1. Η Ασαφής Λογική και οι Τεχνολογικές Εφαρμογές της

1. 1. Η Ασαφής Λογικήκαι οι Τεχνολογικές Εφαρμογές της • Γράφημα Ασαφούς Συστήματος Ελέγχου με χρήση του MATLAB

2. Η ΑΣΑΦΕΙΑ και ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑτης γλώσσας που μιλάμε και της γκρίζας πραγματικότηταςστα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ "So far as laws of mathematics refer to reality, they are not certain. And so far as they are certain, they do not refer to reality". Albert Einstein (1879-1955) “Geometrie und Erfahrung”, Ομιλία στην Πρωσική Ακαδημία (1921)

3. Αριστοτέληςο δημιουργόςτης Δίτιμης (0-1) Λογικής • «Mια λογική πρόταση μπορεί να είναι αληθής (1) ή ψευδής (0), αποκλείοντας τρίτη λύση» Αρχή της του Τρίτου Αποκλείσεως (Αριστοτέλης-Όργανον ή Λογική) Ο Αριστοτέλης (Στάγειρα, 382-322 π.Χ.) ήταν αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος (Περιπατητική Σχολή), μαθητής του Πλάτωνα και δάσκαλος του Μ. Αλέξανδρου. Υπήρξε σοφός μεγαλοφυής, δημιουργός της δίτιμης (0-1) Λογικής, μέγας φυσιοδίφης και ο σημαντικότερος από τους διαλεκτικούς της αρχαιότητας.

4. 1.1. Η κλασική δίτιμη (0-1)Αριστοτέλεια λογική • Η κλασική δίτιμη (Αριστοτέλεια) λογική είναι γνωστή από την Αρχαιότητα (500 π.Χ.), θεμελιώθηκε από τους αρχαίους Έλληνες φιλόσοφους (Αριστοτέλης, Πυθαγόρας, Στωικοί-Χρύσιππος, κ.λπ.) και αποτελεί τη βάση της λεγόμενης δυτικής σκέψης και του δυτικού πολιτισμού. • Σύμφωνα με την κλασική δίτιμη λογική μια λογική πρόταση μπορεί να πάρει μόνον δύο τιμές, δηλ. μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής (1 ή 0), αποκλείοντας τρίτη λύση (Αρχή της Απόκλεισης του Τρίτου). Έτσι σύμφωνα με τη Δίτιμη Λογική, αν μια λογική πρόταση δεν είναι αληθής (άσπρη) τότε θα είναι αναγκαία ψευδής (μαύρη), ενώ αν δεν είναι ψευδής τότε θα είναι αναγκαία αληθής.

5. 1.2. ΕναιΣτορικολογικοπαρΑδοξοτηςΔΙτιμηΣ (Αριστοτέλειας) ΛογικΗΣ • Το παράδοξο του Κρητικού Επιμενίδη: "Κρῆτεςἀεὶψεῦσται - Οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα“:Ο Επιμενίδης λέει ότι οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα Ο Επιμενίδης όμως είναι Κρητικός Άρα ο Επιμενίδης λέει ψέματα, ότι οι Κρητικοί ψεύδονται Άρα οι Κρητικοί λένε την αλήθεια Άρα και ο Επιμενίδης λέει την αλήθεια Άρα οι Κρητικοί είναι ψεύτες, κ.ο.κ. (φαύλος κύκλος). • Δηλ. ο Κρητικός Επιμενίδης ψεύδεται όταν λέει ότι όλοι οι Κρητικοί λένε πάντα ψέματα; Εάν ψεύδεται, λέει την αλήθεια. Αλλά εάν λέει την αλήθεια, τότε ψεύδεται. Αντίφαση της δίτιμης Λογικής

6. 1.3. Δίτιμη Λογική καιΠλειότιμη-Ασαφής Λογική Η δίτιμη Αριστοτέλεια λογική επικράτησε πλήρως απότον 10ο αιώνα στον δυτικό πολιτισμό, για δύο κυρίως λόγους: • 1ο) γιατί απλουστεύει κατά πολύ τη συλλογιστική των προβλημάτων, και • 2ο) γιατί αποδίδει απόλυτη «βεβαιότητα» στην απόδειξη και αποδοχή της «αλήθειας». Όμως αυτή η απόλυτη «βεβαιότητα» της δίτιμης λογικής καθώς και οι φυσικές ατέλειες της «ασπρόμαυρης» συλλογιστικής της, αποδείχθηκαν «ανθρωπο-λογικά» ανεπαρκείς για την ερμηνεία τόσο της φυσικής γλώσσας και της ανθρώπινης συμπεριφοράς, όσο και της συνήθως ασαφούς πραγματικότητας που μας περιβάλλει.

