7-6. 线性变换的值域与核

1. 7-6. 线性变换的值域与核 线性映射（变换）的象（值域）和核是两个重要概念，在今后的代数学习中，常用到映射的象和核的概念。这里除要正确理解线性映射的象和核的定义，还要会求出给定的线性映射的象和核。

2. 首先是子空间象和原象的概念: Ｖ的子空间Ｖ/在σ之下的象是 σ（Ｖ/ )＝｛σ(ξ)│ξ∈Ｖ/｝. Ｗ的子空间Ｗ/在σ之下的原象是 σ-1(Ｗ/)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)∈Ｗ/｝ σ的象记为 Im(σ)，它就是Ｖ在σ之下的象，即 Im(σ)＝σ（Ｖ）。

3. σ的核记为 ker(σ)，它就是Ｗ的零子空间在σ之下的原象，即 • ker(σ)＝｛ξ∈Ｖ│σ(ξ)＝０｝ • 可以看出 ker(σ) 就是σ(ξ)＝０的解的集合。例如 sin x 的核就是 sin x＝0 的解的集合｛kπ│k＝0,±1,±2,…｝，注意σ(ξ)＝０的形式，它是齐次线性方程组或由它可变为齐次线性方程组，因此有时求核就是求解一个齐次线性方程组

4. 线性映射的其它性质 ◆线性映射为满射和单射的充要条件： σ为满射等价于 Im(σ)＝Ｗ； σ为单射等价于 ker(σ)＝｛０｝. ◆Ｖ的子空间的象是Ｗ的一个子空间，特别 Im(σ) 是Ｗ的子空间。 ◆Ｗ的子空间的原象是Ｖ的子空间，特别 ker(σ)是Ｖ的子空间。 ◆线性映射的合成映射,线性映射的逆映射(如果存在的话)仍是线性映射

5. 线性变换的运算 • 令Ｖ是数域Ｆ上一个向量空间。Ｖ到自身的一个线性映射叫做Ｖ的一个线性变换。用Ｌ(Ｖ)表示向量空间Ｖ的一切线性变换所成的集合，设σ，τ，ρ∈Ｌ(Ｖ)

6. ▲加法：和σ＋τ的定义 (σ＋τ)(ξ)＝σ（ξ）＋τ（ξ）且Ｌ(Ｖ)对加法作成一个加群，即满足向量空间定义中的前四个公理。 ▲ 纯量乘法：纯量积ｋσ的定义 (ｋσ)(ξ)＝ｋσ（ξ）， 满足向量空间定义中的第七，八个公理，对加法则满足分配律。 ◆Ｌ(Ｖ)对加法和纯量乘法作成一个向量空间。零向量即为零变换θ。

7. ▲乘法:积στ的定义 (στ)(ξ)＝σ(τ(ξ)) 即σ与τ的合成映射称为σ与τ的积. 注意与函数有关定义的差别,数学分析中,两个函数的积不是它们作为映射的积,两个函数的复合函数才是它们作为映射时的积. 此外,σ(ξ)·τ(ξ)是没有定义的.关于线性变换的积的算律与矩阵的积的算律是相同的,线性变换的乘法不满足交换律,消去律,这是需要注意的. ▲幂：σn＝σσ…σ， σ0＝ι

8. 线性变换与矩阵 在数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ中可以利用Ｖ的基给出Ｖ的线性变换σ的矩阵表示Ａ.从而把讨论线性变换的问题转化为用矩阵来处理,讨论起来既具体又简单,并且提供了丰富的内容,同时使我们看到矩阵工具的使用.在学习这部分内容时要逐步体会利用矩阵解决问题的方便以及熟练掌握Ｖ的线性变换σ与Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ的对应关系

9. ▲线性变换和矩阵的一一对应关系 设σ∈Ｌ(Ｖ),α1,α2,…,αn为Ｖ的基,σ(αj)＝ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn,1≤j≤n 即（σ(α1)，…，σ(αn)）＝（α1,…,αn）Ａ 则称ｎ阶矩阵Ａ＝(ａij)为线性变换σ关于基α1,α2,…,αn的矩阵,它的第j列元素就是σ(αj)关于基α1,α2,…,αn的坐标.这样,取定Ｖ的一个基后,对于Ｖ的每一个线性变换,有唯一确定的ｎ阶矩阵与它对应.特别,θ→Ｏ,ι→E

10. 反之，由于对于任意给定的ｎ个向量β1，β2，…，βn，有唯一的线性变换σ,使得σ(αj)=βj，因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij)若令反之，由于对于任意给定的ｎ个向量β1，β2，…，βn，有唯一的线性变换σ,使得σ(αj)=βj，因此,对于任意ｎ阶矩阵Ａ=(ａij)若令 • βj=ａ1jα1＋ａ2jα2＋…＋ａnjαn 1≤j≤n 则σ关于基 • α1，α2，…，αn的矩阵即为Ａ

11. ▲ Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系 Ｌ(Ｖ)与Ｍn（Ｆ）的同构关系不仅保持加法和纯量乘法，而且还保持乘法， 即若σ→Ａ，τ→Ｂ，则 σ＋τ→Ａ＋Ｂ，ｋσ→ｋＡ，στ→ＡＢ，此外， σ可逆等价于Ａ可逆，且σ-1 → Ａ-1。

12. ▲相似矩阵ｎ阶矩阵Ａ相似于Ｂ定义:存在可逆矩阵Ｔ,使得Ｔ-1ＡＴ＝Ｂ。 相似矩阵与向量的等价关系一样具有自反性，对称性和传递性。 ▲ 线性变换关于不同基的矩阵是相似矩阵，反之，任意两个相似矩阵都可 看成一线性变换关于不同基的矩阵。

13. 思考题 • 在有限维线性空间中，线性变换σ的性质与线性变换的象和核有什么关系？ • Fn[x]中，微商线性变换的象与核是什么？ • 作业：P326－14、15