1 / 33

Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học Lớp 7

Trong khi tu00ecm cu00e1ch giu1ea3i bu00e0i tou00e1n chu1ee9ng minh hu00ecnh hu1ecdc, cu00f3 lu00fac viu1ec7c vu1ebd thu00eam cu00e1c yu1ebfu tu1ed1 phu1ee5 su1ebd giu00fap cho viu1ec7c giu1ea3i bu00e0i tou00e1n tru1edf nu00ean du1ec5 du00e0ng, thuu1eadn lu1ee3i hu01a1n, thu1eadm chu00ed cu00f3 nhu1eefng bu00e0i tou00e1n phu1ea3i vu1ebd thu00eam yu1ebfu tu1ed1 phu1ee5 mu1edbi tu00ecm u0111u01b0u1ee3c lu1eddi giu1ea3i. Cu00e1c yu1ebfu tu1ed1 phu1ee5<br>cu00f3 thu1ec3 lu00e0 mu1ed9t u0111iu1ec3m, lu00e0 u0111ou1ea1n thu1eb3ng nu1ed1i hai u0111iu1ec3m cho tru01b0u1edbc, hou1eb7c lu00e0 mu1ed9t u0111ou1ea1n thu1eb3ng mu1edbi thou1ea3 mu00e3n u0111iu1ec1u kiu1ec7n nu00e0o u0111u00f3, hou1eb7c mu1ed9t tam giu00e1c, mu1ed9t u0111u01b0u1eddng thu1eb3ng,u2026

TerenceMcClure
Télécharger la présentation

Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học Lớp 7

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO GIAO THỦY TRƯỜNG THCS GIAO THỊNH BÁO CÁO SÁNG KIẾN RÈN LUYỆN KỸNĂNG VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Huế Trình độchuyên môn: Thạc sĩ-LL&PPDH bộ môn Toán Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Giao Thịnh Giao Thịnh, ngày 2 tháng 4 năm 2019 https://thuviengiaoan.org/

  2. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1.Tên sáng kiến: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC LỚP 7 2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Dạy học môn Toán 7 3.Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ tháng9 năm 2018 đến tháng 5 năm 2019. 4.Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Thị Hồng Huế Năm sinh: 1988 Nơi thường trú: Giao Thịnh–Giao Thủy –Nam Định Trình độchuyên môn: Thạc sĩ –LL & PPDH bộ môn Toán Chức vụ công tác: Giáo viên Nơi làm việc: Trường THCS Giao Thịnh –Giao Thủy – Nam Định Điện thoại: 0392263655 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100%. 5.Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị:Trường THCS Giao Thịnh Địa chỉ: Xã Giao Thịnh –Huyện Giao Thủy –Tỉnh Nam Định Điện thoại: 03503893146. https://thuviengiaoan.org/

  3. BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN: Xuất phát từ mục tiêu và nhiệm vụ giáo dục xã hội chủ nghĩa trongnhững năm gần đây là nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và mang lại cho học sinh vốn hiểubiết cơ bản hiện đại và thiết thực nhất, nhằm đào tạo học sinh thành những người có tri thức, có trình độ khoa học kỹ thuật, có chuyên môn vàtay nghề vững chắc. Trong đó môn Toán là môn giúp học sinh phát triểnnăng lực và phẩm chất trí tuệ, có khả năng đóng góp vào việc giáo dụccho học sinh tư tưởng đạo đức. Các kiến thức và phương pháp toán học làcông cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt các môn học khác, giúp conngười hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất. Trong thư Thủ tướng Phạm Văn Đồng gửi các bạn trẻ yêu toán có viết: “…Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ vị trí nổi bật. Nó có tácdụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kỹ thuật, đối với sảnxuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiềutrong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng tarèn trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quýbáu khác như : Cần cù, nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thíchchính xác, ham chuộng chân lý…” Trong thực tế, việc giải bài toán chiếm phần lớn thời gian của quá trình dạy học môn Toán. Mặt khác mỗi bài toán có thể xem như là một định lý, có nhữngbài toán là một tiền đề của kiến thức khác. Do đó quá trình giải toán nóichung hay chứng minh hình học nói riêng thì kiến thức toán học củangười giải được củng cố, đào sâu, mở rộng và trở nên “sống động”. Việc phát hiện ra hướng chứng minh một bài toán hình học, tìm phương pháp mới độc đáo để giải một bài toán gây nên sự hào hứng, phấnchấn và sảng khoái… Điều đó có ý nghĩa to lớn trong việc vun đắp lòng saymê học toán và ước mơ vươn tới vinh quang trong lĩnh vực nghiên cứu khám phá, phát minh vấn đề mới. Việc làm quen và tiếp cận với bài toán chứng minh đối với học sinh lớp 7 còn mới mẻ nên đại đa số học sinh chưa biết chứng minh như thế nào và bắt đầu từ đâu.Nếu vấn đề này không được khắc phục ngay từ lớp 7 thìhọc sinh sẽ không thể tiếp thu được kiến thức hình học ở các lớp trên. Do vậy vai trò của giáo viên giảng dạy lúc này rất quan trọng. Giáo viên là người hướng dẫn, phân tích giúp học sinh tìm ra cách chứng minh bài toán hình học, từ đó hình thành kĩ năng phân tích, tổng hợp kiến thức và kĩ năng trình bày lời giải,...hình thành phương pháp học toán cho học sinh.Trong khi tìm cách giải bài toán chứng minh hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ sẽ giúp cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, thậm chí có những bài toán phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm được lời giải. Các yếu https://thuviengiaoan.org/

