1 / 44

SISTEM KOORDINAT

SISTEM KOORDINAT. KOORDINAT CARTESIUS. Terdapat dua garis riil , yaitu garis mendatar dan lainnya tegak , dimana keduanya saling berpotongan pada titik-titik nol dari kedua garis tersebut . Dua garis itu dinamakan sumbu-sumbu koordinat .

abel-herman
Télécharger la présentation

SISTEM KOORDINAT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SISTEM KOORDINAT

  2. KOORDINAT CARTESIUS • Terdapatduagarisriil, yaitugarismendatardanlainnyategak, dimanakeduanyasalingberpotonganpadatitik-titiknoldarikeduagaristersebut. • Duagarisitudinamakansumbu-sumbukoordinat. • Garis yang mendatardinamakansumbu x dangaris yang tegakdinamakansumbu y. • Setengahbagianpositifdarisumbu x adalahkekanandansetengahbagianpositifdarisumbu y adalahkeatas.

  3. Padagambartitik P dapatdinyatakandengansepasangbilangan, yang dinamakankoordinat-koordinatCartesiusnya. Apabilagarismendatardantegak yang melalui P masing- masingmemotongsumbu x dansumbu y di a dan b maka P mempunyaikoordinat (a,b). Kita sebut (a,b) suatupasanganterurutbilangan-bilangankarenaakanberbedajikaurutannyadibalik. Dimanabilangan a adalahkoordinat x (absis) sedangkanbilangan b adalahkoordinat y (ordinat).

  4. RUMUS JARAK • Denganmenggunakankoordinat, kitadapatmemperkenalkansebuahrumussederhanauntukjarakantaraduatitikpadabidang. Inididasarkanpadateoremaphytagoras, yang menyatakanjika a dan b merupakanukurandua kali suatusegitigasiku-sikudan c merupakanukuransisimiringnyamaka a2 + b2 = c2

  5. PenjelasanGambar • Sebaliknya, hubunganantaratigasisisegitigainihanyaberlakuuntuksegitigasiku-siku. • Duatitik P dan Q, masing-masingdengankoordinat-koordinat (x1, y1) dan (x2, y2), bersamadengan R titikdengankoordinat (x2, y1) P dan Q adalahtitik-titiksudutsebuahsegitigasiku-siku. • Panjang PR dan RQ masing-masing | x2 – x1 | dan |y2 – y1|, BilamanateoremaPhytagorasditerapkandandiambilakarkuadratutamadarikeduaruasmakadiperoleh d (P,Q) jarak (takberarah) antara P dan Q. d (P, Q) = • Inidisebutrumusjarak

  6. CONTOH 1. Carilahjarakantara a. P (-2, 3) dan Q (4, -1) b. P (√2, √3) dan Q (π, π) Penyelesaian • d (P, Q) = • d(P, Q) =

  7. Rumustetapberlakuwalaupunduatitiktersebutterletakpadagarismendatarataugaristegak yang sama. Jadi, jarakantara P (-2, 2) dan Q (6, 2) adalah = = 8

  8. RUMUS LINGKARAN • Lingkaranadalahhimpunantitik-titik yang terletakpadasuatujaraktetap (jari-jari) darisuatutitiktetap (pusat). • Misalnya, lingkarandenganjari-jari 3 berpusatdi (-1, 2). • Andaikan (x, y) menyatakantitiksebarangpadalingkaranini, Menurutrumusjarak = 3

  9. Bilamanakeduaruasdikuadratkan, kitaperoleh (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9 yang disebutpersamaandarilingkaranini. • Secaralebihumum, lingkaranberjari-jari r danpusat (h, k) mempunyaipersamaan (x – h)2 + (y – k)2 = r2 Inidisebutpersamaanbakusebuahlingkaran

  10. Contoh 2 Carilahpersamaanlingkaranberjari-jari 5 danpusat (1, -5). Car jugakoordinat-koordinat y dariduatitikpadalingkaraninidengankoordinat x adalah 2. Penyelesaian. Persamaan yang diinginkanadalah (x ­- 1)2 + (y + 5)2 = 25 Kita masukkan x = 2 dalampersamaandanselesaikanuntuk y. (2 - 1)2 + (y + 5)2 = 25 (y +5)2 = 24 y + 5 = ± √24 y = - 5 ± √24 = - 5 ± 2 √6

  11. RUMUS TITIK TENGAH • Adaduatitik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dimana x1 ≤ x2,

  12. Maka:

  13. Iniberartibahwatitik (x1 + x2) / 2 beradaditengah-tengahantara x1dan x2padasumbu x, dengandemikiantitiktengah M daripotongangaris PQ memilikiabsis (x1 + x2) / 2 danbegitu pula sebaliknya (y1 + y2) / 2 adalahmerupakankoordinatdari M juga, makadiperolehpersamaan :