7. Η Ασαφής Λογική είναι επέκταση της Δίτιμης Λογικής, από το δίτιμο σύνολο {0,1} στο απειρότιμο [0,1] • Η Ασαφής Λογική είναι η προσπάθεια των επιστημόνων και κυρίως αυτών που ασχολούνται με την “τεχνητή νοημοσύνη” να μελετήσουν και να μαθηματικοποιήσουν τη δομή της φυσικής γλώσσας του ανθρώπου. • Με την ασαφή λογική θα θέλαμε ξεκινώντας από τη δίτιμη κλασική λογική (0 ή 1) να την επεκτείνουμε εισάγοντας, ασάφεια, αοριστία, αβεβαιότητα κτλ, έτσι ώστε αφενός να προσεγγίζει την εκφραστική δύναμη και απλότητα της φυσικής γλώσσας, αλλά και αφετέρου να περισώζει όσον το δυνατόν περισσότερο τη γνωστή μαθηματική δομή της κλασικής λογικής.

8. Έτσι, τα αίτια που έκαναν αναπόφευκτη την επέκταση της δίτιμης λογικής και οδήγησαν στη δημιουργία πλειό-τιμων λογικών όπως η Ασαφής Λογική (δηλ. σε λογικές με πάνω από δύο τιμές), ήταν κυρίως η ανάγκη μαθηματικοποίησης της φυσικής-καθομιλουμένης γλώσσας του ανθρώπου και της φυσικής ασάφειας που διέπει την ανθρώπινη νοημοσύνη-συμπεριφορά, καθώς και η αναγκαιότητα για μια πιο ρεαλιστική θεώρηση της έννοιας της αβεβαιότητας στην πράξη. • Στην Ασαφή Λογική λοιπόν εκτός των δύο τιμών αληθείας 0 και 1, έχουμε ως τιμή αλήθειας (αληθοτιμή) και κάθε αριθμό στο κλειστό απειρο-διάστημα [0,1].

9. 1.4. Ιστορική διαδρομή της Ασαφούς Λογικής • Από την αρχαιότητα ακόμη ήταν γνωστές οι ατέλειες της Δίτιμης Λογικής όπως π.χ. τα ιστορικά λογικά παράδοξα των Σοφιστών (Ζήνων-Επιμενίδης, κλπ), αλλά και οι σύγχρονες επιστημονικές θεωρήσεις όπως η Αρχή της Αβεβαιότητας του WernerHeisenberg είτε η Θεωρία Σχετικότητας του AlbertEinstein, οδήγησαν στην ανάπτυξη της Πλειότιμης (Πολύτιμης δηλ. με πολλές τιμές) Λογικής στις δεκαετίες του 1920-1930 και τελικά στη δημιουργία τηςσύγχρονης Ασαφούς Λογικής. • Πιο συγκεκριμένα, από τις αρχές του 20ου αιώνα ο Άγγλος φιλόσοφος και μαθηματικός BertrandRussel πρόβαλλε τις αντιφάσεις της Δίτιμης Λογικής (που από τον 19ο αιώνα είχε ήδη θεμελιωθεί ως η απόλυτη κλασική Συνολοθεωρία από τον Γερμανό μαθηματικό GeorgCantor). • Λίγο μετά το 1920, πρώτος ο Πολωνός μαθηματικός Jan Lukasiewisczανέπτυξε ένα μη-δίτιμοαλλά τρί-τιμο λογικό σύστημα με πεδίο τιμών 3 αληθοτιμές, δηλ. που μπορεί να εκφράζει 3 λογικές καταστάσεις-τιμές όπως π.χ. ένα ποτήρι άδειο (0), μισογεμάτο ή μισοάδειο (1/2), και γεμάτο (1). • Λίγο αργότερα (1937) ο Αμερικανός φιλόσοφος και κβαντικός φυσικός Max Black συμπλήρωσε αυτή τη θεωρία και έθεσε τις φιλοσοφικές βάσεις για τα ασαφή σύνολα.