  4. tố phụ có thể là một điểm, là đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, hoặc là một đoạn thẳng mới thoả mãn điều kiện nào đó, hoặc một tam giác, một đường thẳng,…Việc vẽ thêm các yếu tố phụ sẽ giúp tạo ra các mối quan hệ mới: song song, vuông góc, bằng nhau,…hỗ trợ cho việc tìm hướng chứng minh bài toán. Tuy nhiên việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản. Vì các lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hìnhhọc lớp 7 ". II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1. MÔ TẢ GIẢI PHÁP TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN: Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy: -Đa số học sinh thường lúng túng ,không biết phải chứng minh một bài hình học như thế nào, bắt đầu từ đâu. Khâu quan trọng là khâu vẽ hình rồi chắt lọc lý thuyết và vận dụng vào thực tế để chứng minh. -Học sinh yếu toán, đặc biệt là chứng minh hình học. Nguyên nhân chủ yếu là do lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. -Không ít học sinh thật sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên kết quả học tập chưa cao. -Học không đi đôi với hành làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới. Do đó năng lực các nhân không được phát huy hết. -Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan trọng là nâng cao được tư duy cho các em học sinh, giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán. -Qua nhiều năm thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng học sinh có lỗ hổng ngay từ khi tiếp cận với bài tập chứng minh hình học ở lớp 7, sau đó ảnh hướng đến lớp 8, lớp 9. Việc vận dụng yếu tố trung gian của học sinh còn lúng túng, chưa nhận biết và biết khi nào thì cần vận dụng vào chứng minh bài toán hình. -Khi học sinh thắc mắc: làm thế nào để vẽ được đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn cách vẽ nào khác không?, hay tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải những tình huống như vậy giáo viên cũng gặp nhiều khó khăn để giải thích cho học sinh hiểu. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất là ta nên trang bị cho các em những cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm đường phụ, cách nhận biết một bài toán hình học phải vẽ thêm đường phụ. 2. MÔ TẢ GIẢI PHÁP SAU KHI CÓ SÁNG KIẾN https://thuviengiaoan.org/

  5. Trong khi tìm cách giải bài toán chứng minh hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ sẽ giúp cho việc giải bài toán trở nên dễ dàng, thuận lợi hơn, thậm chí có những bài toán phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm được lời giải. Các yếu tố phụ có thể là một điểm, là đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, hoặc là một đoạn thẳng mới thoả mãn điều kiện nào đó, hoặc một tam giác, một đường thẳng,… Việc vẽ thêm các yếu tố phụ sẽ giúp tạo ra các mối quan hệ mới: song song, vuông góc, bằng nhau,…hỗ trợ cho việc tìm hướng chứng minh bài toán. Tuy nhiên việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản (dựng đường thẳng song song, vuông góc, dựng tia phân giác của một góc, dựng đường trung trực của đoạn thẳng,…) Để giúp HS làm tốt được việc này, GV cần hướng dẫn HS nắm bắt được cách vẽ thêm yếu tố phụ của một số dạng bài toán chứng minh cơ bản thường gặp, trên cơ sở đó HS có thể sáng tạo cách thực hiện trong những bài toán khác. Sau đây là cách vẽ thêm yếu tố phụ của các dạng bài toán chứng minh thường gặp. 1)Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) bằng nhau Cách 1: Tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) ấy. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh rằng ??? Phân tích: ̂ = ??? ̂. Ta thấy rằng phải tạo ra hai tam giác bằng nhau mà có hai góc tương ứng là ??? ̂ = ??? ̂. Chọn điểm phụ là trung điểm M của đoạn thẳng BC. Chứng minh được ∆ ABM = ∆ACM (c.c.c), từ đó cho ta lời giải bài toán. A GT AB = AC ??? ̂ = ??? ̂ KL C B M Lời giải Gọi M là trung điểm đoạn thẳng BC. Nối A và M. https://thuviengiaoan.org/

  6. Xét ∆ MAB và ∆MAC có: AB = AC (theo giả thiết), MA = MB (vì M là trung điểm của BC), AM là cạnh chung. Suy ra ∆ MAB = ∆ MAC (c.c.c) ⇒??? ̂ = ??? ̂(theo định nghĩa hai tam giác bằng nhau) ̂ = ??? ̂. Hay ??? Ví dụ 2:Trên hình dưới đây, cho biết AB ̸ ̸CD, AB = CD. Chứng minh rằng: AD = BC và AD ̸ ̸ BC. A B D C Phân tích: Ta cần tìm ra cặp tam giác bằng nhau có hai cạnh tương ứng là AD và BC. Đường phụ là AC hoặc BD giúp ta tìm ra lời giải bài toán. A B GT AB ̸ ̸ CD, AB = CD KL AD = BC, AD ̸ ̸ BC D C Lời giải Nối B với D. ̂ = ??? ̂ (??? ̂ và ??? ̂ so Xét ∆ ??? và ∆ ???có AB = DC (giả thiết); ??? le trong bằng nhau vì AB ̸ ̸DC), BD là cạnh chung. Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ̂ = ??? ̂. Suy ra AD = BC và ??? ̂ và ??? ̂so le trong bằng nhau. Ta có ??? Suy ra AD ̸ ̸ BC. https://thuviengiaoan.org/

  7. Cách 2: Tạo ra đoạn thẳng (hay góc) thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng (hay góc) ấy. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC (AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt AB tại D và cắt AC tại E. Chứng minh rằng BD = CE. Phân tích: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba, rồi chứng minh chúng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC, cắt DE ở F. BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó. ∆ ??? có MB = MC, AH là tia phân giác góc ??? ̂, DE ⊥ AH A GT E KL BD = CE M B C H F D Lời giải Vẽ đường thẳng qua B và song song với CE, cắt DE tại F. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ̂ (vì BF ̸ ̸ CE so le trong), ??? ̂ = ??? ̂(đối đỉnh) ̂ = ??? BM = MC (giả thiết); ??? Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ BF = CE (1) Mặt khác ∆ ???có AH là đường cao (vì AH ⊥ DE) và là tia phân giác của góc DAE (giả thiết). ̂ ̂ = ??? Do đó ∆ ???cân đỉnh A ⇒ ??? ̂ ̂ = ??? Mà BF ̸ ̸ CE ⇒ ??? ̂ = ??? ̂⇒ ∆ ???cân đỉnh B. Do đó ??? ⇒ BF = BD (2) https://thuviengiaoan.org/

