DISTRIBUSI PROBABILITAS,DISTRIBUSI NORMAL & DISTRIBUSI SAMPLING

1. DISTRIBUSI PROBABILITAS,DISTRIBUSI NORMAL & DISTRIBUSI SAMPLING DITA HASNI M. ANWAR ERNAWATI SEMBIRING

2. DISTRIBUSI PROPABILITAS • distribusiprobabilitasadalahpenyusunandistribusifrekuensi yang berdasarkanteoripeluang. Olehkarenaitu, disebutdistribusifrekuensiteoritisataudistribusipeluangataudistribusiprobabilitas.

3. Dasar penyusunan distribusi propabilitas • 1. berdasarkan teori peluang • 2. berdasarkan subjektif • 3. berdasarkan pengalaman

4. Berdasarkan data yang diperolehmakadistribusiprobabilitasdapatdibagi: • distribusiprobabilitas yang deskrityaitu • Distribusi binomial • distribusimultinomial, • distribusi poison • distribusihipergeometris • distribusipascal. • distribusiprobabilitaskontinuadalahdistribusi normal

5. Distribusi binomial • Distribusiiniditemukanolehseorangahlimatematikaberkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli. Olehkarenaitudistribusi binomial inidikenaljugasebagaidistribusibernauli. • Dalammenggunakandistribusi binomial terdapat 3 syarat yang harusdipenuhi,yaitu: • 1.Tiapperistiwaharusmempunyai 2 hasil. • 2.Probabilitasdarisetiapperistiwaharusselalutetap. • 3.Event yang dihasilkanbersifatindep

6. RumusnPr= n! Prqn-r • r! (n-r)! • P= probabilitas yang kitainginkan • q= 1-p • n= banyaknyaperistiwa • r= jumlahsukses yang diinginkan

7. CIRI-CIRI DISTRIBUSI BINOMIAL • Ciripertamadistribusi binomial adalahbilajumlah n tetapdan p kecilmakadistribusi yang dihasilkanakan miring kekanandanbila p makinbesarmakakemiringanakanberkurangdanbila p mencapai 0,5 makadistribusiakanmenjadisimetris. Bila p lebihbesardari 0,5, makadistribusi yang dihasilkanakan miring kekiri. • Cirikeduanyaadalahbila p tetapdenganjumlah n yang makinbesarmakaakandihasilkandistribusi yang mendekatidistribusisimetris

8. Contoh: Probabilitasseorangbayitidakdiimunisasi polio adalah 0,2 (p). PadasuatuharidiPuskesmas "X" ada 4 orangbayi. Hitunglahpeluangdaribayitersebut 2 orangbelumimunisasi polio. Jadi, didalamkejadian binomial inidikatakan(r=2, n=4, p=0,2 q= 0,8) • Penyelesaian : Katakanlahbayitersebut A,B,C,D. Duaorangtidakdiimunisasimungkinadalah A&B, A&C, A&D, B&C, B&D, C&D.

9. Rumus : nPr = n! Prqn-r • r! (n-r)! • = 4! (0,2)2 (0,8)2 • 2! (4-2)! • = 0,154

10. Selainmemakairumus binomial, permasalahaninijugadapatdikerjakandenganmemakaitabel binomial, caranyaadalahdenganmenentukann.misalnyadaricontohsoaladalah 4, dilihatpadakolompertamakolomkeduaadalahkemungkinan x, dalampermasalahaniniadalah r=2. p dilihatpadabaris paling atasdalamhalini p=0,2, ditarikgarisdari p=20 sampaike n = 4dan r = 2, ditabeldidapatkan 0,973. Iniadalahpeluangkumulatifdari p (r=0) + p (r=1) + p (r=2). Jadikalaumaumendapatkan p(r=2) saja, maka 0,973-0,819 = 0,154

11. DISTRIBUSI MULTINOMIAL • satukeadaandimanadalamsatuperistiwamenghasilkanlebihdaridua event makadistribusi yang dihasilkanitudisebutdistribusi multinomial. • Bila trial dilakukan n kali makaprobabilitas r suksesdapatdihitungdenganrumus multinomial sebagaiberikut : • P (r1,r2,r3,....rk)= n! X (p1r1) (p2r2)......(pkrk) • r1!r2!.....rk! • r1+r2+r3..........rk= n • p1+p2+p3.......pk= 1

12. Contoh soal: • seorangdoktermelakukanpengobatansebanyak 6 kali terhadappenderitainfarkjantungdenganhasilsembuhsempurna, sembuhdengangejalasisa, danmeninggal. • Berapaprobabilitasdari 6 kali pengobatantersebutuntukmenghasilkan 2 orangsembuhsempurna, 2 orangsembuhdengangejalasisa, dan 2 orangmeninggal.

13. Penyelesaian soal • Sembuhsempurna= A • Sembuhdengangejalasisa= B • Meninggal = C • Maka PA=PB=PC=1/3 • n= 6 • r1=r2=r3= 2 • 6P2= 6!/ 2! 2! 2!X (1/3)2 (1/3)2 (1/3)2 • = 0,123.

