新课程理念下的课题学习

1. 新课程理念下的课题学习 上海师范大学数理信息学院 陆新生

2. 一．课题学习的概念 • 研究性学习 研究性学习是指学生在教师指导下，从自然、社会和生活中选择和确定研究专题，以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动． • 课题学习 课题学习是将研究性学习的思想和方法体现在学科教学中，通过教师对教材内容的处理，把教学内容转化成课题，以课题为核心，综合多科教学内容，依靠学生的自主探索来完成“课题的学习”

3. 数学课题学习的形式 1.数学建模 2.数学实验 3.数学探究学习 4.数学主题阅读

4. 二．课题学习与新课程 1. 新课程标准与数学课题学习 (1)《全国义务教育数学课程标准》 2001年6月颁布 内容目标分为四个部分∶数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用 第一学段∶实践活动，第二学段∶综合应用，第三学段∶课题学习 (2)《普通高中数学课程标准》（实验） 2003年4月颁布 数学建模，数学探究，数学文化 (3) 《上海市中小学数学课程标准》（试行稿） 基础内容，拓展内容，专题研究与实践

5. 三．日本的课题学习 • 1989年改订并颁布的日本《中学校学习指导要领》（数学篇）规定在初中2、3年级要实行一种被称为“课题学习”的学习． • 1998年改订并颁布的新学习指导要领更把课题学习提前到了初一. • 高中阶段的课题研究 • 课题学习的目的 培育学生积极主动地致力于数学学习的欲望与态度，体会数学学习的快乐，知道数学思想方法的优越性，并进一步培养学生主动活用数学思想方法的态度.通过课题学习让学生感受到数学的有用性与数学学习的必要性，延展学生主动学习、解决问题的能力加深对数学思想方法的理解. • 课题类型∶综合课题，日常课题，发展课题

6. 日本学习指导要领中课题的条件标准 能够体会到学习的快乐与成就感，需满足以下的条件 每一个学生都能进行各种各样的思考,能在自 己解决过程中加入自己的创意，能积极主动地继续自己的追求． 每一个学生都能用自己的方法对结果作出预测. 在问题解决的过程中各种各样的数学思想方法能得到体现． 不停留于当前课题的解决，该问题应是一般化可能的． 能把评价的观点置于解题过程中出现的数学思想方法、数学思想方法的活用能力以及感受数学思想方法优越性的态度上．

7. 川口廷的观点 • 具有强烈刺激学生主动学习的要因与形式 • 具有能诱发学生多样的数学思考和创意的要因与形式 • 感受到课题解决的必要性、累积的数学知识和技能得到动员、由此知识和技能得到锤炼的课题 • 动员起来的知识和技能得到综合、综合功能得到发挥的课题 • 能不断从问题产生问题、（为追求一般化)学习能连续地展开的课题 • 解决的过程或结果能引导到问题的一般化或概括性规则发现的课题 • 急于知道解决的结果带来的魅力能成为吸引学生主动学习的牵引力的课题．为此，在目标的隐藏性、距离与学生的能力取得平衡，能品味问题解决的达成感与成熟感的课题

8. 四．几个课题例 （一）折纸问题 1. 芳贺第一定理 设BA＝BC＝1，BF＝a，则BE＝1/2，EF＝FC=1－a，由勾股定理得 解之得a＝3/8，EF＝CF＝5/8 利用△AHE、△BEF与△IHG的 相似关系可以求得 AH=2/3，EH=5/6，HI=1/6，GI=1/8，HG=5/24

9. 2.芳贺第一定理的一般化 (1)一般化1(中点→任意点)

11. (2)一般化2(正方形→长方形) ①复印纸的特征 长边∶短边= ∶1 ②两大系列A系列与B系列 A系列与B系列，A系列最大尺寸为A0，其面积为1平方米．容易推得两边 的长分别为 与 米，精确到毫米的话应为1189mm与841mm． B系列最大型号为B0，其面积为1.5平方 米．容易推得两边的长分别为 与 米，精确到毫米的话应为1456mm与1030mm，详细见下表.

12. A型、B型复印纸规格（单位mm）

13. 复印时的扩大与缩小 复印纸中的几个关系

14. ③复印纸的芳贺第一 定理折法（横放) 折法∶（略） 猜想∶ 确认∶

15. (3)一般化3(一边中点→正方形内任一点) EF所在直线的方程为 折痕线FG的方程为 注∶如果求出Rt△EFH各边的长，那么我们还能得到求毕达哥拉斯数 的一般公式

16. 3. 对芳贺定理的进一步探索 • 是以C为圆心，过B,D • 两点的圆的切线 • 2) 三角形的周长是正方 • 形的周长的一半. • 3) • 4) △与△的周长之和 • 等于△的周长. • 5) △的周长等于线段的长. • 6) △的内接圆的半径 • 等于线段的长.