  8. Từ (1) và (2) suy ra BD = CE. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ? ̂ = 600. Hai tia phân giác AD và CE của các góc ??? ̂và ??? ̂ (D ∈ BC, E ∈AB) cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE. A ∆ ??? ( ?̂ = 600); AD, CE lần lượt là tia phân giác của các góc ??? ̂, ??? F GT E ̂ I KL ID = IE B C D Phân tích: Ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng ID và IE. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE, ta được IF. Dễ thấy rằng ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c), suy ra : IE = IF và chỉ còn chứng minh ID = IF là được. ∆ ??? = ∆ ???(g.c.g) sẽ giúp ta điều này. Lời giải ̂= 600 ∆ ??? có ??? ⇒ ??? ̂+ ??? ̂= 1800 - ??? ̂ = 1200. ̂= 1 2??? ̂⇒??? ̂ AI là tia phân giác ??? ̂= 1 2??? ̂⇒??? ̂ CI là tia phân giác ??? ̂= 1 2(??? ̂+ ??? ̂+ ??? ̂) = 600. Suy ra ??? ̂= 1800 - (??? ̂+ ??? ̂) = 1200 ∆ ??? có ??? ̂= ??? ̂= 1800 - 1200 = 600 Do đó ??? Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE. ̂= ??? ̂ (AI là tia phân giác ??? ̂) Xét ∆ ??? và ∆ ??? có AE = AF; ??? AI (chung). https://thuviengiaoan.org/

  9. Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ⇒ IE = IF; ??? ̂= ??? ̂ = 600 ̂= ??? ̂ - ??? ̂ = 1200 - 600 = 600 Ta có ??? Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ??? ̂ = ??? ̂(=600); IC (chung); ??? ̂ = ??? ̂ Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ ID = IF. Ta có IE = ID (=IF). Ví dụ 3: Cho hai điểm A, B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy xác định một điểm O ∈ xy sao cho ??? ̂= ??? ̂. Phân tích: Cách vẽ đường phụ trong trường hợp này nhằm tạo ra góc thứ ba (?̂3) làm góc trung gian để so sánh hai góc ??? ̂(?̂1) và ??? ̂ (?̂2). B A H x y 1 2 3 O C Lời giải -Vẽ AH ⊥ xy (H ∈xy) rồi kéo dài lấy một đoạn HC = HA. -Nối BC cắt xy tại O. -Nối OA ta được ??? ̂= ??? ̂. Thật vậy, ∆??? = ∆??? (c.g.c) do HC = HA, HO chung, ??? Suy ra ?̂1 = ?̂3; lại có ?̂2 = ?̂3(đối đỉnh) nên ?̂1 = ?̂2 hay ??? Vận dụng: Từ việc chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau ta vận dụng vào chứng minh: -Hai đường thẳng song song, hoặc vuông góc. -Phân giác của một góc. -Ba điểm thẳng hàng -Trung điểm của đoạn thẳng. -Tam giác cân, đều, vuông. ̂= ??? ̂= ??? ̂ = 900 ̂. https://thuviengiaoan.org/

  10. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. Vẽ AH vuông góc với BC (H ∈BC), D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Vẽ DE vuông góc với BC (E ∈BC). Chứng minh rằng HA = HE. Bài tập 2: Cho tam giác ABC, AD là phân giác. Trên đường thẳng AD lấy các điểm E và F sao cho ??? ̂ = ??? ̂. Chứng minh rằng ??? Bài tập 3: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho AD = AE. Chứng tỏ rằng DE // BC. Bài tập 4: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho ED = EB. Chứng minh rằng ED // AC. Bài tập 5: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi AB’ là tia đối của tia AB, AD là tia phân giác của góc B’AC. Chứng minh rằng AD // BC. Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, D là điểm nằm trong tam giác sao cho ??? ̂ = ??? ̂ = 300. Chứng minh rằng AC = DC. Bài tập 7: Cho tam giác ABC, vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B dựng AD ⊥ AB, AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE ⊥ AC, AE = AC. Nối D và E. AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Bài tập 8: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Nối DB, DC. Đường thẳng a qua điểm M cắt các cạnh AC, BD lần lượt ở P và Q. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng PQ. Bài tập 9: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AM là tia phân giác của góc BAC.Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Bài tập 10: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E.Gọi I là trung điểm của đoạn DE.Chứng minh rằng ba điểm B, I, C thẳng hàng. ̂ = ??? ̂. 2)Dạng 2: Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng một nửa độ dài đoạn thẳng khác Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài. Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng ngắn. Ví dụ 1: Cho góc xAy bằng 600, Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc với Ay (D ∈ Ay). Chứng minh rằng BD = 1 2AC. https://thuviengiaoan.org/

  11. ??? ̂ = 600; Az là tia phân giác ??? ̂. BC ̸ ̸ Ay. BD = 1 y GT 2AC KL z C D 60° A B x Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng AC rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng BD. Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AC. Cần chứng minh AE hoặc EC bằng BD. Điều này có được nhờ∆ ??? = ∆ ???. y z C E D 1 2 1 1 A B x Lời giải Gọi E là trung điểm đoạn thẳng AC. ̂ Ta có ?̂1 = ?̂2 =??? ̂) =300 (Az là tia phân giác ??? 2 ?̂2 = ?̂1 (AD ̸ ̸ BC) Suy ra ?̂1 = ?̂1 ⇒ AB = CB ∆ ??? = ∆ ???(AB = CB, AE = EC, BE cạnh chung) ⇒??? ̂ = ??? ̂mà ??? ̂ + ??? ̂= 1800 ̂= 1800⇒??? ̂= 900 Do đó 2??? ̂= 900; ?̂1 = 300⇒??? ̂= 600 ∆ ??? có ??? ̂= 900; ??? ̂= 600⇒?̂1 = 300 Mặt khác ∆ ??? có ??? Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: https://thuviengiaoan.org/

  12. ??? ̂= ??? ̂ (=600); AB (chung); ?̂1 = ?̂1 (= 300) Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ BD = AE Mà AE = 1 2AC, vậy BD = 1 2AC. Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng BD được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng AC. (Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB và tìm cách chứng minh rằng AC = BF, ta nhận ra rằng ∆ ??? = ∆ ???cho ta điều đó) y z C F D 1 1 A B x Lời giải Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = DB. ̂= ??? ̂ = 900, AD cạnh chung) ∆ ??? = ∆ ??? (DB = DF, ??? ⇒??? ̂= ??? ̂ ⇒??? ̂= 2 ??? ̂= 1200. ??? ̂+ ??? ̂= 1800 (Ay ̸ ̸ BC) ⇒??? ̂= 1800 - ??? ̂= 1200. ̂ = 900 Mặt khác ∆ ??? có ??? ⇒??? ̂+ ?̂1 = 900⇒?̂1 = 900 - ??? ̂= 300 Ta cũng có : ?̂1 = ?̂1 (= 300); AB (chung); ??? ̂= ??? ̂(=1200) Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ BF = AC https://thuviengiaoan.org/