  14. Contoh 3 Tentukanpersamaanlingkaran yang mempunyaipotongangarisdari (1, 3) ke (7, 11) sebagaigaristengahnya. Penyelesaian.Pusatlingkaranterletakditengah – tengahgaristengahnyasehinggatitikpusatmempunyaikoordinat (1 + 7) / 2 = 4 dan (3+11) / 2 = 7. Makadiperolehrumuspanjanggaristengah : [(7 – 1)2 + (11 – 3)2]1/2 = [36 + 64] ½ = 10 Berartijari-jarilingkarannyaadalah 5, jadipersamaanlingkaran : (x – 4)2 + (y – 7)2 = 25

  15. Garislurus – kemiringangaris • Umumnyagambarberikutuntuksebuahgaris yang melalui A (x1, y1) dan B (x2, y2) dengan x1 ≠ x2 , kemiringanmdarigarisitudidefinisikanoleh: Yang pentingadalahbahwakoordinat-koordinat yang dikurangkandalamurutansamadipembilangdanpenyebutnya.

  16. BENTUK KEMIRINGAN TITIK • Ambillahsembarangtitikpadagarismisalnyatitikdengankoordinat (x, y). Jikakitagunakantitikinidantitik (3, 2) untukmengukurkemiringannya, pastidiperoleh 2/5 yaitu :

  17. Garis yang melaluititik (tetap) (x1, y1) dengankemiringanmmempunyaipersamaan : y – y1 = m (x – x1) • Inidinamakankemiringantitikdansebuahgaris.

  18. Contoh 4 Caripersamaangaris yang melalui (- 4, 2) dan (6,-1) Penyelesaian. Kemiringanmadalah (- 1 - 2) / (6 + 4) = - 3/10. Sehingga, denganmenggunakan (-4,2) sebagaititiktetap, makadidapatkanpersamaan :

  19. BENTUK KEMIRINGAN PERPOTONGAN (intersep) • Persamaansuatugarisdapatdinyatakanbermacam-macambentuk. Semisaldiberikan slope m untuksuatugarisdan b perpotongansumbu y di (0, b). Denganmemilih (0, b) sebagai (x1, y1) danmenerapkanbentukkemiringantitikmakadiperoleh : y – b = m (x – 0) atauy = mx + b • Yang disebutbentukkemiringanperpotongan/intersep.

  20. Misal, lihatpersamaan ; 3x – 2y + 4 = 0 2y = 3x + 4 y = (3/2)x + 2 iniadalahpersamaangarisdengankemiringan 3/2 danintersep y = 2.

  21. PERSAMAAN GARIS VERTIKAL • Persamaangaristegakbisadituliskan : x = k dimana k adalahsuatukonstanta. Patutdicatatbahwapersamaansuatugarisdapatjugadituliskan y = k.

  22. BENTUK Ax + By +C = 0 Misal : 1. y – 2 = - 4 (x + 2) denganmemindahkansemuanyakeruaskiri 4x + y + 6 = 0 2. y = 5x – 3 -5x + y + 3 = 0 3. x = 5 x + 0y + - 5 = 0 • Semuanyaberbentuk : Ax + By + C = 0, AdanBkeduanyatidak 0

  23. contoh CarilahpersamaantiapgarisdalambentukAx + By + C = 0 • Melalui (2, 3) dengankemiringan 4. Jawab : 2x + 3y + 4 = 0 • Melalui (3, - 4) dengankemiringan – 2. Jawab : 3x – 4y – 2 = 0 • Denganintersep = 4 dankemiringan – 2. Jawab : -4 x + y – 2 = 0

  24. GARIS – GARIS SEJAJAR • Jikaduagarismempunyaikemiringansama, makakeduanyasejajar. Jadi, y = 2x + 2 dan y = 2x + 5 merupakangarissejajar ; keduanyamemilikikemiringan 2. Garis yang keduaadalah 3 satuandiatas yang pertamauntuksetiapnilai x.

  25. Jadidapatditarikkesimpulanbahwaduagaristakvertikaladalahsejajarjikadanhanyajikakeduanyamempunyaikemiringan yang sama.

