano de segundo orden. Así, el concepto físico de tensión descrito por ij τ coincide con la definición matemática de un tensor de segundo orden en un espacio Euclidiano.

24. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 24 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 2.6 Estado Plano de Tensiones. Diagrama de Mohr en 2D Consideremos un estado de tensiones en que: τ = τ = τ = 0 . 33 31 32 Este estado se denomina “estado plano de tensiones” en el plano x − x . 1 2 Consideremos la expresión que toman los esfuerzos al girar el sistema de coordenadas un ángulo θ . τ τ τ 1x′ 1x 2x , en el Si , y son los valores de los esfuerzos en el sistema τ′, 22 τ′ y 33 τ′. 33 11 22 2 x′ serán sistema 11 Veamos la forma que toman los esfuerzos al girar los ejes. Las coordenadas de un punto referidas al nuevo sistema vienen dadas por: i ′ ∂ x i ′ = x x , j ∂ x j y en nuestro caso: x ′ = β x , i ij j jx. ix′ referidos a β son los cosenos directores de los ejes donde los ij Para un giro de coordenadas la relación entre las coordenadas es: 1 ′ ′ = θ + θ cos sin x x x , 1 2 = − θ + θ sin cos x x x . 2 1 2 La fórmula de transformación para un tensor de segundo orden es en general: ′ ∂ i ′ x ∂ x ij ′ ′ 1 ′ 2 ′ 3 j τ = τ ( , , ) ( , , ) x x x x x x , 1 2 3 lk ∂ ∂ x x l k y en el caso de una rotación de ejes cartesianos: ij ′ τ = τ β β . lk il jk

25. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 25 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases β en función del ángulo θ obtenemos las Desarrollando y poniendo los valores de siguientes expresiones para las componentes de los esfuerzos: ij 11 ′ τ τ θ τ θ τ 2 θ θ = + + 2 2 cos sin sin cos 11 22 12 22 ′ τ τ θ τ θ τ 2 θ θ = + − 2 2 sin cos sin cos 11 22 12 21 ′ τ τ − τ θ θ τ θ θ = + + − 2 2 ( ) sin cos (cos sin ) 11 22 21 ángulo doble, Considerando sin2 θ = escribirse en función del ángulo θ en la forma: las cos relaciones ) θ , cos2 trigonométricas cos 1 ( 2 + para el θ = θ − 1 2 ) 1 1 ( 2 2 , las ecuaciones anteriores pueden τ + τ τ − τ 11 ′ τ = + θ 2 + τ θ 2 11 22 11 22 cos sin , 21 2 2 τ + τ τ − τ 22 ′ τ = − θ 2 − τ θ 2 cos sin 11 22 11 22 , 21 2 2 τ − τ 21 ′ τ = − θ 2 + τ θ 2 sin cos 11 22 . 21 2 Notar que, sumando las dos primeras expresiones anteriores se obtiene: 11 ′ 22 ′ τ + τ = τ + τ , 11 22 lo que demuestra, una vez más, la invarianza de la traza del tensor ante una transformación de coordenadas.

26. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 26 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Buscamos ahora para qué valor del ángulo θ los esfuerzos normales valores máximos o mínimos. τ′ toman τ′ y 22 11 τ′ con respecto a θ : τ′ y Para ésto derivamos 22 11 11 ′ τ ∂ 21 ′ = − τ − τ θ + τ θ = τ ( ) sin 2 2 cos 2 2 , 11 22 21 θ ∂ 22 ′ τ ∂ 21 ′ = τ − τ θ − τ θ = − τ ( ) sin 2 2 cos 2 2 . 11 22 21 θ ∂ La condición para un máximo o un mínimo es que la derivada sea cero, lo que implica que para este caso los esfuerzos de cizalle deben ser nulos. El ángulo para el que se cumple ésto, lo podemos deducir de la primera expresión anterior igualándola a cero. El valor de θ que corresponde es: τ − 2 ∗ θ = tan 2 21 τ . τ 11 22 Estas relaciones nos dicen que: a) la suma de los esfuerzos normales es invariante bajo la rotación del sistema de coordenadas. ∗ θ para la que b) existe una orientación de los ejes definida por los esfuerzos de cizalle se anulan. Los ejes definidos por esta orientación reciben el nombre de “ejes principales de esfuerzos” y los esfuerzos normales correspondientes son los “esfuerzos principales”. Los valores que toman los esfuerzos en la dirección de los ejes principales son máximos, o mínimos. 2.7 Componentes Normal y Tangencial de la Tensión Consideremos ahora el problema de determinar la tensión en un punto P en una dirección determinada. Para esto, haremos pasar un plano imaginario por el punto, de modo que la normal a este plano (ν ˆ), sea la dirección de interés. Para establecer el vector tensión en el plano elegido, deberemos “proyectar” el tensor que define el estado tensional en el punto, “sobre” el plano. Esto se logra

27. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 27 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases “multiplicando” el tensor de tensiones ν ˆ, obteniéndose el vector tensión σ , por el vector unitario direccional del plano ij σr como: ν σ σ σ ν σ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ν 11 12 13 1 1 ⎪ ⎨ ⎪ ⎬ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬ 1 ν ⎢ ⎥ r σ σ ν σ σ σ ν σ = ⋅ = ⋅ = ˆ ⎢ ⎥ ν ν ν 21 22 23 2 2 i ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ σ σ σ ν σ ν 31 32 33 3 3 Este vector a su vez, puede ser “descompuesto” en sus componentes normal y tangencial al plano ν ˆ, escribiéndose como: r tˆ σ = σ ν + σ ˆ t ν νν ν σ La magnitud de la componente normal σr sobre la dirección perpendicular al plano, como: , puede obtenerse proyectando el vector νν ν =r ( σ ) ( ⋅ ) σ σ ν ⋅ = σ σ ν ν ν ˆ ˆ ˆ ˆ , νν ν ν ν ν 1 2 3 1 2 3 y la magnitud de la componente tangencial puede obtenerse a partir de: r 2 2 2 σ = σ + σ . ν νν ν t 2.8 Esfuerzos Principales En el caso general, el estado tensional en un punto depende de la dirección considerada en el análisis. Esta dirección determina el vector de tensiones actuando sobre este plano. Ahora estamos interesados en encontrar la dirección de un plano, de tal modo, que la proyección tangencial del vector de tensiones sea nula, es decir, no exista esfuerzo de corte. Esta situación se produce exactamente cuando el vector de tensiones es perpendicular al plano buscado. Los planos así determinados se denominan planos principales, y las direcciones que los definen, se denominan direcciones principales. Los valores de las tensiones actuando sobre los planos principales se denominan tensiones o esfuerzos principales. Como ya vimos en secciones anteriores, la expresión matemática que permite encontrar las direcciones de los planos principales buscados, se puede escribir en este caso como:

28. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 28 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases σ − σδ ) ν = ( 0 . ij ij i Las soluciones no triviales de este sistema de ecuaciones homogéneas corresponden a las tres direcciones principales buscadas, y sus correspondientes valores de σ , a los valores principales. σ es real y Se debe recordar de la teoría de matrices que, dado que la matriz simétrica, la solución de este problema de valores propios posee tres valores reales de esfuerzos principales y un conjunto ortonormal de ejes principales. ij A continuación se describen algunos conceptos necesarios para resolver el sistema de de ecuaciones descrito como solución al problema de determinar los esfuerzos principales. 2.8.1 Invariantes del Tensor de Tensiones Existe un número de combinaciones escalares algebraicas de los componentes del tensor de tensiones, que no son alteradas por la rotación de los ejes coordenados. Estas combinaciones se denominan “invariantes de tensiones”. Las invariantes principales del tensor de tensiones corresponden a: = σ = σ + σ + σ = I Traza 1 11 22 33 ii 1 2 2 2 2 = − = − + − + − σ σ ii σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ) ( ) ( ) I + ) 1 + ) 1 + 2 ( 1 )( ( 22 33 23 11 33 13 11 22 12 i i i i 2 = σ σ σ = σ I e 3 1 2 3 ijk i j k ij 2.8.2 Ecuación Característica Considerando los valores de los invariantes principales del tensor, es posible establecer la ecuación característica de éste como: − σ + σ − σ + = 3 2 0 I I I . 1 2 3 Esta ecuación surge de considerar las soluciones no triviales del sistema, dado por la condición del determinante nulo: − ij ij σδ σ = 0 .

29. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 29 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 2.8.3 Valores de las Tensiones Principales La resolución de la ecuación anterior, mediante métodos numéricos, permite establecer los valores propios o principales de este tensor. Las “raíces” o soluciones de esta ecuación, corresponden siempre a 3 valores reales. El ordenamiento de estos valores de mayor a menor, permite identificar las tensiones principales como: σ σ σ ( , , ) . 1 2 3 2.8.4 Determinación de las Direcciones Principales: Cada valor principal del tensor tiene asociado una dirección principal. Estas direcciones principales pueden ser determinadas a partir de considerar las condiciones de ortogonalidad y de magnitud unitaria de los vectores considerados: σ − σ δ ⋅ = ( ) 0 n , ij k ij jk = 1 n in . i 2.9 Tensor Desviatórico Un tensor que merece especial atención debido a sus propiedades singulares, es el tensor desviatórico. Este tensor es muy importante en teoría de plasticidad. En esta sección, realizaremos una breve presentación de él. Siempre es posible descomponer un tensor arbitrario en un término de tensión (ó compresión) uniforme (parte “esférica”) y un término de corte puro (parte “desviatoria”), como sigue: = + Tensor Esférico Desviatóri co 1 σ =3 δ σ + σ d ij ij ij kk El tensor desviatórico es definido por tanto como: 1 σ = σ − δ σ d ij ij ij kk 3 1 δ ijσ se denomina a veces “estado de tensiones hidrostático donde el término kk 3 puro”.

30. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 30 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases También se acostumbra utilizar la siguiente convención para establecer el tensor desviatorio: σ = σ − σ δ d ij ij o ij σ se denomina “tensión media” y puede expresarse como: donde el término o 1 1 1 σ = σ = σ + σ + σ = ( ) I . 11 22 33 1 o kk 3 3 3 El tensor desviatórico posee la importante propiedad de que su primera invariante es siempre nula ( 0 I ), y que sus otras invariantes están relacionadas de la siguiente forma con las invariantes del tensor original: 1= d = − σ 2 o d 3 I I , 2 2 = − σ + σ 3 o d 2 I I I . 3 3 2 o 2.10 Tensor Esférico Considerando la definición de la tensión media, el tensor esférico puede establecerse como el tensor que esta conformado por “tensiones medias” en los elementos de su diagonal principal y por valores nulos en las otras posiciones: σ 0 ⎡ ⎤ 0 0 o ⎢ ⎥ σ = σ 0 esf ij 0 . ⎢ ⎥ o ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ σ 0 o Ejemplo Se considerará el siguiente tensor en coordenadas cartesianas ortogonales para establecer lo que se indica: − 1 . 8 ⎛ ⎞ 5 . 6 0 . 2 5 . 1 ⎜ ⎟ = − 5 . 1 − 5 . 7 0 . 2 0 . 1 ijt ⎜ ⎟ . ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − 0 . 1 Invariantes Principales: = I 5 . 6 = 1 . 8 + + = . 7 54 22 1 . iit 1

31. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 31 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − 2 23 2 13 t 2 12 t ( ) ( ) ( ) I t t t 11 t t 11 t t 2 22 33 33 22 = 5 . 7 ⋅ 0 . 1 − ) 0 . 1 ⋅ 5 . 6 ( + 5 . 7 ⋅ 5 . 1 − ) 5 . 1 ⋅ 5 . 6 ( + 1 . 8 ⋅ 0 . 2 − ) 0 . 2 ⋅ = + + = 1 . 8 ( 59 75 . 46 50 . 48 65 . 154 90 . = = 5 . 7 ⋅ 0 . 1 − ) 0 . 1 ⋅ − 0 . 2 − 0 . 2 − 5 . 7 ⋅ 0 . 1 + ) 5 . 1 ⋅ 0 . 2 ( 5 . 1 + 0 . 1 ⋅ 1 . 8 − ) 5 . 1 ⋅ 1 . 8 ( 5 . 6 ( )( I ijt 3 = − − = 388 . 375 27 000 . 15 225 . 346 . 150 Ecuación Característica: − + ⋅ − ⋅ + = 3 2 0 t I t I t I 1 2 3 − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = 3 2 1 22 1 . 154 . 90 346 . 150 0 t t t Valores Principales: ⇒( ) ( = ) 4331 . 10 7560 . 6 9109 . 4 t t t 1 2 3 Direcciones Principales: − δ ⋅ = ( ) 0 t t n Las direcciones principales se establecen resolviendo el sistema: ij k ij jk kt (ver ejemplo resuelto a continuación). En este para cada uno de los valores propios caso se obtiene, para las direcciones principales expresadas como vectores columnas lo siguiente: − . 1 ⎡ ⎤ . 0 7932 0000 . 1 0037 . 0 ⎢ ⎥ [ ] A = T 0000 . 0 5069 . 0 7495 . ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − − . 0 7466 . 0 3836 0000 . 1 Comprobar, usando la ley de transformación de coordenadas, que al hacer una rotación de manera que los nuevos ejes coincidan con las direcciones principales, el tensor toma su forma canónica: En general, la ley de transformación de coordenadas de un tensor puede escribirse en términos matriciales como: [ ] t [ ] [ ] [ ]T t A ⋅ ′ = ⋅ A . En este caso de estudio, estamos interesados en que los nuevos ejes coincidan con las direcciones principales. Para hacer esto, la matriz [ ] partir de las direcciones principales como los vectores filas de la matriz A debe estar confeccionada a

32. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 32 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases transformación, estando estos previamente normalizados, tal como se señala a continuación: − . 0 − − 1 . 8 − . 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 5364 . 0 6763 . 0 5049 . 0 5 . 6 0 . 2 5 . 1 5364 . 0 8440 . 0 0030 . 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ ] t ′ = − . 0 ⋅ − 5 . 1 − 5 . 7 ⋅ 8440 4278 . 0 3237 . 0 0 . 2 0 . 1 6763 4278 . 0 5997 . 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − − − 0030 . 0 5997 . 0 8002 0 . 1 5049 . 0 3237 . 0 8002 . 0 − . 7 − . 0 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ . 5 5966 . 4 1449 . 0 0204 . 0 5364 . 0 8440 . 0 0030 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ ] t ′ = ⋅ 0557 . 2 1009 . 4 0514 6763 . 0 4278 . 0 5997 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − − − − . 5 2677 . 1 5896 . 5 4063 . 0 5049 . 0 3237 . 0 8002 − . 0 ⎡ ⎤ 10 . 4334 . 0 0001 . 0 0006 ⎢ ⎥ [ ] t ′ = . 0 0001 . 4 9115 0004 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − . 0 0006 . 0 0004 . 6 7558 . A partir de este resultado, salvo errores de redondeo debido a haber trabajado con 4 cifras decimales, se aprecia que se obtiene la forma canónica del tensor, donde en la diagonal principal se encuentran los valores principales o propios, y los elementos fuera de la diagonal son nulos. ▄ NOTA: Algunas calculadoras tienen implementados algoritmos que permiten realizar en forma rápida los cálculos realizados en este ejemplo. Por ejemplo, las calculadoras Hewlett Packard 48GX poseen las siguientes subrutinas: Para hallar las raíces de la ecuación característica puede utilizarse el “solucionador” de raíces de un polinomio: SOLVE POLY COEFFICIENTS[ ] 0 A .... 1 AN A En nuestro caso: [ ] [ . 4 ] − − ⇒ 1 22 1 . 154 9 . 346 . 15 9109 . 6 7560 10 . 4331 Para hallar los valores y vectores propios de una matriz cuadrada: n× n MATH MATR NXT EGV, devuelve en el nivel 2 una matriz de y en el nivel 1 un vector de n elementos de valores propios. Las columnas de la matriz del nivel 2 representan los vectores propios correspondientes a los valores propios del nivel 1. vectores propios

33. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 33 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Ejemplo: Considerando que en un punto dado de un continuo las componentes del tensor de esfuerzo son las que se indican, se puede calcular lo siguiente: ⎛ ⎞ − − 1 4 6 3 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ = − − 6 2 2 . ij ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ − − 3 4 2 3 4 Invariantes Principales: = ii I σ = + + = 1 4 2 3 4 3 1 1 = σ σ ii − σ σ ij = σ σ − σ + σ σ − σ + σ σ − σ 2 23 2 13 2 12 ( ) ( ) ( ) ( ) I 2 22 33 11 33 11 22 ii ij 2 = − + − + ) 6 − = − 3 ( 2 ) 2 3 ( 16 3 16 ) 1 ( 2 6 − 1 3 = σ = − + − − + − = − − − = − 3 ( 4 2 ) 2 6 ( 3 6 4 6 ) 4 2 ( 3 3 ) 2 1 8 6 15 8 8 I 3 ij 4 Ecuación Característica: − σ + ⋅ σ − ⋅ σ + = 3 2 0 I I I − σ + ⋅ σ + ⋅ σ − = ⇔ 3 2 3 6 8 0 1 2 3 Tensiones Principales: ( σ ) ( = ) 2 − σ σ 4 1 − σ + ⋅ σ + ⋅ σ − = ⇒ 3 2 3 6 8 0 1 2 3 Direcciones Principales: σ − σ δ ⋅ = σ 1= ( ) 0 4 Direcciones del esfuerzo principal para : n 1 1 ij ij j − − − − ⋅ n − ⋅ n − ⋅ n ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 15 4 6 3 4 15 4 6 3 4 n n n n 11 11 21 31 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ = 0 6 2 2 6 2 2 n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 21 11 n 21 n 31 n ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − − − − ⋅ − ⋅ − ⋅ 0 3 4 2 13 4 3 4 2 13 4 n 31 11 21 31 ⎡ ⎤ − ⋅ n − ⋅ n − ⋅ n 0 15 4 6 3 4 n n n = 11= 11 21 31 1 Resolviendo el subsistema con tenemos: n ⎢⎣ ⎥⎦ 0 − ⋅ − ⋅ − ⋅ 6 2 2 11 21 31

34. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 34 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − ⋅ n − ⋅ n 0 − ⋅ n − ⋅ n 15 4 15 4 6 3 4 6 3 4 n n n n = ⇔ = 21 31 21 31 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 6 − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ 6 2 2 2 2 21 31 21 31 ⎡− ⎤ ⎡ ⎤ n 2 6 3 ⇒ = − 21 t ∴ = [ 1 2 6 3 3 3 ] in ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 1 n 3 3 31 = − t [ 1 2 6 3 3 6 ] in ⇒ 1 σ = − 2= σ 2 1 Análogamente, para y : 3 = − t [ 1 2 0 3 2 ] in [ 2 2 3 3 6 6 ] y . 2 NOTA: Una forma de comprobar que sus cálculos están correctos, es realizar el producto cruz entre dos cualquiera de estos vectores y verificar que se obtiene el tercero (eventualmente este podría resultar con un cambio de signo). Esfuerzos Máximos de Cizalle: 1 1 3 τ σ σ = − = − ) 2 − = 1 ( 12 1 2 2 2 2 1 1 τ = σ − σ = − − = 2 4 3 13 3 1 2 2 1 1 3 τ = σ − σ = − ) 2 − = 1 ( 23 2 3 2 2 2 Tensor Desviatorio o de Desviación: Descontando del tensor dado, el tensor de esfuerzo esférico, se obtiene el tensor desviatorio como: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − − − − − ⎡ ⎤ 1 4 6 3 4 1 0 0 3 4 6 3 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ ⎥ σ) σ δ σ = − = − − − = − − 6 2 2 0 1 0 6 1 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ij ij ij kk 3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − − − − − 3 4 2 3 4 0 0 1 3 4 2 1 4 .

35. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 35 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 2.11 Elipsoide de Lamé Estudiaremos ahora una forma de representar gráficamente el tensor de tensiones. Esta representación fue desarrollada por Cauchy y Lamé en los inicios del desarrollo de la Teoría de la Elasticidad (1820-1830). Consideraremos que se elige un sistema de coordenadas que coincide con las direcciones de las tensiones principales del tensor de tensiones en un punto. En este caso, el tensor adquiere su forma canónica, es decir, con los valores de las tensiones principales en la diagonal y con elementos nulos fuera de ésta. Las componentes del vector tensión para un plano de dirección cualquiera de normal νr, se pueden escribir como: ν = ν σ = ν i σ iT (sin suma sobre i) k ki i ó, término a término como: ν T ν T ν T = ν 1 σ = ν σ = ν σ , , . 1 1 2 2 2 3 3 3 Considerando además, que νr es un vector unitario: ν ν k = ν + ν + ν = 2 1 2 2 2 3 1 , k las componentes del vector tensión deben satisfacer la relación: 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ν T ν T ν T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + = 1 3 1 2 . ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ σ σ σ 1 2 3 Esta ecuación corresponde al lugar geométrico de un elipsoide con respecto al ν iT , donde los semi-ejes poseen sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares , , σ σ σ . los valores 1 2 3 En este caso, las invariantes del tensor de tensiones adquieren los siguientes significados geométricos:

36. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 36 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases = σ + σ + σ I • es la suma de los 3 principales radios del elipsoide. 1 1 2 3 1 π ( ) = σ σ + σ σ + σ σ = + + I A A A • es proporcional a la suma de las 3 2 1 2 2 3 3 1 1 2 3 áreas de las elipses principales. 3 = σ σ 1 σ 2 = I V • es proporcional al volumen del elipsoide. 3 3 π 4 2.12 Diagrama de Mohr en 3D Consideraremos ahora la representación gráfica del tensor de tensiones en 3 dimensiones. Esta representación es análoga a la desarrollada anteriormente para el caso de 2 dimensiones. Esta manera de representar el estado tensional en un punto, fue desarrollada por Otto Mohr en una serie de trabajos publicados entre 1882 y 1900. El diagrama o círculo de Mohr en 3D, considera la representación esfuerzos que actúan en una sección cualquiera, representados en un espacio de ejes τ σ − (esfuerzo normal vrs. esfuerzo tangencial). de los En este diagrama se considera que la representación de principales existentes permiten definir 3 círculos, mediante el cálculo de los centros y radios de éstos. los 3 esfuerzos un punto, en El análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones no lineales, que resuelven el problema de encontrar los esfuerzos máximos, permite establecer la factibilidad física del estado tensional dado. El lugar geométrico donde estas soluciones son posibles, corresponde a la zona achurada en la figura. Esta zona comprende a los puntos que están directamente sobre los círculos, y a los puntos que están simultáneamente al exterior de los círculos 2 1 σ σ − ó 3 2 σ σ − , y al interior del círculo σ − σ . 1 3 i ν , sobre las cuales ocurren los esfuerzos máximos normales y los Las direcciones máximos tangenciales, pueden determinarse a partir de: σ + σ − σ σ − σ 2 t ( )( ) ν = ν νν + σ νν + 2 i 1 2 i i . σ − σ − σ ( )( ) + + 1 2 i i i i

37. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 37 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 3 ANÁLISIS DE DEFORMACIÓN 3.1 En este capítulo consideraremos la deformación de un cuerpo como el “mapeo” de un cuerpo desde un estado original (Sistema I) a un estado deformado (Sistema II). Introducción: Se utilizaran los Tensores Métricos Euclidianos para definir la longitud del elemento de línea en cada sistema y se utilizará esto para medir deformaciones. La manera de “medir” deformaciones, nos permitirá establecer dos definiciones del tensor de deformación: un tensor en Coordenadas Lagrangianas, denominado Tensor de Deformación de Green, y un tensor en Coordenadas Eulerianas, denominado Tensor de Deformación de Almansi. 3.2 Deformación i a (Sistema I) en el que se describe la Consideremos un sistema de coordenadas posición de un punto P de un cuerpo. En un instante posterior de tiempo, el cuerpo se mueve (deforma) a una nueva configuración, en la cual el punto P se mueve al punto Q de coordenadas ix en el Sistema II. Las ecuaciones de transformación entre ambos sistemas pueden ser escritas como: ) , , ( ˆ 3 2 1 a a a x x i , i= i= ˆ a ( , , ) a x x x . 1 2 3 i Nos interesa conocer la descripción de la deformación del sólido, es decir, su “alargamiento” y su “distorsión”. Para analizar esto, consideraremos tres puntos vecinos formando un triángulo en la configuración original del sólido, puntos P , P′ y, P ′ ′ que se transformaron en los puntos Q, Q′ y Q′ ′ en la configuración deformada.

38. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 38 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases La descripción del cambio de distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo es la clave para el análisis de la deformación. ( , , ) P a a a Consideremos un elemento de línea infinitesimal conectando el punto , ( 2 1 1 a da a P + + ′ 1 2 3 + , ) da a da con el punto vecino . 2 3 3 P ′ en la configuración original puede ds de P El cuadrado de la longitud escribirse como: o ds = 2 a da da o ij i j ij a, evaluado en el punto P , es el tensor métrico Euclidiano para el sistema donde ia. de coordinadas Cuando los puntos P y P′ se deforman a los puntos ) , , ( 3 3 2 2 1 1 dx x dx x dx x Q + + + ′ nuevo elemento Q Q ′ es: ( , , ) Q x x x y 1 2 3 , respectivamente, el cuadrado de la longitud ds del ds = 2 g dx dx , ij i j g es el tensor métrico Euclidiano para el sistema de coordinadas ix. donde ij Utilizando las ecuaciones de transformación, los cuadrados de las longitudes pueden establecerse como: ∂ a ∂ a j = 2 i ds a dx dx , o ij l m ∂ ∂ x x l m ∂ x ∂ x j = 2 i ds g da da . ij l m ∂ ∂ a a l m La diferencia entre los cuadrados de los elementos de longitud puede ser escrita, luego de algunos cambios en los subíndices mudos, ya sea como: ⎛ ⎞ ∂ x ∂ x ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β − = − 2 2 α ds ds g a da da , αβ o ij i j ∂ ∂ a a i j

39. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 39 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases o como: ⎛ ⎞ ∂ a ∂ a ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β − = − 2 2 α ds ds g a dx dx . αβ o ij i j ∂ ∂ x x i j Se pueden definir entonces los Tensores de Deformación de Green y de Almansi como: ⎛ ⎞ ∂ x ∂ 1 x ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β = − α E g a , αβ ij ij ∂ ∂ 2 a a i j ⎛ ⎞ ∂ a ∂ 1 a ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β = − α e g a , αβ ij ij ∂ ∂ 2 x x i j de modo que: − = 2 2 2 ds ds E da da , o ij i j − = 2 2 2 ds ds e dx dx . o ij i j ij e son tensores en los sistemas de coordenadas E y ix , a y Los tensores respectivamente, y satisfacen las ecuaciones de trasformación descritas en cada uno de los sistemas coordenados. ij i 3.3 Si se utiliza el mismo sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas (rectilíneo y ortogonal), para describir tanto el sistema original como la configuración deformada del cuerpo, entonces: Tensores de Deformación en Coordenadas Cartesianas = = δ g a . ij ij ij Además, si se introduce el vector de desplazamiento ur con componentes: = − u x a , i i i entonces: ∂ ∂ x u ∂ ∂ a u = + δ α α = δ − α α , , α i α ∂ ∂ i ∂ ∂ a a x x i i i i

40. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 40 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases y los tensores de deformación se reducen a las formas simples siguientes: ⎡ ⎤ ∂ x ∂ x 1 β δ δ = − α E ⎢ ⎥ , αβ ij ij ∂ ∂ 2 a a ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ u ∂ u 1 ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = δ + δ + δ − δ α ⎢ ⎥ E , αβ α β ij i j ij ∂ ∂ 2 a a ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j ⎡ ⎤ ∂ u ∂ ∂ ∂ u u u 1 j = + + α α i E ⎢ ⎥ , ij ∂ ∂ ∂ ∂ 2 a a a a ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j i j y: ⎡ ⎤ ∂ a ∂ 1 a β = δ − δ α e ⎢ ⎥ , αβ ij ij ∂ ∂ 2 x x ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞ u ∂ 1 u ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ β ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = − − δ δ + δ − + δ α ⎢ ⎥ e , αβ α β ij ij i j ∂ ∂ 2 x x ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j ⎡ ⎤ ∂ u ∂ ∂ ∂ 1 u u u j = + + α α i e ⎢ ⎥ . ij ∂ ∂ ∂ ∂ 2 x x x x ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j i j Si consideramos el siguiente cambio de notación: ( ) x x x → 3 2 1 ( ) u u u → 3 2 1 ( ( ) z x y , ) u v w , los tensores de deformación pueden escribirse como: ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ 1 u v u u v v w w = + + + + ⎜⎝ ⎟⎠ Eab ⎢⎣ ⎥⎦ , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 b a a b a b a b ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 u v u u v v w w ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = + + + + exy ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ . ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 y x x y x y x y Notar que cuando el tensor de deformación Lagrangiano se evalúa, se considera que w v u , , son funciones de c b a , , , que son la posición de los puntos en el cuerpo en la configuración no deformada, mientras que cuando se evalúa el tensor de deformación Euleriano, son funciones de x , la configuración deformada. , y z , que son la posición de los puntos en

41. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 41 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Si se considera que las componentes del desplazamiento primeras derivadas son pequeñas y que los cuadrados y los productos de las derivadas parciales son despreciables, el Tensor de Green se reduce al Tensor de Deformación Infinitesimal de Cauchy: i u son tales que, sus ⎡ ⎤ ∂ u ∂ 1 u j = + e i ⎢ ⎥ . ij ∂ ∂ 2 x x ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ i j En notación sin subíndices: ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ 1 u v u ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ =2 + = = e e exx , , xy yx ∂ ∂ ∂ y x x ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ 1 v u w =2 + = = ⎜⎝ ⎟⎠ eyy e e , , xz zx ∂ ∂ ∂ y z x ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ 1 u w w ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ =2 + = = e e ezz , . yz xy ∂ ∂ ∂ z y z NOTA: En el caso de desplazamientos infinitesimales, la distinción entre tensores de deformación Lagrangianos y Eulerianos, desaparece. 3.4 Interpretación Infinitesimales z y x , , Consideremos un elemento de línea de longitud dx paralelo al ) 0 ( = = dz dy . Geométrica de los Componentes de Deformación coordenadas rectangulares Cartesianas. eje− Sea un conjunto de x El cambio en el cuadrado de la longitud de este elemento debido a la deformación es: − 2 o= 2 2 2 ( ) ds ds e dx , xx de aquí: 2) 2 ( e dx − = xx ds ds , o + ds ds o ds difiere de ds solo en una pequeña cantidad de ds = dx pero segundo orden, entonces: en este caso, y o

42. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 42 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases − ds ds = o e . xx ds e Se representa una extensión o cambio de longitud por unidad de longitud del vector paralelo al (casos 1). aprecia que xx eje− x e El significado de cambio de ánguloxOy, el que originalmente estaba en ángulo recto (casos 2, 3 y 4): puede entenderse como el xy ⎛ ⎞ ∂ ∂ 1 1 u v ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = + = ( ) exy cambio en ángulo xOy . ∂ ∂ 2 2 y x En usos de ingeniería, el doble de las componentes de deformación, es decir, 2 deformaciones por corte. especialmente sugestivo en el caso 3, de corte puro. ≠ ( ) eij i j Este se denominan título es ⎛ ⎞ ∂ ∂ 1 v u ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ = + wz La cantidad: , se denomina la ∂ ∂ 2 x y dx dy rotación infinitesimal del elemento terminología se sugiere en el caso 4. . Esta ∂ ∂ v u = 0 e w es en realidad = − Si entonces , y xy z ∂ ∂ x y el ángulo al cual el elemento es rotado como un cuerpo rígido.

43. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 43 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 3.5 Tensor de Rotación: Teorema de Helmholz ( , , ) ui x x x Considerando un campo de desplazamiento infinitesimal definir el tensor de rotación como: , se puede 1 2 3 ⎛ ⎞ ∂ u ∂ 1 u ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ j = − w i . ij ∂ ∂ 2 x x i j = − w w Dado que este tensor es antimétrico ( forma equivalente como: ), siempre es posible escribirlo en ij ji ⎛ ⎞ 1 1 r r = = ⎜⎝ ⎟⎠ w rot u w e w , , k kij ij 2 2 o bien: ⎧ ⎫ w 23 ⎪⎨ ⎪⎬ = wk w 31 . ⎪⎩ ⎪⎭ w 12 w es antimétrico, posee una inversa única: Dado que ij − ⎡ ⎤ 0 w w w 3 2 ⎢ ⎥ = = − 0 w w e w w ⎢ ⎥ 3 1 ij ijk k . ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ − 0 w 2 1 Para entender el significado físico de estas cantidades, realizaremos el ejercicio siguiente. ( ) P ix Consideremos un punto al interior de un cuerpo en equilibrio, en el cual el ) ( i i dx x Q + ) ( j x , el cambio de la función corrimiento se puede P iu . En un punto u = u du ∂ cercano a P , el corrimiento será corrimiento es u u = + Q i P i u du . Como i i i ∂ = dx i expresar como , con lo cual se tiene: i j x j

44. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 44 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases = + Q i P i u u w dx ij j ( ) ( ) 1 1 = + + − + P i u u u dx u u dx , , , , i j j i j j i i j j 2 2 = + − P i u e dx w dx ij j ij j = − + P i u e w dx e dx ijk k j ij j = + + traslación giro deformació n Teorema de Helmholz: “Para pequeñas deformaciones y rotaciones, el campo de corrimientos en el entorno del punto P , se puede descomponer en una P iu , una rotación ij w y una deformación propiamente tal ije ”. traslación 3.6 Componentes de Compatibilidad de Deformaciones Si conocemos las 6 componentes del tensor de deformación, que son función de las derivadas de las 3 componentes de corrimientos, tenemos un sistema de 6 ecuaciones para resolver 3 funciones desconocidas. Este sistema de ecuaciones, en el caso general, no posee solución única si es que las deformaciones no satisfacen ciertas condiciones. Las condiciones que deben poseer las deformaciones, para poder resolver este sistema de ecuaciones, se denominan relaciones de compatibilidad. Estas relaciones de compatibilidad reflejan la integridad física del sólido, es decir, que el cuerpo no se “rompa”. Para ilustrar este concepto, consideremos el análisis de la figura.

45. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 45 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases En esta figura, se observa un triángulo continuo en un cuerpo no deformado. Si deformamos el cuerpo a través de un campo de deformación, partiendo desde el punto A, podríamos finalizar en el punto C y en el D, ya sea con un “gap” entre estos puntos, o con un “traslape” del material (posiciones deformadas en la figura). Para que el sistema de ecuaciones planteado, posea una solución única, los puntos finales C y D deben coincidir perfectamente en la configuración deformada del cuerpo. Lo anterior no puede ser garantizado a menos que el campo de deformaciones, a lo largo de las aristas de los triángulos, obedezcan las condiciones de compatibilidad. Para resolver este sistema de ecuaciones (ecuaciones diferenciales no lineales), debemos considerar primero el caso de deformación lineal infinitesimal: ⎡ ⎤ ∂ u ∂ 1 u 1 j = + = + e i ⎢ ⎥ ( ) e u u , ó . ij ∂ ∂ , , ij i j i j 2 x x 2 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ j i Diferenciando la expresión anterior, e intercambiando subíndices, se puede obtener: 1 , , , ikl j jkl i kl ij u u e + = , ( ) 2 1 = + ( ) e u u , , , , kl ij k lij l kij 2 1 = + ( ) e u u , , , , jl ik j lik l jik 2 1 = + ( ) e u u . , , , ik jl i kjl k ijl 2 El análisis de las expresiones anteriores, nos permite establecer la ecuación de compatibilidad de Saint Venant (establecida por él, en 1860) como: + − − = 0 e e e e . , , , , ij kl kl ij ik jl jl ik En esta ecuación, los 4 subíndices representan 81 ecuaciones, pero de éstas, solo hay 6 independientes, las demás ecuaciones corresponden a identidades, o toman en cuenta la simetría de los tensores ije y kl e .

46. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 46 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Las 6 ecuaciones, escritas en notación sin subíndices, son: ∂ ⎛ ⎞ e ∂ ∂ ∂ ∂ 2 e e e ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ yz = − + + xx zx xz , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z x x y z ∂ ∂ ∂ 2 ⎛ ⎞ e e e ∂ ∂ e ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ yy xy yz = − + + zx , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z x y y z x ∂ ∂ ⎛ ⎞ e e ∂ ∂ ∂ 2 e e ⎜⎜ ⎝ ⎟⎟ ⎠ xy yz = − + + zz zx , ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y z z x y ∂ ∂ 2 2 e ∂ e ∂ 2 e xy yy = + 2 xx , ∂ ∂ ∂ 2 2 x y y x ∂ ∂ 2 2 e ∂ e ∂ 2 e yz yy = + 2 zz , ∂ ∂ ∂ 2 2 y z z y ∂ ∂ ∂ 2 2 2 e ∂ e e + = 2 zx xx zz . ∂ ∂ ∂ 2 2 z x x z

47. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 47 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases 3.7 Componentes de Deformaciones Finitas Cuando los componentes de deformación no son pequeños, ya no es posible dar interpretaciones geométricas simples de los componentes del tensor de deformaciones. 3.7.1 Deformación Extensional Consideremos un conjunto de coordenadas Cartesianas ortogonales, tal como lo hicimos al inicio de este capítulo. Sea da = 1 línea antes de la deformación. La deformación extensional de este elemento esta definida por: ds ds E = 1 , o E ds 1 ( + = 3= 2= 0 ds da 0 da , , un elemento de o − o ) ds . 1 o ds o Considerando la definición del tensor de deformación de Almansi, se puede establecer que: − = + − = = 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 ds ds E ds ds E da da E ds ds , 1 11 1 1 11 o o o o o lo que se transforma en: = + − + − = 2 1 2 1 E E 1 ( ) 1 2 E E , o . 1 11 1 11 2E es pequeño comparado Si se consideran pequeñas deformaciones, el término con 1, y podemos hacer un desarrollo de Taylor de la función raíz, conservando sólo el primer término de la expansión, obteniendo: E = . 11 E 1 11 Si generalizamos este resultado considerando direcciones paralelas a los otros ejes coordenados, podemos decir que, para pequeñas deformaciones, las componentes del tensor de deformaciones representan las deformaciones extensionales en las direcciones de coordenadas. 3.7.2 Deformación Angular Consideremos ahora el caso de determinar la deformación angular en un punto de un cuerpo, cuyas direcciones originales se encontraban perpendiculares entre si. os dr os dv Para esto, consideraremos dos elementos de línea ángulo recto en el estado original, dados por: os dv : da = 1 os dr : da y que se encontraban en 3= 2= 0 ds da 0 da , , o da = 2 3= 1= 0 0 os d da , ,

48. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 48 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases Después de la deformación, estos elementos de línea se transforman en s dv y s dr se realiza el producto escalar de los elementos deformados, se obtiene: . Si ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x θ = = = cos ds s d dx d x da d a ds s d k k k k . k x i j o o ∂ ∂ ∂ ∂ a a a a 1 2 i j Considerando la expresión de la definición del tensor de deformación de Almansi, se obtiene: θ = cos 2 ds s d E ds os d , 12 o lo que, en conjunto con la forma que adquieren los elementos de línea en este caso: = 1+ = 1+ 2 2 ds E ds s d E os d 22 , , 11 o finalmente resulta: 2 E θ = cos 12 . + + 1 2 1 2 E E 11 22 Este ángulo θ corresponde al ángulo entre los elementos de línea s dv y s dr de la deformación. El cambio del ángulo entre los elementos de línea, los que en el estado original eran y ortogonales, corresponde a después os dr os dv α = π − θ 2 : 12 2 E α = sin 12 . 12 + + 1 2 1 2 E E 11 22 La expresión anterior, en el caso de deformaciones infinitesimales, puede reducirse a: α = 2E . 12 12 NOTA: Todas la derivaciones anteriores, de las fórmulas de deformación extensional y angular, se desarrollaron considerando el tensor de deformación de Almansi (interpretación Lagrangeana). Una interpretación completamente análoga, puede derivarse para el caso del tensor de deformación de Green (interpretación Euleriana): La extensión 1e por unidad de longitud “deformada” puede definirse como: − = 1 , ds ds e o ds

49. Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 49 CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II Apuntes de Clases encontrándose que: = − − 1 1 2 e e . 1 11 Aún más, si la desviación a partir de un ángulo recto de dos elementos de línea en el estado original, los cuales después de la deformación son ortogonales, se denota por β , se tiene: 12 2 e β = sin 12 . 12 − − 1 2 1 2 e e 11 22 Esto nuevamente se puede reducir, en el caso de deformaciones infinitesimales, a los resultados conocidos de: e = y 12 12 2e = β . e 1 11 3.7.3 Deformación Volumétrica o Dilatación Consideremos un elemento infinitesimal de volumen como un paralelepípedo rectangular con sus lados paralelos a las direcciones principales de deformación. , , dx dx dx Sean la longitud de sus lados antes de la deformación 1 ( , ) 1 ( dx e + + , y después de la 1 2 3 + ) 1 ( , ) e dx e dx deformación , el cambio de volumen será entonces: 1 1 2 2 3 3 = + + + [( 1 )( 1 )( 1 )] dV e e e dx dx dx , 1 2 3 1 2 3 y el cambio unitario de volumen: dV =θ = + + + + + + = + + e e e e e e e e e e e e I I I . 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 dx dx dx 1 2 3 , , dx dx dx Considerando que las deformaciones son pequeñas, cuando cero se obtiene: tienden a 1 2 3 θ = + + = = = e e e u div u I . 1 2 3 , 1 i i k 1I es invariante, para un sistema que no esté en las direcciones principales se Como tiene: θ = + + = e e e traza ije . 11 22 33