我们已经知道，分布函数（或概率分布、密度函数）全面地描述了随机变量的统计规律。 但是无论从理论或者应用的角度来看，从某些侧面粗线条地描述随机变量的统计规律仍是十分必要的。

1. 第五章 数字特征和特征函数 我们已经知道，分布函数（或概率分布、密度函数）全面地描述了随机变量的统计规律。 但是无论从理论或者应用的角度来看，从某些侧面粗线条地描述随机变量的统计规律仍是十分必要的。 首先，全面地反映与描述没有突出重点； 其次，在实际应用中要全部掌握一个随机变量的分布也是困难的。事实上，只要能了解几个充分反映出分布特点的数值指标就够用了。这些数值指标就是随机变量的数字特征，它们是本章要讨论的主要内容。 随机变量有许多数字特征，我们主要介绍数学期望、方差和相关系数，它们分别表示随机变量一切可能值的集中位置、集中和分散的程度以及随机变量之间相依的程度。 另外，本章第四节的特征函数，不作介绍。

2. 第一节 数学期望 一、　数学期望的定义 先看一个例子，引出离散型随机变量数学期望值的定义。 假设有三个射手，他们射击命中目标的环数分别为离散型 随机变量 X，Y，Z，它们的概率分布分别为： 试比较谁的射击技术更好？ 由上述讨论的启发，我们引出离散型随机变量数学期望的定义。 即平均值的定义。不但要考虑其取的值，还要考虑其概率。

3. 定义 5-1 设 X 是离散型随机变量，其概率分布为 若级数 绝对收敛，则称该级数的和为随机变量 X 的数学期望（mathematical expectation） （或均值（mean value）），记作 ，即 若级数 不是绝对收敛，即 则称随机变量 X 的数学期望不存在。 随机变量 X 的数学期望反映了 X 取值的平均值，它由 分布完全决定。当分布给定时，数学期望为一数值（常数）。 我们假定级数绝对收敛，因而保证了级数的和与求和的 次序无关。

4. Ｘ 0 1 例 5-1 若随机变量 X 服从 0-1 分布，试求它的数学 期望 EX。 解 0-1 分布的分布律为： 故有： 服从 0-1 分布的随机变量 X 的数学期望为 ： p 。

5. Ｘ 0 1 2 ……k …… 例 5-2 若随机变量 X 服从参数为λ的普阿松分布，即 X～P（λ），试求它的数学期望 EX。 解 因为参数为λ的普阿松分布为： 于是：

6. Ｘ 1 2 3 ……k …… 例 5-3 若随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，即 X～G（p），求 X 的数学期望 EX。 解 X 服从参数为 p 的几何分布：分布律为： 故有： 由于 两边求导： 上式令 x=1-p 即 所以：

7. 分值 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 例 5-4 有一游戏，在一袋中有形状大小完全一样的20个 球，其中红、白球各10个，记红球为10分，白球为5分。游戏 的规则为：某人从袋中随机地抽取10个球，并且将 10个球的 分值相加，根据相加的分值由以下的表进行奖罚： 其中三项负的表示应罚的金额。 请问：你认为这样的游戏方式对他有利吗？试分析说明。 设 X 表示抽取10个球中红球的个数，显然 X 服从超几何分布，即 则有 经计算得

8. 分值 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设 X 表示抽取10个球中红球的个数，显然 X 服从超几何分布，即 则有

9. 分值 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 奖（元） 50 30 20 10 -3 -5 -3 10 20 30 50 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y -5 -3 10 20 30 50 P 34.37% 47.74% 15.59% 2.191% 0.108% 0.001% 设 X 表示抽取10个球中红球的个数，显然 X 服从超几何分布，即 相应的分值分布为： 则有红球的个数 X 的分布： 奖金 分值 再设 Y 表示每次游戏所奖的金额数（单位为元）， 所以 Y 的概率分布为： 则由数学期望的定义可得

10. 假设 X 是一个连续型随机变量，其密度函数 取分点 ，记 则 X 落在区间 中的概率为 当Δxi充分小时,就有 此时，X’的概率分布为 离散型随机变量X′可以看做是X的一种近似，而这个离散型随 机量X′的数学期望为： 这种近似也就愈好，故 当分点愈密时，即