10. Τελικά το 1965, ο Lotfi Zadeh(Αμερικανός μηχανικός, Ρωσο-περσικής καταγωγής, Καθηγητής του Παν/μίου Berkeley της Καλιφόρνιας), δημοσίευσε την εμπνευσμένη εργασία του με τίτλο “Fuzzy Sets-Ασαφή Σύνολα”, όπου εισήγαγε για πρώτη φορά την έννοια του Ασαφούς Συνόλου με πεδίο αληθοτιμών το απειροδιάστημα [0,1] και τον όρο fuzzy στη διεθνή βιβλιογραφία, ανοίγοντας παράλληλα το δρόμο και για τις πρακτικές εφαρμογές της (αρχικά στη ψυχολογία, κοινωνιολογία, φιλοσοφία, κτλ). • Μετά την αρχική δυσπιστία και τις πρώτες φυσιολογικές αμφισβητήσεις της νέας Θεωρίας, σύντομα ακολούθησαν και οι τεχνολογικές εφαρμογές της Ασαφούς Λογικής, κυρίως στα δυναμικά μη-γραμμικά συστήματα ελέγχου (non-linear control systems), όπου συνήθως τα συμβατικά μαθηματικά μοντέλα δεν ισχύουν πια. • Ένας από τους πρώτους που χρησιμοποίησε την Ασαφή Λογική για την κατασκευή ενός Ασαφούς Συστήματος Ελέγχου στη λειτουργία μιας ατμομηχανής, ήταν ο Βρετανός μηχανικός Ebrahim Mamdani κατά τη δεκαετία του 1970. Ακολούθησαν το 1978 στη Δανία οι P. Hoenblad και Jens-Jorgen Ostergaard που κατάφεραν και έφτιαξαν το πρώτο ασαφές σύστημα αυτόματου ελέγχου για τη διαδικασία παραγωγής τσιμέντου.

11. 1.5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ της ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Σήμερα είναι πολυάριθμες σε όλο τον κόσμο οι Τεχνολογικές και Θεωρητικές εφαρμογές της Ασαφούς Λογικής. Μια σημαντική εφαρμογή είναι το σύστημα αυτομάτου ελέγχου του μετρό της Ιαπωνικής πόλης Sendai των Miyamoto & Yasonubu. Το μετρό αυτό λειτούργησε γύρω στο 1987, και είναι το πιο απαλό και ήπιο στην κίνηση μετρό του κόσμου! ενώ εξοικονομεί ενέργεια και μειώνει το κόστος κατά 10 έως 25%. Σήμερα έχει κυριολεκτικά πλημμυρίσει η αγορά με συσκευές που ενσωματώνουν ασαφείς ελεγκτές (πλυντήρια, ψυγεία, κλιματιστικά, κιβώτια ταχυτήτων, ABS, κλπ), όπως και ασαφείς ελεγκτές μη-επανδρωμένων οχημάτων-αεροσκαφών, λειτουργίας τσιμεντοβιομηχανιών, βιντεοκαμερών, ρομπότ, ιατρικής διάγνωσης, αναισθησίας, χειρουργικής, κτλ. Τέλος, δεν υπάρχει ίσως επιστημονικός κλάδος σήμερα που να μην επεκτείνεται ραγδαία σε έννοιες και εφαρμογές της Ασαφούς Λογικής, όπως: Μαθηματικά (ασαφής Άλγεβρα ή Τοπολογία, ασαφείς Πιθανότητες), Οικονομία, Στατιστική, Φιλοσοφία, Σεισμολογία, Ιατρική, Ρομποτική, Βιολογία, Ψυχολογία, Οικολογία, Διαστημική, Κοινωνιολογία, Πυρηνική, Γενετική, κτλ.

