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数学规划

数学规划. 一、 数学规划. 许多实际问题都可以归结为以下形式的 数学模型：. 线性规划 (linear Programming) 模型. 实例 某厂生产 A,B, C 三种产品 , 每种产品的单位利润分别为 12,18 和 15, 资源消耗和市场需求量如下表 , 求总利润最大的生产方案. A B C 限制 原料 1/ 单位产品 6 9 5 200

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数学规划

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Presentation Transcript

  1. 数学规划

  2. 一、数学规划 许多实际问题都可以归结为以下形式的 数学模型：

  3. 线性规划(linear Programming)模型

  4. 实例 某厂生产A,B, C三种产品,每种产品的单位利润分别为12,18和15,资源消耗和市场需求量如下表,求总利润最大的生产方案. • A B C 限制 • 原料1/单位产品 6 9 5 200 • 原料2/单位产品 12 16 17 360 • 人工/单位产品 25 20 12 780

  5. 解:设生产A,B,C分别为x1,x2,x3个单位,数学模型为:解:设生产A,B,C分别为x1,x2,x3个单位,数学模型为:

  6. LP问题的图解法(仅适用二维问题) • 实例 用图解法求解以下LP问题:

  7. 解: • 最优解为(4,4/3) • 最优目标值为44/3

  8. LP问题的标准型

  9. 特征 • 1.约束为等号形式 • 2. 3.

  10. LP问题的标准型 • 实例 将以下LP问题化为标准型:

  11. 解 • 令 模型化为:

  12. 得标准型为

  13. 称 为松弛变量,称 为剩余变量。

  14. 整数规划(Integer Linear Programming)模型

  15. 例1某百货商场每周需要售货人数如下： 规定每个员工每周连续工作 五天，休息两天。求总员工 数最少的排班方案。 • 周一 18人 • 周二 15人 • 周三 12人 • 周四 16人 • 周五 19人 • 周六 14人 • 周日 12人

  16. 例2某校篮球队准备从以下队员中选拔3名为正式队员，并使平均身高尽可能高，这6名预备队员情况如下表所示。例2某校篮球队准备从以下队员中选拔3名为正式队员，并使平均身高尽可能高，这6名预备队员情况如下表所示。 预备队员 号码 身高 位置 大张 1 193 中锋 大李 2 191 中锋 小王 3 187 前卫 小赵 4 186 前卫 小田 5 180 后卫 小周 6 185 后卫

  17. 队员的挑选要满足下列条件： • 至少补充一名后卫队员； • 大李或小田中间只能入选一名； • 最多补充一名中锋； • 如果大李或小赵入选，小周就不能入选。 • 试建立此问题的数学模型。 解: 则该问题的数学模型为:

  18. 上述形式的数学规划模型称为(0-1)规划

  19. ILP问题的图解法(仅适用二维问题) • 实例 用图解法求解以下ILP问题:

  20. 解: • 对应LP问题最优解为(4,4/3),不是ILP问题的可行解 • ILP问题的最优解为X*=(3,2),最优目标值为 z*=13,可行域顶点可以是非可行解

  21. 数学建模通常要完成两个重要的过程: 1.将实际问题抽象成一个数学模型 2.模型的求解 • 有些模型利用现成的数学软件求解是十分方便的.常用的数学软件有Lindo, Lingo和Matlab,其中Lindo和Lingo是专业的优化软件,在全国数学建模竞赛中,这些软件发挥了很大的作用. 例1和例2形式的数学模型都可以用上述三个 数学软件求解.

  22. LP问题的Lindo输入范例 MAX 3x1+2x2 ST 2) X1<4 3) X2<3 4) 2x1+3x2<12 END

  23. ILP问题的Lindo输入范例之一 MAX 3x1+2x2 ST 2) X1<4 3) X2<3 4) 2x1+3x2<12 END GIN2 (!表示前两个变量为一般整数)

  24. ILP问题的Lindo输入范例之二 MAX 3x1+2x2 ST 2) X1<4 3) X2<3 4) 2x1+3x2<12 END INT2 (!表示前两个变量为0-1整数)

  25. ILP问题的Lingo输入范例 MAX= 3*x1+2*x2; ST X1<4; X2<3; 2*x1+3*x2<12; @GIN(X1);@GIN(X2);

  26. ILP问题的Lingo输入范例之二 max 3x1+2x2 s.t. X1<4 X2<3 2x1+3x2<12 @bin(x1);@bin(x2);(!x1,x2为0-1变量)

  27. 谢金星教授在2003年庐山数模讲习班上演示的数学软件应用实例:谢金星教授在2003年庐山数模讲习班上演示的数学软件应用实例:

  28. 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 例3 加工奶制品的生产计划 每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？

  29. 每天 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤 1桶牛奶 12小时 或 获利16元/公斤 4公斤A2 8小时 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 24×3x1 获利 16×4 x2 目标函数 每天获利 线性规划模型(LP) 原料供应 劳动时间 约束条件 加工能力 非负约束

  30. 二、模型的Lindo求解 max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? No 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。

  31. 模型求解 reduced cost值表示当该非基变量增加一个单位时（其他非基变量保持不变）目标函数减少的量(对max型问题) OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 也可理解为： 为了使该非基变量变成基变量，目标函数中对应系数应增加的量

  32. 结果解释 max 72x1+64x2 st 2）x1+x2<50 3）12x1+8x2<480 4）3x1<100 end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROWSLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 三种资源 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）

  33. 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 影子价格 原料增1单位, 利润增48 时间加1单位, 利润增2 能力增减不影响利润 • 35元可买到1桶牛奶，要买吗？ 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！

  34. 结果解释 最优解不变时目标系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000 (约束条件不变) x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72) x1系数由243= 72 增加为303= 90，在允许范围内 不变！ • A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划

  35. 结果解释 • RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: • OBJ COEFFICIENT RANGES • VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE • COEF INCREASE DECREASE • X1 72.000000 24.000000 8.000000 • X2 64.000000 8.000000 16.000000 • RIGHTHAND SIDE RANGES • ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE • RHS INCREASE DECREASE • 2 50.000000 10.000000 6.666667 • 3 480.000000 53.333332 80.000000 • 4 100.000000 INFINITY 40.000000

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