11. 定义 5-2 设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 若积分 绝对收敛，即 则称 为随机变量 X 的数学期望 （mathematical expectation）。记作: 即 若积分 不是绝对收敛，即 则称随机变量 X 的数学期望不存在。 与离散型随机变量一样，连续型随机变量 X 的数学期 望反映了 X 取值的平均值，它由分布完全决定。当分布给 定时，数学期望为一数值（常数）。

12. 例5-5设 X 服从均匀分布，即X~U［a，b］，试求 X 的数学期望。 解 均匀分布 X~U［a，b］的密度函数为： 故有： 均匀分布的数学期望，正好是区间［a， b］的中点。

13. 例 5-6 设 X 服从参数为λ的指数分布，即X~Exp（λ）， 试求 X 的数学期望 EX。 解 X 的密度函数为： 故有：

14. 例 5-7 设 X 服从正态分布，即 试求 X 的数学期望 EX。 解 令

15. 二、 随机变量函数的数学期望 对于随机变量 X 的函数 也是随机变量，则 也可利用定义来求数学期望。 但是，这样做往往比较烦琐。我们可以应用下列的定理， 直接利用 X 的概率分布或密度函数去求出 从而避免了求解 Y＝f（X）的分布的过程。 定理 5-1 设 Y＝f（X）为随机变量 X 的函数，且f（X） 的数学期望存在： （1）若 X 为离散型随机变量，其概率分布为 则 （2）设 X 为连续型随机变量，其密度函数为 p（x）， 若 Y = f（X）也是连续型随机变量，则

16. 定理 5-1 设 Y＝f（X）为随机变量 X 的函数，且f（X） 的数学期望存在： （1）若 X 为离散型随机变量，其概率分布为 则 （2）设 X 为连续型随机变量，其密度函数为p（x）， 若 Y = f（X）也是连续型随机变量，则 证明（1）因为X 和 Y 的分布律为： 显然有： 证明（2） 略。

17. 对于随机向量（X， Y）的函数 Z＝f（X，Y）,我们有以 下类似的结论。 定理 5-2 设 Z＝f（X，Y）为随机向量（X，Y）的函数， 且 存在： （1）若（X，Y）为离散型随机向量，其联合概率分布为 则 （2）若（X，Y）为连续型随机向量，其联合密度函数为 则 定理 5-1和 定理 5-2 在理论上和实用上都有重大意义， 这里我们举一些例子说明其应用。 证明 略。

18. 例5-8 设随机变量 X 服从参数为 λ 的普阿松分布，即 的数学期望 : 试求 解 由定理 5-1（1）可知，

19. 例 5-9 设随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，即 的数学期望 : 试求 解 X 的概率分布为: 由定理 5-1（1）可知， 再由例 5-3 可知， 即 两边对 p 求导，得 即 从而

20. 例 5-10 设 X 服从均匀分布，即 的数学期望 : 试求 解 由定理 5-1（2）可知，

21. 例 5-11 设 X 服从参数为λ的指数分布，即 的数学期望 : 试求 解 由定理 5-1（2）可知，

22. 例 5-12 设（X， Y）的联合概率分布为 试求 解

23. 例 5-13 设随机变量 X，Y 相互独立，且均服从 分布，试求 解 因为 且 X， Y 独立， 则（X， Y）的联合密度函数为: 则

24. 例 5-14 设某种商品每周的需求量X是服从区间［10，30］上均匀分布的随机变量， 而经销商店的进货数量为［10，30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。 解 设进货量为 a，10 ≤ a ≤ 30，且用 Y 表示利润，则 显然 Y 为 X 的函数，记Y＝f（X），从而期望利润为

25. 例 5-14 设某种商品每周的需求量X是服从区间［10，30］上均匀分布的随机变量， 而经销商店的进货数量为［10，30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。 解 设进货量为 a，10 ≤ a ≤ 30，且用 Y 表示利润，则 为使商店所获利润期望值不少于9280元，有： 即： 解不等式得： 最少进货量为 21 单位。