12. Η εισαγωγή της Ασαφούς Λογικής και η σύλληψη της σχετικά απλής ιδέας του Ασαφούς Συνόλου έγινε από τον Περσικής καταγωγής, Αμερικανό Καθηγητή Lotfi Zadeh. ένα βράδυ του Ιούλη του 1964 στην Νέα Υόρκη και δημοσιεύθηκε στη διάσημη πια εργασία του το 1965, (Βλ. Fuzzy Sets,Information and Control, 8 (1965) 338–353). .Ο Zadeh γεννήθηκε το 1921 στο Baku του τότε Σοβιετικού Αζερμπαϊτζάν. Το 1931 η οικογένειά του μετακόμισε στην Τεχεράνη και το 1943 πτυχιούχος μηχανικός ήδη στις ΗΠΑ. Πήρε το Masters degree από το ΜΙΤ το 1944 και το διδακτορικό του από το Columbia το 1949. LotfiA. Zadeh Περσο-Αμερικανός Μηχανικός Θεμελιωτής της Ασαφούς Λογικής

13. 1.6. Η Ασαφής Λογική βασίζεται στην επέκταση της έννοιας του κλασικού συνόλου που ορίζεται στο δίτιμο σύνολο {0,1} , στη γενικευμένη έννοια του ασαφούς συνόλου που ορίζεται στο κλειστό απειροδιάστημα [0,1]. • Ως γνωστόν, σκοπός του δίτιμουκλασικού συνόλου είναι να παραστήσει μαθηματικά, δηλ. να εκφράσει συμβολικά κάποια δίτιμη λογική έννοια, π.χ. Ηέννοια «οι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεταξύ 2 και 6», μπορεί να παρασταθεί με το σύνολο , όπου Ζ συμβολίζει το σύνολο των ακεραίων. Έτσι πρώτα χρειαζόμαστε ένα σύνολο αναφοράς ή σύμπαν που περιέχει όλα τα στοιχεία τα σχετικά με την έννοια που θέλουμε να εκπροσωπήσουμε μέσω του συνόλου Α, (όπως εδώ όπου το σύνολο αναφοράς είναι το Ζ). • Είναι γνωστό επίσης, ότι γενικά ένα δίτιμο σύνολο Αως προς σύνολο αναφοράς Χ, μπορεί να παρασταθεί ισοδύναμα μέσω της χαρακτηριστικής (ή δείκτριας) συνάρτησής του ΙΑ, δηλαδή δηλ.

14. Συνεπώς στα γνωστά κλασικά σύνολα, το αν ανήκει ή δεν ανήκει κάποιο στοιχείο xτου σύμπαντος Xστο σύνολο A, είναι απολύτως σαφές και έτσι κάθε κλασικό σύνολο Aδιαχωρίζει τα στοιχεία του σύμπαντος Xσε δύο διακεκριμένες κατηγορίες: • στην κατηγορία με τα στοιχεία του X που ανήκουν στο A, και • στην κατηγορία με τα στοιχεία του Xπου δεν ανήκουν στο A. Όμως, αν επιχειρούσαμε να εκφράσουμε μαθηματικά μέσω του παραπάνω κλασικού δίτιμου συνόλου, μια απλή καθημερινή λεκτική φράση της μορφής «ήταν καμιά δεκαριά φοιτητές», θα ήταν αδύνατον, αφού μια τέτοια καθημερινή μεν αλλά αόριστη-ασαφής έννοια δεν μπορεί να διαχωρίσει σαφώς το σύνολο αναφοράς των ακεραίων Ζ σε δύο καθαρές κατηγορίες στοιχείων (σε αυτά που ανήκουν, και σε αυτά που δεν ανήκουν στο Ζ), δεδομένου ότι η έννοια «καμιά δεκαριά» δηλ. «περίπου δέκα» δεν έχει ξεκάθαρα-σαφή όρια, όπως απαιτούν τα κλασικά δίτιμα μαθηματικά.

