廣義乘冪律與替代法的積分

6.2 廣義乘冪律與替代法的積分

6.2 廣義乘冪律與替代法的積分 學習目標 • 以廣義乘冪律求不定積分。 • 以替代法求不定積分。 • 以廣義乘冪律求解現實生活的問題。第六章　積分與其應用 P.6-12

廣義乘冪律 • 在 6.1 節提到以基本乘冪律來求得只為 x 之乘冪函數的反導數，本節將介紹可求更複雜函數之反導數的技巧。第六章　積分與其應用 P.6-12

廣義乘冪律 • 首先考慮 2x(x2＋ 1)3的反導數，也就是我們要找到導數為2x(x2＋ 1)3的函數，求反導數的過程也可以如下所示。求解的關鍵在於積分函數中有 2x 的因式，而 2x 也恰是 (x2＋ 1) 的導數。第六章　積分與其應用 P.6-12

廣義乘冪律 • 令 u ＝ x2＋ 1，則可寫成這就是積分的廣義乘冪律(General Power Rule) 的一例。第六章　積分與其應用 P.6-12

廣義乘冪律 • 在運用廣義乘冪律時，注意積分函數含有 u 的乘冪與 u 的導數du/dx 等因式。請看範例 1 的說明。第六章　積分與其應用 P.6-12~6-13

求下列不定積分。 範例1　應用廣義乘冪律第六章　積分與其應用 P.6-13

範例1　應用廣義乘冪律（解） 第六章　積分與其應用 P.6-13

範例 1(b) 為應用廣義乘冪律時常忽略的一種狀況，即乘冪為 n ＝ 1，此時學習提示第六章　積分與其應用 P.6-13

求下列不定積分。 檢查站 1 第六章　積分與其應用 P.6-13

切記，可對積分函數微分來驗算不定積分的答案，譬如對範例 1(a) 的函數微分就可看出積分結果正確與否。有時積分函數中沒有導數 du/dx，則須做些調整才能應用廣義乘冪律。廣義乘冪律第六章　積分與其應用 P.6-13~6-14

範例2　乘除以常數 • 求 x(3 － 4x2)2 dx。第六章　積分與其應用 P.6-14

範例2　乘除以常數（解） • 令 u ＝ 3 － 4x2。若要應用廣義乘冪律，在積分函數中須有du/dx ＝－8x 的因式，因此乘除以常數－8。第六章　積分與其應用 P.6-14

代數技巧 • 範例 2 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(b)。第六章　積分與其應用 P.6-14

若要以連鎖律來驗算範例 2的結果，可對 微分再化簡，即可得原來的積分函數。學習提示第六章　積分與其應用 P.6-14

檢查站 2 • 求 x3(3x4 + 1)2dx。第六章　積分與其應用 P.6-14

範例3　乘除以常數 • 求 (x2＋2x)3(x＋1)dx。第六章　積分與其應用 P.6-14

範例3　乘除以常數（解） • 令 u ＝ x2＋2x。若要利用廣義乘冪律，則積分函數中須有 dy/dx ＝ 2x＋2 的因式，作法是將積分函數乘除以常數 2。第六章　積分與其應用 P.6-14

檢查站 3　 • 求 (x3－3x2)2 (x2－1) dx。第六章　積分與其應用 P.6-14

範例4　不能應用廣義乘冪律的例子 • 求 －8(3 － 4x2)2dx。第六章　積分與其應用 P.6-15

範例4　不能應用廣義乘冪律的例子（解） • 令 u ＝ 3 － 4x2。如同範例2，若要應用廣義乘冪律，在積分函數中須有 du/dx ＝－8x 的因式，因此乘除以常數，再將該常數提出積分外。然而，這個方法不可用於變數；也就是，第六章　積分與其應用 P.6-15

範例4　不能應用廣義乘冪律的例子（解） • 將積分函數展開，再利用基本乘冪律才能求得不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-15

學習提示 • 在範例 4 中，切記積分時不可將變數移到積分符號外；若是可行，把所有的積分函數移到積分符號外，如此一來就不需要所有的積分法則，只留下 dx =x +C。第六章　積分與其應用 P.6-15

檢查站 4 • 求 2(3x4 +1)2dx。第六章　積分與其應用 P.6-15

廣義乘冪律 • 當積分函數中的 du/dx 有多餘的常數，只須將其移到積分符號之外，下個例子即說明此點。第六章　積分與其應用 P.6-15

求。 範例5　應用廣義乘冪律第六章　積分與其應用 P.6-15

範例5　應用廣義乘冪律（解） • 令 u ＝ x3＋ 1。可由同時乘除以常數 3 得到所需的 du/dx ＝ 3x2，接著將 du/dx 中不需要的常數提出積分符號之外。第六章　積分與其應用 P.6-15