  13. Mà BD = 1 2BF, do đó: BD = 1 2AC. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng MN ̸ ̸ BC và MN = ?? 2 . Phân tích Để chứng minh BC = 2MN , ta tạo ra một đoạn thẳng bằng 2MN, rồi chứng minh đoạn đó bằng BC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN. Dễ dàng chứng minh được DM = BC. Lời giải GT ∆ ???; M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC KL MN ̸ ̸ BC, MN = ?? A N 2 D M C B Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND = MN. ̂ = ??? ̂(đối đỉnh), AN = NC (giả Xét ∆ ??? và ∆ ??? có NM = ND, ??? thiết). Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ̂ = ??? ̂. Suy ra AM = DC, ??? ̂ = ??? ̂, ??? ̂ và ??? ̂ so le trong Ta có ??? ̂ = ??? ̂ ⇒ AB ̸ ̸ CD ⇒??? Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ̂ = ??? ̂(chứng minh trên); MC (cạnh chung) MB = DC (= AM); ??? Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ̂ = ??? ̂, BC = DM Suy ra ??? ??? ̂ = ??? ̂, ??? ̂ và ??? ̂ so le trong ⇒ MN ̸ ̸ BC https://thuviengiaoan.org/

  14. BC = DM, MN = 1 2DM ⇒ MN = 1 2BC. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ?̂ < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ tia Ay vuông góc với AC, trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 1 2DE. y E ∆ ???; AD ⊥ AB AD = AB, AC ⊥ AE AC = AE M là trung điểm cạnh BC KL AM = 1 x D GT A 2DE B C M N Phân tích Ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng bằng 2AM rồi tìm cách chứng minh đoạn thẳng đó bằng DE. Yếu tố phụ cần vẽ là tia đối của tia MA và trên tia này lấy điểm N sao cho MN = MA. Lời giải Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có MA = MN, ??? ̂ = ??? ̂(đối đỉnh), MB = MC. Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ̂ = ??? ̂ và AB = CN Suy ra ??? ??? ̂ = ??? ̂⇒ AB ̸ ̸CN. Vì vậy: ??? ̂ + ??? ̂ = 1800 ̂ + ??? ̂ = 1800 Ta có: ??? https://thuviengiaoan.org/

  15. ̂ = ??? ̂. Suy ra ??? Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ̂ = ??? ̂, CN = AD (=AB) CA = AE (giả thiết), ??? Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) Suy ra AN = DE, mà AM = 1 2AN, do đó AM = 1 2DE. Bài tập tự giải: Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 1 2BC. ̂ = 600. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có ??? Chứng minh rằng AB = 1 2BC. Bài tập 3: Cho tam giác ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của cạnh BC, D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng AC = 2AD. ̂ = 1800, AB = ̂ + ?′?′?′ Bài tập 4: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có ??? A’B’, AC = A’C’. M là trung điểm cạnh BC.Chứng minh rằng AM = 1 2B’C’. Bài tập 5: Cho tam giác ABC có ?̂ < 900. Vẽ tia Ax vuông góc với AB (hai tia Ax và AC cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng AB), trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = AB và dựng tia Ay vuông góc với AC (hai tia Ay và AB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng AC), trên tia Ay lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng AM = 1 2DE. Bài tập 6: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Gọi D, E là trung điểm của các cạnh BC và AC. BE cắt CN ở H. AD cắt CM ở K. Chứng minh rằng HK = 1 4AB. Bài tập 7: Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau ở M. Chứng minh rằng DM = 1 3DE. https://thuviengiaoan.org/

  16. Bài tập 8: Cho tam giác đều ABC. Một đường thẳng song song với cạnh AC cắt các cạnh AB và BC ở M và N. Gọi H là trực tâm của tam giác MBN và E là trung điểm đoạn thẳng AH. Chứng minh rằng HE = 1 2CH. 3)Dạng 3: Chứng minh tổng hai đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng thứ ba (Đ1+ Đ2= Đ3) Cách 1: Chia Đ3thành hai phần hợp lí, rồi chứng minh một phần bằng Đ1, phần còn lại bằng Đ2. Cách 2: Vẽ một đoạn thẳng bù thêm một trong hai đoạn Đ1(hoặc Đ2) rồi chứng minh đoạn mới này bằng Đ3và đoạn bù thêm bằng đoạn Đ2(hoặc Đ1). Cách 3: Vẽ một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng Đ1và Đ2rồi chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng Đ3. Cách 4: Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn Đ3và một trong hai đoạn Đ1(hoặc Đ2), rồi chứng minh đoạn mới này bằng đoạn còn lại Đ2(hoặc Đ1). Ví dụ 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm D, E sao cho BD = CE. Qua D và E vẽ các đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC ở F và G. Chứng minh rằng DF + EG = AB. A F ∆ ??? có BD = CE (D,E ∈ BC), DF ̸ ̸ AB, EG ̸ ̸ AB GT G KL DF + EG = AB C B D E Cách 1: Chia đoạn thẳng AB thành hai phần, rồi chứng minh một phần bằng đoạn thẳng DF và phần còn lại bằng đoạn thẳng EG. Vì DF ̸ ̸ AB cho nên vẽ thêm DH ̸ ̸ AC (H ∈ AB) giúp ta có AH = DF, mà AB = AH + HB và chỉ cần chứng minh rằng HB = EG là được. Điều này đạt được vì ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g). A F G H C B D E Bằng cách tương tự ta cũng có thể vẽ thêm EK ̸ ̸ AC (K ∈AB) để có https://thuviengiaoan.org/