26. 三、 数学期望的性质 随机变量的数学期望具有下述基本性质，其中假设性质 中的数学期望均存在。 性质 5-1 设 c 为常数，则 证明 第一式中的常数 c 可看做特殊的随机变量，即 X ≡ c， 则其概率分布为P（X＝c）＝1，从而 第二式仅证离散型情形 第三式仅证连续型情形 性质5-1可概括为： ,其中a，b，c为常数。

27. 性质 5-2 证明 （仅证离散型情形 ） 性质 5-2 可推广为： 由归纳法易证。更一般地， 其中， ci， i＝1， …， n 为常数。

28. 性质 5-3 若 X 与 Y 相互独立，则 证明 （仅证连续型情形 ） 性质 5-3 可推广为：若 X1，X2，…，Xn相互独立，则 由归纳法易证。略 性质 5-1，2，3 及其推广提供了求数学期望的方法。

29. 定理 5-3 （柯西—施互茨（CauchySchwarz）不等式） 证明 对任意的实数 t， 考虑 由于对于任意的实数 t 恒有 即 故判别式Δ≤ 0， 即 从而

30. 第i个车站有旅客下车 第i个车站没有旅客下车 例 5-15 一民航机场的送客汽车载有20位旅客，自机场开出，沿途有10个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。以 X 表示停车次数，求 EX（假设每个旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。 解 设 则 因此，为求 EX，只需求 即可。 由于任一旅客在第i个车站不下车的概率为 9/10，又旅客是 否下车是彼此独立的，因此，20个旅客在第i个车站都不下车 的概率为 ，在第i个车站有人下车的概率为 即Xi的概率分布为：

31. 第i个车站有旅客下车 第i个车站没有旅客下车 例 5-15 一民航机场的送客汽车载有20位旅客，自机场开出，沿途有10个车站。如到达一个车站没有旅客下车，就不停车。以 X 表示停车次数，求 EX（假设每个旅客在各个车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立）。 解 设 则 因此，为求 EX，只需求 即可。 即Xi的概率分布为： 从而 ，故由性质的推广知， 即送客汽车平均停车 8．784。

32. 第i次试验A发生 第i次试验A不发生 例 5-16 设 X 服从二项分布，即 试求 EX。 解 由第三章二项分布可知，X 可看做 n 次独立重复试 验中事件 A 发生的次数，且P（A）＝p，令 则 相互独立且都服从参数为 p的 0-1 分布。 易知有 故由性质 5-2 的推广知，

33. 四、 矩 （略） 如果需要进一步研究数字特征，则需讨论随机变量的矩， 它在概率论与数理统计中占有重要地位。最常用的矩有两种： 一种是原点矩，一种是中心矩。 定义5-3 如果 为任意正整数，则称 为随机变量 X 的 k阶原点矩（origin moment）， 而称 为随机变量 X 的 k 阶中心矩 （central moment）。 显然，数学期望是一阶原点矩 m1。运用初等不等式 可知，若随机变量 X 的高阶矩有限，则其低阶矩也有限。

34. 第五章 习题 （P133） 1*，4* (离散) 2*，3， (连续) 5，6*，7，8*，9，10， 11*(函数) 12*，13*，14，15，16

35. Ｘ -1 0 1 Y -20 0 20 第二节 方差 一、 方差的定义 数学期望描述了随机变量取值的平均值，即其是分布的 位置特征数，它位于分布的中心，随机变量的取值在其周围 波动。 方差是度量此种波动大小的最重要的特征数，下面分析 一个简单的例子，引出它的定义。 有下列两个随机变量的分布： 显然有： 但其取值的分散程度大不同。 可见，数学期望还不能反映随机变量取值的分散程度。

36. Ｘ -1 0 1 Y -20 0 20 有下列两个随机变量的分布： 显然有： 但其取值的分散程度大不同。 可见，数学期望还不能反映随机变量取值的分散程度。 设有一随机变量 X，称 X-EX 为偏差， 此种偏差可大可小，可正可负， 为了使此种偏差能积累起来，不至于正负抵消，可取绝 对偏差的均值 |X－EX| 来表示随机变量取值的波动大小。 由于绝对值在数学上处理不甚方便，故用 衡量偏差更合适。它也是随机变量，取其平均值 就可以作为刻画随机变量 X 取值的波动大小（或取值分散 程度）的一个数字特征。即方差 。