範例5　應用廣義乘冪律（解） 第六章　積分與其應用 P.6-15

代數技巧 • 範例 5 的計算過程可參考本章代數複習範例 1(c)。第六章　積分與其應用 P.6-15

求。 檢查站 5 第六章　積分與其應用 P.6-15

替代法 • 範例 1、2 、3 和 5 所用的積分技巧，有賴於是否可在積分函數中辨認或創造出 un du/dx。然而，若積分函數較為複雜，就很難應用這樣的基本積分公式，此時可使用另一種積分技巧，即替代法(substitutions) 或變數變換法(change of variables)。此法將改寫積分為 u 和 du；也就是 u ＝ f (x) 時，則 du ＝ f(x) dx，而且廣義乘冪律的形式為第六章　積分與其應用 P.6-15

求。 範例6　以替代法求積分第六章　積分與其應用 P.6-16

範例6　以替代法求積分（解） • 首先令 u ＝ 1 － 3x，則 du/dx ＝－3 和 du ＝－3 dx，即dx ＝ du，再以下列步驟求得不定積分。第六章　積分與其應用 P.6-16

範例6　以替代法求積分（解） 第六章　積分與其應用 P.6-16

檢查站 6 • 以替代法求。第六章　積分與其應用 P.6-16

替代法 • 利用微分法也可驗證此結果。第六章　積分與其應用 P.6-16

替代法 • 積分替代法的基本步驟總結於下列的準則。第六章　積分與其應用 P.6-16

範例7　以替代法求積分 • 求。第六章　積分與其應用 P.6-17

範例7　以替代法求積分（解） • 考慮替代 u ＝ x2 － 1，可得 du ＝ 2x dx。將原積分乘除以常數 2可得積分公式所需的 2x dx。第六章　積分與其應用 P.6-17

再以微分來驗算答案。 範例7　以替代法求積分（解）第六章　積分與其應用 P.6-17

檢查站 7 • 以替代法求。第六章　積分與其應用 P.6-17

替代法 • 學會本節的兩個積分技巧就可更有效率地算出積分；對於簡單的積分，除了辨認之外，再乘除以適當的常數而造出 du/dx 就可解決，對於較複雜的積分，可以利用範例 6 和 7 所引用的變數變換法來解題。本節習題建議以辨認導數與替代法將題目各做一次。第六章　積分與其應用 P.6-17

延伸應用：消費傾向 • 在 2009 年，美國四口家庭的貧窮線約為 $22,000，低於或等於此線的家庭將花費他們的全部所得；也就是，會使用 100% 的所得於購買民生必需品，譬如食物、衣服和住宅。當所得水準增加時，平均消費會略低於 100%，譬如收入 $25,000 的家庭能存 $500，而只消費 $24,500 (收入的 98%)。當所得增加時，消費與儲蓄的比例傾向於遞減，而消費對可支配所得的變化率稱為邊際消費傾向(marginal propensity to consume)。(資料來源：美國普查局) 第六章　積分與其應用 P.6-17

範例 8　分析消費 • 在 2009 年，美國四口家庭對可支配所得 x 的邊際消費傾向可表示為其中 Q 代表消費掉的所得。試以此模型來估計 2009 年四口家庭所得為 $35,000 的開銷。第六章　積分與其應用 P.6-18

範例 8　分析消費（解） • 首先對 dQ/dx 積分以求得消費金額 Q 的模型。 • 利用起始條件 x ＝ 22,000 時，Q ＝ 22,000，則可求得 C。 22,000＝(22,000－21,999)0.98＋C 22,000＝1＋C 21,999＝C 第六章　積分與其應用 P.6-18

範例 8　分析消費（解） • 因此，根據此模型 Q＝(x－21,999)0.98＋21,999 可估計四口家庭所得為 x＝35,000 的開銷約為 Q＝(35,000－21,999)0.98＋21,999 ≈ $32,756 Q 的圖形畫在圖 6.4。第六章　積分與其應用 P.6-18

範例 8　分析消費（解） 第六章　積分與其應用 P.6-18 圖6.4

檢查站 8 • 根據範例 8 的模型，試問四口家庭消費額為 $32,000 的所得為何？第六章　積分與其應用 P.6-18

總結 (6.2 節) • 寫出積分的廣義乘冪律，參考範例 1、2、3 及 5。 • 寫出積分替代法的準則，參考範例 6 與 7。 • 描述在現實生活中，如何利用廣義乘冪律來分析邊際消費傾向(範例 8)。第六章　積分與其應用 P.6-18

廣義乘冪律與替代法的積分

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