  26. contoh Carilahpersamaangaris yang melalui (6,8), yang sejajardengangaris yang mempunyaipersamaan 3x – 5y = 11 Penyelesaian. 3x – 5y = 11 untuk y kitaperoleh: didapatkemiringangarisadalah 3/5, jadipersamaangaris yang diinginkanyaitu : atau, samadengan 3x – 5 y + 22 = 0

  27. GARIS – GARIS TEGAK LURUS • Syaratkemiringansederhana yang mencirikantegaklurusialahduagaristakvertikalsalingtegaklurusjikadanhanyajikakemiringankeduanyasalingberkebalikannegatif.AndaikanP1 (x1, y1) suatutitikpada l1danP2 (x2, y2) titikpadal2 . MenurutTeorema Pythagoras dankebalikannyaP1 OP2merupakansudutsiku-sikujika [d (P1 , O)]2 + [d (P2, O)]2 = [d (P1, P2)]2 • Setelahpenguraiandanpenyederhanaan, persamaannyamenjadi 2x1 x2 + 2y1 y2 = 0 atau • Jadiy1 / x1adalahkemiringandaril1, sedangkany2 / x2adalahkemiringandaril2.

  28. contoh Carilahpersamaangaris yang melaluititikpotonggaris-garisdenganpersamaan 3x + 4y = 8 dan 6x – 10y = 7, yang tegaklurusdengangaris yang pertama Penyelesaian.Untukmencarititikpotongduagarisini, persamaan yang pertamadikalikan – 2 danhasilnyaditambahkanpadapersamaan yang kedua. -6x - 8y = -16 6x – 10y = 7 - 18 y = -9 y = 1/2

  29. Denganmensubstitusikan y = ½ akandihasilkan x = 2. Titikpotongnyaadalah (2, ½). Bilamanapersamaanpertamadiselesaikanuntuk y, diperoleh y = -3/4x + 2. Garistegaklurusnyamempunyaikemiringan 4/3 jadididapatpersamaan y – ½ = 4/3 (x – 2)

  30. GrafikPersamaan • Grafikpersamaandalam x + y terdiriatastitik-titkdibidang yang koordinat-koordinatnya (x, y) nyamemenuhipersamaanartinyamembuatnyasuatupersamaan yang benar

  31. contoh Gambargrafikpersamaan y = x2 – 3

  32. Jikakoordinatdilipatsepanjangsumbu y, keduacabangakanberimpit. Misalnya (3, 6) dengan (-3 , 6), (2, 1) dengan (-2, 1) dansecaralebihumum, (x, y) berimpitdengan (-x, y). (lihatGambar 3) dimanakeduagrafikitusimetristerhadapsumbu y.

  33. Grafikdarisuatupersamaanadalah : 1. Simetristerhadapsumbu y bilapenggantian x dengan –x memberuikanpersamaan yang setara (sebagaicontoh y = x2). 2. Simetristerhadapsumbu x bilapenggantian y dengan –y memberikanpersamaan yang setara (sebagaicontoh y = 1 + y2). 3. Simetristerhadaptitikasalbilapenggantian x dengan –x dan y dengan –y memberikanpersamaan yang setara (y = x3merupakancontoh yang baguskarena y = (-x)3setaradengan y = x3).

  34. contoh Sketsakangrafikdari y = x3 Penyelesaian.Simetriterhadaptitikasalsehinggahanyaperlumemperoleh total nilaiuntuk x yang taknegatif.

  35. intersep • Titik-titikpadagrafiksuatupersamaanmemotongkeduasumbukoordinat y = 0 bila x = - 2, 1, 3 bilangan = - 2, 1 dan 3 disebutintersep x. x = 0 bila y = 6 sehingga 6 disebutintersep y.

  36. contoh Sketsakangrafikdari y2 – x + y – 6 = 0, denganmemperlihatkansemuaintersepdenganjelas. Penyelesaian. y = 0 dalampersamaanmakadiperoleh x = - 6, sehinggaintersep x = - 6. Denganmeletakkan x = 0 makadiperoleh y2 + y – 6 = 0, atau (y + 3) (y – 2) = 0 ; jadiintersep y adalah – 3 dan 2.

  37. Jikasuatupersamaanberbentuk : y = ax2 + bx + c atau x = ay2 + by + c dengan a ≠ 0, grafiknyaakanselaluberupa parabola. Grafikterbukakeatasataukebawahjika a > 0 atau a < 0 Grafikterbukakekananataukekirijika a > o atau a < 0

  38. contoh Carititik-titikperpotongangaris y = -2x + 2 dan parabola y = 2x2 – 4x – 2 dansketsakankeduagrafiktersebutpadabidangkoordinat yang sama. Penyelesaian. – 2 x + 2 = 2x2 – 4x – 2 0 = 2x2 – 2x – 4 0 = 2 (x – 2) (x + 1) x = -1 ; x = 2 Melaluisubstitusi, ditemukannilai y adalah 4 dan – 2, karenaitutitik-titikperpotongannyaadalah (-1, 4) dan (2, -2).

More Related