37. 定义 5-4 设 X 是一个随机变量，若 存在， 则称 为X的方差（variance），记为 DX 或 VarX， 即 方差的平方根,称为标准差或根方差（standard deviation）。 即 若 X 为离散型随机变量，其概率分布为 则按方差的定义有: 若 X 为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则按方差 的定义有:

38. 若 X 为离散型随机变量，按方差的定义有: 若 X 为连续型随机变量，其密度函数为p（x），则按方差 的定义有: 数学期望和方差是随机变量的最基本、最常用的两个数字特 征。 数学期望刻画了随机变量取值的平均位置，因而也有人称它 是位置特征； 方差刻画了随机变量偏离其数学期望的（分散）程度，方差 越小，随机变量取值越集中于数学期望的周围。称离散特征。 为计算方便，方差的公式也可简化为：

39. Ｘ 0 1 例5-17 若随机变量 X 服从 0-1 分布，试求 X 的方差。 解 由例 5—1 知: ,又 则 其中 又解： 则：

40. 例5-18 若随机变量 X 服从参数为λ的普阿松分布 ， 试求 X 的方差。 解 由例 5—2 知: ,又 则

41. 例5-19 设随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，即 ，试求 X 的方差。 解 X 的概率分布为 由例 5—3,5-9 知 ,及 则 其中

42. 例5-20 设随机变量 X 服从均匀分布，即 试求 X 的方差。 解 X 的概率分布为 由例 5—5,5-10 知 ,及 则

43. 例5-21 设随机变量 X 服从参数为λ的指数分布，即 ，试求 X 的方差。 解 X 的概率分布为 由例 5—6,5-11 知 ,及 则

44. 正态分布的参数 μ 是它的数学期望，参数 是它的方差。 例5-22 设随机变量 X 服从正态分布，即 试求 X 的方差。 解 X 的概率分布为 由方差的定义知，

45. 二、 方差的性质及切比雪夫不等式 随机变量的方差具有下述基本性质，其中假设性质中的方 差均存在。 性质 5-4 设 c 为常数，则 证明

46. 性质 5—5 若 X，Y 是两个相互独立的随机变量，则 证明 其中当 X 与 Y 独立时，有： 还可以将此性质推广到多个随机变量的情况，即设 相互独立的随机变量，则：

47. 例5-23 设随机变量 X 服从二项分布，即 试求方差 DX 。 解 X 的概率分布为 由例5--16可知， 其中 相互独立，且 都 服 从 参数为 p 的 0-1 分布，故由性质 5-5 的推广可知， 其中

48. 性质 5—6 随机变量 X 的方差 DX＝0 的充分必要条件是： X 取某个常数的概率为 1，即对某个常数 a，有 充分性为性质 5—4 的（1），必要性超出本书范围，证明从略。 定义 5-5 对任一随机变量 X，若 DX＞0，则称 为 X 的 标准化（standardized）随机变量。 性质 5-7 若 Y 为 X 的标准化随机变量，则 证明

49. 下面我们来介绍一个重要的不等式——切比雪夫 （Chebyshev）不等式。 定理 5-4（切比雪夫不等式）对任一随机变量 X，若 DX存 在，则对任一正数 ， 恒有： 先分析以上不等式的含义。见图：如有 即为： 令 则上式为： 而根据 原理，有：

50. 切比雪夫不等式只要知道随机变量的数学期望和方差，没 有用到随机变量的分布，这是切比雪夫不等式的优点，所以它 有很广泛的应用，是概率论中一个重要的基本不等式。然而也 正是由于这个原因，一般来说它给出的估计是比较粗糙的。 如前例，对于任一随机变量 X，若 则由切比雪夫不等式可得下述估计： 若 则由第三章正态分布可知， 即 比较前者（分布未知）和后者（分布已知）的结果，就可 知道前者的估计确实要粗糙得多。