  17. KA = EG và chứng minh rằng KB = DF. Cách 2: Vẽ một đoạn thẳng “bù thêm” một trong hai đoạn thẳng một cách thích hợp rồi chứng minh rằng đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng thứ ba và đoạn thẳng bù thêm bằng đoạn thẳng kia. Vì DF ̸ ̸ AB cho nên vẽ thêm AP ̸ ̸ BC (P thuộc đường thẳng DF), ta có AB = PD mà PD = DF + PF. Do vậy chỉ cần chứng minh thêm PF = EG. Điều này ta cũng có được vì ∆ ??? = ∆ ???. A P F G C B D E Và như vậy ta cũng có thể vẽ thêm AQ ̸ ̸BC (Q thuộc đường thẳng EG), tương tự như trên ta cũng chứng minh được AB = DF + EG. Cách 3: Vẽ một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng rồi chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng thứ ba. Trên tia đối của tia DF lấy điểm M sao cho DM = EG. A F G B C D E M Ta đã có: MF = DF + DM nên chỉ còn chứng minh rằng AB = MF. ̂ ̂ = ??? Từ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ta có ??? Suy ra BM ̸ ̸AF, kết hợp với AB ̸ ̸ DF ta có AB = MF. Hoàn toàn tương tự có thể vẽ thêm điểm N trên tia đối EG sao cho EN = DF. Cách 4: Vẽ một đoạn thẳng bằng hiệu của đoạn thẳng thứ ba và một trong hai đoạn thẳng kia rồi chứng minh đoạn thẳng mới này bằng đoạn thẳng còn lại . https://thuviengiaoan.org/

  18. Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho BI = EG và chỉ cần chứng minh AI = DF . A F G I B C D E Từ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ta có ̂⇒ AF ̸ ̸ ID ??? ̂ = ??? Kết hợp với AB ̸ ̸ DF ta có AI = DF. Tương tự ta cũng có thể vẽ thêm điểm J trên cạnh AB sao cho BJ = DF. Ví dụ 2: Cho góc xOy bằng 900, Oz là tia phân giác. Trên tia Oz lấy điểm A. Từ A kẻ AB ⊥ Ox và AC ⊥ Oy (B ∈ Ox, C ∈Oy). D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB. Nối A với D. Tia phân giác của góc CAD cắt Oy tại E. Chứng minh rằng AD = CE + BD. Phân tích Chọn cách giải là tạo ra đoạn thẳng có độ dài bằng CE + BD và cần chứng minh đoạn thẳng đó bằng AD là xong. Xuất phát từ suy nghĩ này ta chọn yếu tố phụ là điểm F trên tia đối của tia BO sao cho BF = CE. Ta chỉ cần chứng minh tam giác DAF cân đỉnh D. y ??? ̂ = 900, Oz là tia phân giác ??? AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy AE là tia phân giác góc ??? ̂ z A ̂; C 1 GT 2 3 E KL AD = CE + BD O D B F x Lời giải Trên tia đối của tia BO lấy điểm F sao cho BF = CE. https://thuviengiaoan.org/

  19. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ??? ̂ = ??? ̂ (Oz là tia phân giác ??? ??? ̂ = ??? ̂ (vì ??? ̂ + ??? Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ CA = BA Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: CA = BA (chứng minh trên), ??? Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) Suy ra ?̂1= ?̂3. Mà ?̂1= ?̂2 và 2?̂1 + ??? ⇒ ??? ̂ + ?̂3 = 900 ⇒ ??? ̂ = ??? ̂. Ta có ∆ ??? có ??? ̂ = ??? ⇒∆ ???cân đỉnh D ⇒ AD = DF Mà DF = BF + BD = CE + BD, nên: AD = CE + BD. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = AC, ??? BD của tam giác ABC. Chứng minh BC = BD + DA. Bài tập 2: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác, AM là đường trung tuyến. Đường thẳng d qua G cắt các cạnh AB và AC. VẽAA’, BB’, CC’ vuông góc với đường thẳng d (A’, B’, C’ ∈ d). Chứng minh rằng AA’ = BB’ + CC’. 4)Dạng 4: Chứng minh đoạn thẳng Đ1> đoạn thẳng Đ2(hoặc góc G1 > góc G2). Cách 1: Tạo ra một tam giác mà có hai cạnh với độ dài bằng hai đoạn Đ1 và Đ2(hoặc có hai góc bằng hai góc ?̂1 và ?̂2). Sau đó áp dụng các định lý về quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác để chứng minh Đ1> Đ2(hoặc ?̂1 > ?̂2). Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh ??? ̂ < ??? ̂. ̂), OA (cạnh chung); ̂ = ??? ̂ + ??? ̂ = 900, ??? ̂ = ??? ̂ ) ̂ = ??? ̂ (= 900); CE = BF ̂ = 900 ̂ ̂ = 1000. Vẽđường phân giác A GT ∆ ??? có AB < AC, M B = MC C B M ̂ < ??? ̂. KL ??? D https://thuviengiaoan.org/

  20. Phân tích ̂ và BAM ̂không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam Hai góc MAC giác có hai góc bằng hai góc ấy và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này. Lời giải Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: MA = MD, ??? ̂ = ??? ̂(đối đỉnh), MB = MC (M là trung điểm cạnh BC). Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) Suy ra AB = CD, ??? ̂ = ??? ̂ Ta có AB = CD, AB < AC ⇒ CD < AC Xét ∆ ??? có CD < AC ⇒??? ̂ < ??? ̂(quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Mà ??? ̂ < ??? ̂ và ??? ̂ = ??? ̂, suy ra ??? Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ?̂ = 900. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD < AC. Nối B với D. Chứng minh rằng BC > BD. ̂ < ??? ̂. B ∆ ABC có Â = 900, AD < AC GT KL BC > BD. D C A E Phân tích Ta tìm cách tạo ra một tam giác có hai cạnh có độ dài bằng BC, BD. Điểm E trên tia AC sao cho AE = AD là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp giải bài toán. Lời giải Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Ta có AE < AC (vì AD < AC) nên E nằm giữa A và C. Mà BA ⊥ DE và DA = AE ⇒∆ ???cân đỉnh B ⇒ ??? Ta có ??? ̂ > ??? ̂ (??? ̂ là góc ngoài của ∆ ???). Do đó ??? ̂ > ??? ̂. Xét ∆ ??? có ??? ̂ > ??? ̂suy ra BC > BD (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác). ̂. ̂ = ??? https://thuviengiaoan.org/