14. DISTRIBUSI POISON • Distribusi poison mula-muladitemukanolehseorangahlimatematikaberkebangsaanPrancisbernama Simeon Denis Poison (1781-1849). Distribusi poison seringdigunakanpadapenelitianoperasionaluntukmenentukanprobabilitasperistiwa yang jarangterjadidalaperiodependek

15. Untukmenentukanprobabilitasdenganmenggunakandistribusi poison harusmengikutibeberapasyaratsebagaiberikut: • 1.Terjadinya event sangatjarangdalamperiodependek. • 2.Probabilitassetiapperiodeselalukonstan. • 3.Untukterjadinyabeberapa event dalamperiodependekhampirmendekatinol • 4.Merupakan event yang independent

16. Rumus: • P(X) = λxe- λ x! • P(X) = probabilitasterjadinya event • x! = x faktorial • λ = rata-rata terjadinya event per periodetertentu • e = 2,71828 • e- λ = dapatdilihatpadatabel poison

17. contoh : misalkandiketahuibahwadisuatudaerahterdapat 1,5% anakbalita yang menderitagizikurang.kitaambilsampelsebanyak 300 anak. Berapaprobabilitasuntukmendapatkananakdengangizikurang? • Misalkan x adalahjumlahanakdengangizikurangdalam 300 anakmaka; • λ = 1,5% x 300 =4,5 • bilatidakterdapatanakdengangizikurangmaka : • P(0) = (4,5)0 x e-4,5 • = 0,0111 • Dan probabilitasdiperolehanakdengangizikurangadalah 1-0,0111= 0,9889

18. Pendekatandistribusi binomial kedistribusi poison • Rumus: • P(X) = (np)x e- np x! Contoh: dariberbagailaporandiketahuibahwaterjadinyasyokanafilaktiksetelahmendapatkansuntikanpenisilanadalah 0,001. Bilakitainginmenyuntikkanpenisilinkepada 200 orang, berapaprobabilitasuntukterjadinyasyokanafilaktiksebanyak 0,1,2 danlebihdari 2.

19. np = 200 x 0,001 = 0,2 • P(0) = (0,2)0 (e-0,2)/ 0! • = 0,8187 • P(1) = (0,2)1 (e-0,2)/ 1! • = 0,16 • P(2)= (0,2)2 (e-0,2)/ 2! • = 0,01 • P(>2)= 1- [ P(0)+P(1)+P(2)] • = 1-[ 0,8187+0,16+0.01] • =1-0,9887 • = 0,0113 • Dari hasildiatasdapatdisimpulkanbahwaprobabilitasterjadinya 2 ataulebihsyokanafilaktikadalahsamadanmakinbesarprobabilitasmakaakansemakinkecilhasilnyaataupraktistidakterjadisyokanafilaktikpadapenyuntikan 200 orang

20. Distribusi hipergeometris • Merupakansalahsatudistribusiprobabilitasdenganvariasbel random diskrit yang digunakanuntukmengetahuipeluang yang terjadipadasampelbilakejadianserupapadapopulasidiketahui • X! x (N-X)! • x!(X-x)! (n-x)! [(N-X)-(n-x)!] • P(x)= N! • n! (N-n)!

21. Contoh : Padabangsalpenyakitdalamsuatu RS terdapat 60 penderitadan 5 diantaranya hepatitis. Bilakitamengambilsampelsebesar 10 orangpenderitasecaraacaksederhanamakaberapabesarnyaprobabilitasuntukmendapatkan 2 orangdengan hepatitis. • N= 60, X=5. n=10, x=2. • 5! x (60-5) • 2!(5-2)! (10-2)! [(60-5)-(10-2)!] • P(x)= 60! • 10! (60-10)! • = 0,16 atau 16 %

22. DISTRIBUSI PASCAL • Distribusiiniseringdisebutdistribusi binomial negatifkarenadasardistribusipascaladalahdistribusi binomial. Misalnyakitainginmengetahui trial keberapauntukmendapatkanhasil yang kesekiandalamsuatupercobaabBernauli. • P(x=r) = (n-1)! x prxqx-r • (r-1)! [ (x-1)!- (r-1)!]

23. Contoh: misalnya, kitamelakukanpemeriksaanmassalterhadappenduduksuatudaerah yang mempunyaipeluanguntukterkenapenyakit TBC sebesar 0,10. Bilaterdapat 50 orang yang expose to risk terhadap TBC makaberapakahprobabilitaspemeriksaanpadaorangke 10 yang merupakanorangke 5 terkena TBC. • Penyelesaiansoal: • P(x=5) = (10-1)! x (0,1)5 x(0,9)10-5 • (5-1)! [ (10-1)!- (5-1)!] • = 126 x 0,00001x 0,59049 • = 0,00074

24. DISTRIBUSI NORMAL • Definisi : suatu distribusi teoritis dari variabel random kontinu. • Sering disebut juga distribusi gauss. • Karl freidrich gauss mula - mula mengamati hasil pengukuran ulang yang sering terjadi pada nilai rata-rata dan penyimpangan ke kanan & ke kiri yang jauh dari nilai rata-rata makin jarang terjadi. distribusi simetris.