17. 4. 芳贺第一定理的应用 利用芳贺第一定理我们可以折出任意的真分数，并能折得任意精度的角． (1)折分数 该怎样折任一分数? 方法1∶利用前述的芳贺定理一般化(1)中得到的y2的公式可知当x＝1/n时,y＝2/(n+1)，对折后可得1/(n+1)，即由1/n可折得1/(n+1)，这样我们由1/2开始可连续折可折得任一单位分数. 方法2∶利用前述的分数表可快速折得任一真分数

18. (2)折任意角 利用上面的结果，我们可以折出任意精度的角． 原理∶如右图所示，若要折的角α的正切值与某分数接近，则我们先想法折出该分数，把表示该分数的点E与点B连接得角α，则α即为所要折的角． 例∶由于tg32.00538…°＝5/8，所以只要折出表示5/8的点E，再折一条连接点B、E的折痕线即可得很精确的32°角

19. 利用顺藤摸瓜的方式可折出其他一些角 32° → 16° → 8° → 4°→ ＼ ＼ ＼ ＼ 68°→34°→17° 74°→37° 82°→41° 86°→ ＼ ＼ ＼＼ 66° 73° 53° 49° 这样我们可以折出48种角度的角．通过其它的一些辅助角，可以得到1～89°的所有角

20. 40°角的近似折法 因为 所以，只要我们能折出485/578就能得到相当 精确的40°角 实际上，只需进行三次芳贺第一定理折法， 便可得到485/578. 具体方法是∶ 先取前述的第一定理一般化1中，先取x为1/4得y2＝ 2/5，由此依次折出3/5、3/10便得7/10．再取x为7/10得y2 ＝14/17.最后取x为14/17,得y1＝93/578,并由此得485/578

21. 5.芳贺第二定理 芳贺第三定理

22. (二)斐波那契数列 1.斐波那契数列概述 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…… 2.作为教材的斐波那契数列 3.对斐波那契数列的一般探索 (1)作差，即从数列的第二项起用数列中的项减去它的前一项，做成一个新的数列．可以发现新的数列 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…… 除去首项0后得到一个新的Fibonacci数列 (2)作比∶如果我们尝试着从数列的第二项起，用数列中的项除以它的前一项，我们会发现这一比值慢慢趋于1.618．这个数马上让我们联想到黄金分割的0.618．看下面的表

24. (3)如果考虑数列中相邻两数的平方和会有什么结果吗?稍作尝试我们会发现相邻两数的平方之和也是数列中的数，如(3)如果考虑数列中相邻两数的平方和会有什么结果吗?稍作尝试我们会发现相邻两数的平方之和也是数列中的数，如 稍作归纳可得一般规律 同样对相邻两数的平方差进行归纳可得到一般规律

25. (4)接下来看数列中连续的三个数之间有何规律性的东西．任(4)接下来看数列中连续的三个数之间有何规律性的东西．任 取其中的三个数比如5，8，13，对其进行各种可能的初等运 算，这时会有多种可能性，其中之一是首尾两数之积与中间 数平方的差为1，即5×13－82＝1． 这一关系对其他数是否也成立呢．再取三个数，比如8，13， 21，经过检验发现上述关系不成立，但有132－8×21＝1． 对更多的数组进行检验后，我们能推测等比数列中，一般地 有规律

26. (5)再看数列中连续的四个数之间有何规律．任取其中的四个数比如3，5，8，13经过各种尝试我们也能发现这四个数之间有关系5×8－3×13＝1，而对于5，8，13，21这四个数则有8×13－5×21＝－1，一般地有，(5)再看数列中连续的四个数之间有何规律．任取其中的四个数比如3，5，8，13经过各种尝试我们也能发现这四个数之间有关系5×8－3×13＝1，而对于5，8，13，21这四个数则有8×13－5×21＝－1，一般地有，

27. (6)如果作更多的探索，比如考虑数列前n个数中相邻两数的乘积之和，那么我们又能归纳得到如下的规律(6)如果作更多的探索，比如考虑数列前n个数中相邻两数的乘积之和，那么我们又能归纳得到如下的规律

28. (7)如果我们象扩张自然数到整数那样对Fibonacci数列进行扩张的话，即按照将n推广到负整数的情形．容易逐个推得数列首项1左边的项为0，接下来依次为－1，－1，－2，－3，－5，－8，…….顺次将这些数与Fibonacci数列联合即得新的数列(7)如果我们象扩张自然数到整数那样对Fibonacci数列进行扩张的话，即按照将n推广到负整数的情形．容易逐个推得数列首项1左边的项为0，接下来依次为－1，－1，－2，－3，－5，－8，…….顺次将这些数与Fibonacci数列联合即得新的数列 ……，－8，－5，－3，－2，－1，－1，0，1，1，2，3，5，8，13，…… 可以发现规律