  21. Cách 2: Tạo ra một đoạn thẳng trung gian Đ3(hoặc góc trung gian ?̂3) và nhờ tính chất bắc cầu để chứng minh Đ1> Đ2(hoặc chứng minh ?̂1 > ?̂2). Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ?̂ = 900. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm D, E. Chứng minh rằng DE < BC. B GT ∆ ABC có Â = 900, D∈ AB,E ∈ AC. D KL DE < BC. A C E Phân tích Rõ ràng không thể so sánh trực tiếp DE và BC. Do đó phải dùng đoạn thẳng trung gian và nhờ tính chất bắc cầu. Đoạn thẳng trung gian đó là DC. DC là yếu tố phụ cần vẽ thêm. Lời giải Nối D và C. Ta có AE, AC lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DE, DC trên đường thẳng AC. Mà AE < DC (vì E thuộc cạnh AC) suy ra DE < DC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó). Mặt khác AD, AB lần lượt là hình chiếu của các đường xiên DC, BC trên đường thẳng AB mà AD < AB (D thuộc cạnh AB) suy ra DC < BC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó). Ta có DE < DC; DC < BC ⇒ DE < BC. Vi dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu trong tam giác có điểm D sao cho AD = AB thì AB < AC. Trong ∆ ABCcó điểm D sao cho AD = AB. A GT KL AB < AC. E H D B C Phân tích https://thuviengiaoan.org/

  22. Gọi E là giao điểm của BD và AC. Hình vẽ gợi ý cho thấy AB < AE giúp ta nghĩ đến đường phụ cần vẽ thêm là đường vuông góc AH vẽ từ A đến BD (H ∈ BD). Lời giải Vẽ AH ⊥ BD (H ∈BD). Gọi E là trung điểm của BD và AC. Ta có AB = AD (giả thiết) và AH ⊥BD. Suy ra HB = HD (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó). Mà HD < HE, do đó AD < AE (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu của nó). Mặt khác AE < AC (vì E nằm giữa A và C) Suy ra AD < AC. Mà AB = AD do đó AB < AC. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC (AB = AC), D là điểm bất kì trong tam giác sao cho ??? ̂ > ??? ̂. Chứng minh rằng DC > DB. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AB < AC. BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng CN > BM. Bài tập 3: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từđiểm M ở trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox (H ∈ Ox), MK vuông góc với Oy (K ∈ Oy). Chứng minh rằng MH < MK. Bài tập 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Chứng minh rằng ??? ̂ < ??? ̂. Bải tập 5: Cho tam giác ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C. Chứng minh rằng MA + MB > AC + BC. Bài tập 6: Cho tam giác ABC có ??? ̂ = 900, ??? điểm D sao cho ??? ̂ = 180. Chứng minh rằng BD < AC. Bài tập7: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Chứng minh rằng BC < DE. 5)Dạng 5: Dùng bất đẳng thức tam giác để chứng minh bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng. Ví dụ: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM. ̂ = 540, trên cạnh AC lấy GT ∆ ABC có MB = MC KL AB + AC > 2AM. https://thuviengiaoan.org/

  23. A B C M D Phân tích Ta tìm cách tạo ra đường thẳng có độ dài bằng 2AM và là cạnh của tam giác có hai cạnh còn lại bằng hai cạnh AB, AC hoặc tạo ra một tam giác có ba cạnh bằng ?? 2, ?? Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Tam giác ADC có AD = 2AM, DC = AB, và AC thoả mãn yêu cầu đặt ra ở trên. Điểm D chính là điểm phụ cần vẽ thêm. Lời giải Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: MA = MD, ??? ̂ = ??? ̂(đối đỉnh), MB = MC (giả thiết) Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) ⇒ AB = DC Xét ∆ ???có CD + AC > AD (Bất đẳng thức tam giác) Do đó AB + AC > AD mà AD = 2AM suy ra AB + AC > 2AM. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của góc ??? (D ∈BC). M là điểm nằm trên đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng MB – MC < AB – AC. Bài tập 2: Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng MB + MC < AB + AC. Bài tập 3: Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng AB – AC > BD – CE. Bài tập 4: Cho tam giác ABC (?̂ = 900), vẽ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Chứng minh rằng AH + BC > AB + AC. Bài tập 5: Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từđiểm D trên cạnh AB, vẽđường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại E. 2và AM. ̂, https://thuviengiaoan.org/

  24. Chứng minh rằng BE > 1 2(DE + BC). 6)Dạng 6: Chứng minh đẳng thức Ta có thể nghĩ đến vận dụng định lý Pytago bằng cách tạo ra các tam giác vuông. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ?̂ = 600. Chứng minh rằng BC2 = AB2 + AC2– AB.AC C GT ∆ ABC có ?̂ = 600. KL BC2 = AB2 + AC2– AB.AC 60° A B H Phân tích Ta vẽ đường phụ là đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông HAC, HBC ta sẽ có điều phải chứng minh. Lời giải Vẽ đường thẳng CH vuông góc với AB (H ∈ AB). Tam giác HAC vuông tại H có ??? ̂ = 600nên là nửa tam giác đều, suy ra: HA =AC 2. Do đó HB = AB – HA = AB - AC 2. ̂ = 900, theo định lí Py-ta-go, ta có: ∆ ??? có ??? AC2 = HA2 + HC2⇒ HC2 = AC2– (AC 2)2= 3 4AC2 ̂ = 900, theo định lí Py-ta-go, ta có: ∆ ??? có ??? BC2 = HB2 + HC2. Do đó BC2 = (AB - AC 4AC2 = (AB - AC 2(AB - AC 4AC2 + 3 2)( AB - AC 2) + 3 2) + 3 2)2+ 3 2) - AC 4AC2 = AB(AB - AC 4AC2 = AB2– AB.AC + 1 4AC2 = AB2 + AC2– AB.AC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC và AB = 6cm, AC = 10cm, AM = 4cm. Chứng minh rằng MAB ̂ = 900. https://thuviengiaoan.org/

