第三节最大流问题

第三节最大流问题 §3.1 基本概念与定理 §3.2 求解网络最大流的方法（标号法）

第三节最大流问题 • 流量问题在实际中是一种常见的问题。如公路系统中有车辆流量问题，供电系统中有电流量问题等等。最大流问题是在单位时间内安排一个运送方案，将发点的物质沿着弧的方向运送到收点，使总运输量最大。

§3.1 基本概念与定理 设cij为弧（i，j）的容量，fij为弧（i，j）的流量。容量是弧（i，j）单位时间内的最大通过能力，流量是弧（i，j）单位时间内的实际通过量，流量的集合f={fij}称为网络的流。发点到收点的总流量记为v=v(f)。设D=(V,A)是一有向图且对任意E均有容量cij =（vi，vj），记C={cij︱（vi，vj）∈A},此外

D中只有一个源vs和汇vt( 即D中与vs相关联的弧只能以vs为起点，与vt相关联的弧只能以vt为终点)，则称D=(V,A,C, vs,vt)为一网络。例6.3.1图6-3-1给出了一张网络，其中：vs为源，vt为汇，弧旁的数字为该段弧的容量cij与流量fij，则显然有0≤fij ≤cij。

最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图6-3-1最大流问题的线性规划数学模型为最大流问题可以建立如下形式的线性规划数学模型。图6-3-1最大流问题的线性规划数学模型为 max v=fs1+fs2 所有弧(i,j) 由线性规划理论知，满足式上式的约束条件的解{fij}称为可行解，在最大流问题中称为可行流。

可行流满足下列三个条件： ⑴ ⑵ ⑶ 条件（2）和条件（3）也称为流量守恒条件。

在图D中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+，与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。在图D中，从发点到收点的一条路线称为链，从发点到收点的方向规定为链的方向。与链的方向相同的弧称为前向弧，前向弧集合记为u+，与链的方向相反的弧称为后向弧，后向弧集合记为u-。设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs到收点vt到的链u满足：（1）所有前向弧上fij＜cij • (2)所有后向弧上fij＞0 则称链u为增广链.

设S,T∈V,S∩T=Ø,vs∈S,vt∈T则称（S，T）={（vi，vj）︱vi∈S,vj∈T}为图D的一个割集；称C（S，T）= 为割集（S，T）的容量。显然对任意可行流f及任意割集（S，T）总有V(f)=C(S,T).故有某个可行流f*及某一割集（S*，T*）使得V(f*)= C（S*，T*），则f*为D的最大流，（S*，T*）为最小容量割集。定理6.3.1图D上的可行流f*是最大流的充要条件是D上不存在关于f*的增广链。

§3.2求解网络最大流的方法（标号法） 标号法是一种图上迭代计算方法，该算法首先给出一个初始可行流，通过标号找出一条增广链，然后调整增广链上的流量，得到更大的流量。再用标号找出一条新的增广链，再调整直到标号过程不能进行下去为止，这时的可行流就是最大流。

标号法步骤如下： 第一步找出一个初始可行流fij(0),例如所有弧的流量fij(0) =0. 第二步对点进行标号找出一条增广链。（1）起点标号（∞）（2）选一个点vi已标号且另一端未标号的弧沿着某条链向收点检查（a）如果弧是前向弧且有fij＜cij，则vj标号 θj=cij﹣fij （b）如果弧是后向弧且有fij﹥0，则vj标号θj=fij

当收点已得到标号时，说明已找到增广链，依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束当收点已得到标号时，说明已找到增广链，依据v的标号反向追踪得到一条增广链。当收点不能得到标号时，说明不存在增广链，计算结束第三步调整流量 (1) 求增广链上点的vi标号的最小值，得到调整量号 = (2) 调整流量

fij+θ（vi，vj）∈u+ f1= fij﹣ θ（vi，vj)∈u- fij（vi，vj ) u 得到新的可行流f1，去掉所有标号，返回到第二步从发点重新标号寻找增广链，直到收点不能标号为止。

例6.3.2用标号法求网络最大流（图6-3-1），弧旁数字为（cij，fij(0)）。例6.3.2用标号法求网络最大流（图6-3-1），弧旁数字为（cij，fij(0)）。解（1）标号过程。见图6-3-2。（2）增广链为{vs，v1，v2，v3，vt} （注意（v2，v1），（v3，v2）∈u- ）。（3）调整量θ=2调整后得图6-3-3。（4）二次标号过程。见图6-3-3。

标号无法进行下去，最大流流量V(f*)=3+6=9，最小割集（S*，T*）, S*={vs}, T*={ v1，v2，v3，v4，vt}。

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