25. DISTRIBUSI NORMAL MEMEGANG PERANAN PENTING DALAM STATISTIK Disebabkan 2 hal : • Mempunyai beberapa sifat yang memungkinkan untuk dipergunakan dalam pengambilan kesimpulan dari hasil sampel. • sangat sesuai dengan distribusi frekwensi empiris.semua peristiwa dalam alam akan membentuk distribusi ini, sehingga disebut distribusi normal

26. CIRI-CIRI DISTRIBUSI NORMAL • Disusun dari variable random kontinu • Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal) • Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean, median dan modus terletak pada satu titik. • Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.

27. CIRI-CIRI DISTRIBUSI NORMAL • Peristiwa yang dimiliki tetap independen. • Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.

30. DISTRIBUSI NORMAL STANDAR • Kurva distribusi normal bukan satu, tetapi merupakan sekumpulan kurva yang punya ciri-ciri yang sama. harus ditentukan satu distribusi normal yang standar. • Kurva ini disusun secara teoritis, hingga dalam kehidupan yang nyata tidaklah tepat, tetapi hanya mendekati atau mirip normal.

31. Y = 1 x e-½ (X - µ) ²σ√2 πσ • Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal : 1. cara ordinat: Menggunakan rumus distribusi normal berikut : µ = rata-rata σ = simpangbaku π = 3,1416 (bilangankonstan) e = 2,7183 (bilangankonstan) X = absisdenganbatas -∞ < X < π

32. Dengan rumus diatas : • Setiap harga X akan memperoleh harga Y, bila nilai X dilakukan dalam jumlah yang tak terhingga akan menghasilkan bentuk kurva distribusi normal. cara ordinat • Setiap pasangan µ dan σ dapat membentuk kurva normal,shg terdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan. • Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya bila σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi. • Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau dengan µ dan σ yang berbeda.

36. 2. Cara luas • Seluruh luas kurva = 1 atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama. • Berarti luas tiap belahan adalah 50%. • Setiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva. • Untuk penyimpangan ke kanan dan ke kiri -.penyimpangan 1 SD, 68,2% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 2 SD, 95,5% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 3 SD, 99,7% dari seluruh luas kurva.

38. “Kurva normal standar” • Standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus : Z = x - µ σ x = nilai variable random µ = rata-rata distribusi σ = simpang baku Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD.

39. Standar perlu karena variabel random distribusi normal mempunyai satuan yang berbeda-beda. Misalnya: cm, kg, tahun dll. • Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit SD. Misalnya : luas 95% adalah 1,96 SD. • untuk transformasi menjadi distribusi normal standar dinyatakan µ = 0 dan σ = 1

41. PENGGUNAAN TABEL DISTRIBUSI NORMAL • Tabeldistribusi normal standarterdiridarikolomdanbaris. • Kolom paling kirimenunjukkannilai Z, terteraangka 0 sampai 3 dengansatudesimaldibelakangnya • Desimalberikutnyaterletakpadabaris paling atasdenganangkadari 0 sampai 9.

42. PENGGUNAAN TABEL DISTRIBUSI NORMAL • Misalnyadarihasilperhitungandiperolehnilai Z = 1,96 • Makadikolomkirikitacari nilai1,9 danbarisataskitacariangka 6 • Dari kolom 6 bergarakkebawah, hinggapertamuantitikyanamenunjukkanangka4750, berarti 47,5% • Karenatabelinimemuat ½ luaskurva, makaseluruhluaspada Z ± 1,96 = 2 x 47,5 % = 95 % • Karenaluaskurvakekanandankekirisama, makaluaspenyimpangan 1,96 kekanandankekiridari rata-rata adalah 0,95 (95%).

44. Contoh penggunaan tabel distri busi normal: • Diketahui nilai Z = 0,2054 • Berapakah nilai kolom kiri dan baris atasnya ?

45. Aplikasi distribusi normal • Sebagai contoh aplikasi distribusi normal, dilakukan suatu evaluasi thd pengobatan TB menggunakan Rifampicin dengan rata-rata kesimpulan 200 hari dan standar deviasinya sebesar 10. Berapakah probabilitas kesembuhan antara 190 dan 210? Jawab : Mula-mula dihitung nilai Z =210 Z= (210-200)/10 = 1=0,3413 jadi probabilitas kesembuhan 190 sampai 210 = 0,3413+0,3413=0,6826=68,26%

46. Distribusi Sampling

47. Distribusi sampling adalah distribusi dari mean-mean yang diambil secara berulang kali dari suatu populasi

48. Merupakan dasar atau langkah awal dalam statistic inferensial sebelum mempelajari teori estimasi, dan uji hipotesis .

49. Sifat distribusi Sampling • Central limit theorem (teorema nilai tengah) sifat 1 Sampel random n elemen diambil dari populasi normal, mempunyai Mean=µ, Varian=σ2

50. Distribusi sampling Mean =µ, Varian =σ2/n sd (SE)=σ/√n (Standar deviasi distribusi sampel harga mean)