  25. ∆ ABC có MB = MC, AB = 6cm, AC = 10cm, AM = 4cm. A GT C M B ̂ = 900. KL MAB D Phân tích Các số 6; 10; 4 gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go. Thật vậy, nếu gọi D là điểm sao cho M là trung điểm của AD ta chứng minh được BD = AC và từ đó chứng minh được tam giác ABD vuông tại A và có các cạnh là 10; 6; 8. Lời giải Gọi D là điểm sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AD. Xét ∆ ??? và ∆ ??? có MA = MD, ??? ̂ = ??? (M là trung điểm cạnh BC). Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (c.g.c) suy ra AC = BD Mà AC = 10cm nên BD = 10cm và AD = 2AM = 8cm Ta có AB2 +AD2 = 62 + 82 = 100 BD2 = 102 = 100 ∆ ??? có AB2 + AD2 = BD2 (=100) Theo định lí đảo Py-ta-go có tam giác ABD vuông tại A nên ??? Bài tập tự giải Bài tập1: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AB2 + AC2 = 2AM2 + 1 2 BC2. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC và AB = 6cm, AC = 10cm, AM = 4cm. Chứng minh rằng ??? ̂ = 900. Bài tập 3: Cho tam giác ABC có ??? ̂ = 450, ??? Chứng minh rằng AB : BC : AC = √2 : (1 + √3) : 2. Dạng 7: Chứng minh tính chất của một hình. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A. D là điểm bất kì trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ tia Bx sao cho ??? thẳng vuông góc với DC vẽ từ D cắt Bx tại E. Chứng minh rằng tam giác DEC vuông cân. ̂(đối đỉnh); MC = MB ̂ = 900. ̂ = 300. ̂ = 1350. Đường https://thuviengiaoan.org/

  26. ̂ = 900, AB = AC. ̂ = 1350. DE ⊥ DC. ∆ ABC có ??? D ∈ AB, ??? GT KL ∆ DEC vuông cân. x E B 135° D C A Phân tích Vì ∆ DEC vuông tại D (từ giả thiết), nên ta chỉ cần chứng minh DE = DC. Chúng ta nghĩ đến làm “xuất hiện” hai tam giác bằng nhau để có DE = DC. Điểm phụ F trên cạnh AC sao cho AF = AD giúp ta có lời giải bài toán. Lời giải Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AD. Mà AB = AC do đó AB – AD = AC – AF ⇒ BD = FC. ̂ = 900 ∆ ???cân đỉnh A (AD = AF) mà ??? ̂ = 450 ⇒∆ ???vuông cân đỉnh A ⇒ ??? ̂ = 1800 - ??? ̂ = 1350 Do đó ??? ̂ = ??? ̂ + ??? ̂ = 900 ⇒ ??? ̂ ̂ + ??? ̂ = ??? Mặt khác ??? Xét ∆ ??? và ∆ ??? có: ̂ (= 1350); BD = FC (chứng minh trên); ??? ̂ = ??? ̂ ??? ̂ = ??? https://thuviengiaoan.org/

  27. Do đó ∆ ??? = ∆ ??? (g.c.g) ⇒ DE = DC ̂ = 900. ∆ ???cân đỉnh D (vì DE = DC) mà ??? Do đó ∆ ???vuông cân đỉnh D. Ví dụ 3: Chứng minh rằng giao điểm I của hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B, C của tam giác ABC nằm trên tia phân giác của góc A. A ∆ ABCcó BI và CI lần lượt là tia phân giác của góc ngoài đỉnh B và đỉnh C. GT K C B L KL I nằm trên tia phân giác của góc A y H x I Phân tích Ta có I nằm trên đường phân giác góc A ⇔I cách đều hai đường thẳng Ax, Ay. Vẽ IH ⊥ Ax, IL ⊥ Ay (H ∈ Ax; L ∈ Ay). Ta vẽ IK ⊥ BC (K ∈BC). So sánh IH, IL với IK. Lời giải Vẽ tia Bx là tia đối của tia BA, tia Cy là tia đối của tia CA. Vẽ hai tia phân giác của ??? ̂ và ??? ̂. Gọi I là giao điểm của chúng. Vẽ IH ⊥ Bx (H ∈ Bx), IK ⊥ BC (K ∈ BC), IL ⊥ AC (L ∈ Cy). I thuộc tia phân giác ??? ̂⇒ IH = IK I thuộc tia phân giác ??? ̂⇒ IL = IK. Suy ra IH = IL Vậy I nằm trên tia phân giác của góc BAC. Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm, BC = 12cm. D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC (H ∈ BC) thì DH = 4cm. Chứng minh rằng tam giác ABC cân đỉnh A. Bài tập 2: Cho tam giác ABC (?̂ = 900). Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho ̂ = 1 ̂. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho ED = BC. 3??? ??? Chứng minh rằng tam giác DEC cân. https://thuviengiaoan.org/

  28. Bài tập 3: Cho tam giác ABC có ?̂ = 900. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ̂ = 1 ̂. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BC. 3??? ??? Chứng minh rằng tam giác DEC cân đỉnh E. Bài tập 4: Cho tam giác ABC, vẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B dựng AD ⊥ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE ⊥ AC sao cho AE = AC. Nối D và E, AH cắt DE ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Bài tập 5: Cho tam giác ABC (AB < AC). Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Trên cạnh AC lấy điểm G sao cho CG = ??+?? . 2 ̂. Chứng minh rằng DG là tia phân giác ??? Bài tập 6: Cho tam giác ABC có ?̂ = 900, lấy các điểm D và E lần lượt trên các ̂ = 1 ̂, ??? ̂ = 1 3??? 3??? ̂. Gọi I là giao điểm của BD cạnh AC và AB sao cho ??? và CE. Chứng minh rằng IDE cân. 1)Dạng 8: Phương pháp tam giác đều. Phương pháp này tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, ?̂ = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2AC. Chứng minh rằng ∆??? cân. O ∆??? có ?̂ = 900, ?̂ = 150, BO = 2AC GT KL ∆??? cân H M A C B Phân tích Vì ∆??? có ?̂ = 900, ?̂ = 150⇒?̂ = 750 Ta thấy 750 - 150 = 600là số đo mỗi góc của tam giác đều. Điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BMC. Lời giải Ta có ∆???vuông tại A, ?̂ = 150(theo giả thiết) ⇒??? ̂ = 750. Vẽ tam giác đều BMC (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC) https://thuviengiaoan.org/