29. 4.用what if not策略来探讨斐波那契数列 (1)布朗有关问题设定的what if not策略 • 第0水准∶确定出发点 • 第1水准∶属性列项 • 第2水准∶属性否定 • 第3水准∶提出问题 • 第4水准∶问题分析 (2)数学教学中的问题设定 桥本吉彦的观点∶

30. (2)用what if not策略来探讨 • 属性列项 可列以下属性 a.这个数列从两个给定的数出发 b.这两个数是相同的 c.两个相同的数是1 d.数列是依次由前两项作和得出的 ………… • 否定属性 对每一属性的否定都会引起我们对从斐波那契数 列出发的讨论， 例∶否定属性b，我们看能提出什么问题或得出什么结论

31. 如果取两个数分别为2和1我们能得到的一个新数列为 2，1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…… 这被称为卢卡数列∶用Ln来表示这一数列的任一项，卢卡本人将2用L0来表示，意为第０项 我们考虑卢卡数列有什么性质，可以仿照前述的一般讨论. 特别讨论∶三数之间的关系与四数之间的关系 先取三个数∶4,7,11，7×7－4×11＝5 不是1，再取四个数∶3,4,7,11，中间两项的积与外侧两项的积之差也不等于1，但等于5．这是巧合吗.试试其他数．为什么等于5?如果换了最初的两个数，情况会是怎样?

32. 例∶否定属性a，取三个数，按照与斐波那契数列例∶否定属性a，取三个数，按照与斐波那契数列 或卢卡数列类似的规则构建数列中的各项，即按照 去构建，这样的数列被称为 托里波那契数列，最简单的情形为首三项分别取 0、0、1的情形.

33. （三) 球的表面积与体积 1.球的体积与表面积学习指导概况 现 状∶课程中的地位 指导方法∶ 问题所在∶ 设 问∶能否用问题解决教学 方式进行指导 →对球的体积与表面积求积问题作历史探究

34. 2.数学史上对球的求积问题的探索 (1)古希腊数学家∶阿基米德

35. 结论∶

36. 阿基米德对球的表面积所作的类推 球的面积为大圆面积的4倍 数学史家阿鲍的评论∶数学史上第一个大胆类推，且是最美的一个类推

37. (2)中国古代数学家的探索 《九章算术》少广章问题 24提示了球的体积公式 公式的由来，刘辉加注作了说明，其中之一图示如下 立方体体积∶圆柱体积＝4∶3 圆柱体积∶球体积 ＝4∶3 所以 立方体体积∶球体积＝16∶9

42. (3)中世印度数学家的工作 • 五世纪印度数学家天文学家阿耶波多一世给出了球体积与表面积的一个计算方法 • 对其由来后人 如右图的推测 • 对表面积公式 的推导∶ 用圆形布

44. (4)近代日本数学家的贡献 • 对玉率(球率)的探索 最初用9/16 《算用记》及毛利重能的《割算书》用 即0.493039（与立方体等积的想法,1600、1602) 百川治兵卫的《诸勘分物》(1622)用 即0.64（与圆锥等积的想法) 村松茂清将直径一尺的球等厚度分成100份看成圆台求积得与率0.524（比0.64少比0.49多) 村濑义益∶10000等分，用圆台公式，费时3年半求得球率0.5236

45. 而算圣关孝和用他的快速收敛的增约术 只需将球分成50、100、200等分，分别计算称为初积、中积、后积的三个情形的球体积，设它们为a、b、ｃ，能很快求出了较精确的球率 至于球的表面积，早期用大圆自乘除以4的方法 由来展开求积的想法

46. 矶村吉德给出了球的表面积的计算公式 • 这一方法立方体的表面积与体积之比的类比∶表面积＝体积×(6/d) • 建部贤弘用微分的思想即用球壳的体积除以球壳的厚度，从结果中归纳出球的表面积与圆周率成比例 • 关孝和则直观地得出球的表面积与体积的关系 • 两人关于问题解决方法优劣的观点

47. 3.考察 长期性与困难性 解决的方法 实测法；等积变形法；类比推理法；转换法；分割求积法 类推的作用 体积与表面积的关系 球的分割方法 球的表面积、体积与圆周率的关系

48. 五．课题学习的评价 • １．多面性与多样性 (1)多面性 情意面∶学生对课题是否关心，是否有兴 是否，是否积极主动地投入到课题的解决中去，想解决问题 认知面∶解决过程中使用的思想方法将成为主要的评价对象

49. (2)多样性 观察、面谈、感想文与课题报告 ①观察 ②面谈 (3)评价过程中教师的基本姿态 做加法不做减法

50. 六．今后的课题 • 课题学习用教材的开发 • 解决课题学习与知识、技能学习之间的关系 • 评价方法开发