  29. ̂ = ??? ̂ - ??? ̂ Ta có: ??? = 750 - 600 = 150 Gọi H là trung điểm của OB Vì OB = 2AC ⇒ HB = AC (= ?? 2) Xét ∆??? và ∆??? có: HB = AC MB = BC (vì ∆???đều) ??? ̂ = ??? ̂ (= 150) ⇒∆??? = ∆??? (c.g.c) ⇒??? ̂ = ??? ̂ = 900(định nghĩa hai tam giác bằng nhau) Xét ∆???có HM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên ∆??? cân tại M. Do đó ??? ̂ = ??? ̂ = 150. Theo định lý tổng ba góc trong tam giác ta có: ??? ̂ = 1800 - 150 - 150 = 1500 ⇒??? ̂ = 3600 - ??? ̂ - ??? ̂ = 3600 - 1500 - 600 = 1500 Xét ∆??? và ∆??? có: OM chung BM = CM (vì ∆???đều) ??? ̂ = ??? ̂ (= 1500). ⇒∆??? = ∆??? (c.g.c) ⇒ OB = OC. Vậy ∆???cân tại O. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao ̂ = 1 2?̂. Phân tích cho AD = BC. Chứng minh rằng ??? Tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 - 200 = 600là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng. https://thuviengiaoan.org/

  30. A D ∆ABCcân tại A, Â = 200. AD = BC ̂ = 1 GT 2?̂ KL ??? M B C Lời giải ∆???cân tại A, ?̂ = 200(giả thiết) Suy ra ?̂ = ?̂ =1800 − 200 = 800. 2 Vẽ tam giác đều BCM (M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), ta được AD = BC = CM. ∆??? = ∆??? (c.c.c) Suy ra ??? ̂ = ??? ̂ = 200 : 2 = 100 ??? ̂ = ??? ̂ = 800 - 600 = 200 ∆??? và ∆??? có: AD = CM (chứng minh trên) ??? ̂ = ??? ̂ (= 200). AC chung Vậy ∆??? = ∆??? (c.g.c) suy ra ??? ̂ = ??? ̂ = 1 ̂. ̂ = 100. 2??? Do đó ??? Bài tập tự giải Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 800. Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho OBC ̂ = 300, OCB ̂ = 100. Chứng minh rằng tam giác COA cân. Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm O ở trong tam giác sao cho OBC ̂ = 300, OCB ̂ = 150. Chứng minh các tam giác AOC, AOB cân. Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A, Â = 1080. Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho CBO ̂ = 120. Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng: a)Ba điểm C, A, M thẳng hàng. b)Tam giác AOB cân. https://thuviengiaoan.org/

  31. III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI; Trong quá trình dạy học hình học, tôi đã áp dụng đề tại này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho học sinh đại trà. Đặc biệt là đối với học sinh lớp 7, bắt đầu làm quen với chứng minh hình học. Tuy lúc đầu các em còn ngại học hình và nói chung rất sợ các bài toán chứng minh. Hầu như học sinh chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán, thỏa mãn với chính mình. Các em chưa thấy được tác dụng mạnh của việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác, rèn cho minh được thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì, độc lập (những đức tính tốt và cần thiết của người học toán). Song, qua một thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài và dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết các em đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài có liên quan từ dễ đến khó. Quan trọng hơn, các em không còn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ nữa. Do đó, trong học toán nói chung và hình học nói riêng các em đã nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát hiện thể hiện sự tìm tòi, sáng tạo bước đầu rất tích cực. Thực tế, tôi đã sử dụng vào giảng dạy cho khối 7 nhiều năm học liền gần đây thì kết quả cho thấy học sinh đều có ý thức thi đua nhau học tập, rất hào hứng phát biểu các suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện của mình về cách giải khác, bài toán mới, …. Và tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả năng tự nghiên cứu toán học của các em được phát huy một cách tích cực; kết quả học tập môn toán, nhất là hình học có nhiều tiến bộ. Các em không những nắm vững kiến thức trong SGK, các em còn có cố gắng trong việc tìm hiểu giải các bài toán nâng cao, các bài toán khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tòi khai thác, phát triển các bài toán cho trước. Cụ thể: kết quả chất lượng môn toán khối 7 ở các năm áp dụng đề tài này như sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém Năm đầu tiên áp dụng 30% 42% 25% 3% Năm thứ hai áp dụng 37% 40% 22% 1% Kết luận Việc nhìn nhận và chứng minh được một bài toán hình học góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh khi học môn Toán- nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, bản thân tôi nhận thấy: https://thuviengiaoan.org/

  32. -Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc chứng minh một bài toán hình học mà học sinh bằng lập luận, phân tích … đã giải được. Mở rộng, phát triển thêm các bài toán khác (đơn giản hoặc thường là phức tạp hơn) nhằm phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho cả người dạy và người học. -Trong quá trình giảng dạy và học tập toán,việc khai thác, tìm hiểu sâu các cách giải khác nhau, kẻ thêm nhiều đường phụ. Nó không chỉ giúp chúng ta nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát, đặc biệt hóa, tổng quát hóa một bài toán, từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách logic, khoa học, tạo hứng thú khoa học yêu thích bộ môn toán hơn. Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học lớp 7”. Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vần đề này. Đồng thời, tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. IV. CAM KẾT KHÔNGSAO CHÉP HOẶCVI PHẠM BẢN QUYỀN: Trên đây là toàn bộ kinh nghiệm được đúc rút trong suốt 2 năm dạy bộ môn toán 7 ở trường THCS. Tôi xin cam kết không sao chép và vi phạm bản quyềncủa tác giả nào. Nếu vi phạm tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm. Tôi xin chân thành cảm ơn! Giao Thịnh, ngày 02 tháng 04 năm 2019 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Xác nhận) Nguyễn Thị Hồng Huế ................................................................. ................................................................. ................................................................. https://thuviengiaoan.org/

  33. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá xếp loại) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... https://thuviengiaoan.org/

More Related