15. Έτσι για την αντιμετώπιση τέτοιων γλωσσικών ασαφών εκφράσεων, το Ασαφές Σύνολο επεκτείνει την έννοια ενός δίτιμου συνόλου μέσω της συνάρτησης συμμετοχής, δηλ. • Στην ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ η τιμή αλήθειας μιας πρότασης δεν παίρνει μόνον μία από τις δύο τιμές 0 ή 1, αλλά μπορεί να παίρνει και οποιαδήποτε τιμή μεταξύ 0 και 1, οπότε μια πρόταση που δεν είναι αληθής δεν σημαίνει αναγκαία ότι είναι ψευδής, αλλά μπορεί να είναι μερικά αληθής και μερικά ψευδής-όπως ένα μισογεμάτο ποτήρι. • Στην ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ δεν ισχύει η Αρχή της Αποκλείσεως του Τρίτου που ισχύει στην Κλασική Δίτιμη Λογική.

16. 2. ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ2.1.Βασικές έννοιες-ορισμοί • Η Ασαφής Λογική βασίζεται στην επέκταση της έννοιας του Δίτιμου Συνόλου(1), στη γενικευμένη έννοια του Ασαφούς Συνόλου(2):

17. 2.2. Σύγκριση κλασικού και ασαφούς συνόλου

18. 2.3. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΣΥΝΗΘΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΑΞΗ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ:Α-Τριγωνικού, Β-Τραπεζοειδούς και Γ-καμπανοειδούς,που εκφράζουν την ίδια ασαφή έννοια, «x περίπου 55»,π.χ. “όριο ταχύτητας 55 km/h»

19. 2.4. Ερμηνεία των Ασαφών ΣυνόλωνΗ «Αντικειμενική Υποκειμενικότητα» των Ασαφών Συνόλων • Η συνάρτηση συμμετοχής ενός α.σ. μπορεί να εκφράσει υποκειμενικές απόψεις για την ίδια έννοια, σε αντίθεση με τη χαρακτηριστική συνάρτηση ενός κλασικού συνόλου που εκφράζει μια απόλυτη, οριστική έννοια, ανεξάρτητη από παρατηρητές (με την έννοια ότι όλοι οι παρατηρητές θα εξέφραζαν με τον ίδιο τρόπο μια απόλυτη έννοια). π.χ. για το α.σ. Α={x είναι περίπου 2}, η μορφή του εξαρτάται από το «μάτι» του παρατηρητή, οπότε μπορεί να έχουμε διαφορετικές συναρτήσεις συμμετοχής που να εκφράζουν την ίδια ασαφή έννοια Α. • Αντίθετα, το κλασικό σύνολο, π.χ. εκφράζει μια απόλυτη έννοια και η σημασία του είναι ανεξάρτητη από υποκειμενικές ερμηνείες.

20. Tέσσερα διαφορετικά ασαφή σύνολα, που εκφράζουν την ίδια ασαφή έννοια: Α={x είναι περίπου 2}.H ίδια ασαφής έννοια μπορεί να εκφράζεται από πολλά και διαφορετικά ασαφή σύνολα-(α.σ.), σε αντίθεση με τα κλασικά σύνολα.Η επιλογή του κατάλληλου α.σ. είναι γενικά υποκειμενική. Δηλ. τα α.σ. μπορούν να εκφράζουν υποκειμενικές απόψεις με «αντικειμενικό-μαθηματικό» τρόπο, αφού τα όρια ενός α.σ. είναι ασαφή και εξαρτώνται τελικά από την κρίση του παρατηρητή.

21. Διάφοροι γενικοί τύποι Ασαφών Συνόλων

22. 2.5. Βασικά χαρακτηριστικά των ασαφών συνόλων 1)α-διατομή (α-cut) ενός ασαφούς συνόλου A (ως προς σύμπαν X), ονομάζεται το δίτιμο σύνολο, που ορίζεται ως εξής: 2)Θεώρημα Aναπαράστασης: όπου

23. 3.1. Ασαφείς ΑριθμοίΑσαφής Αριθμητική • Ένας ασαφής αριθμός Μ, ορίζεται γενικά ως ένα ειδικό ασαφές σύνολοως προς , να είναι: έτσι ώστε (i) κανονικό, (δηλ. (ii) κυρτό, (δηλ. όλες οι α-διατομές αυτού, είναι συνήθη κλειστά διαστήματα), και (iii) συνεχής κατά τμήματα συνάρτηση.

24. Τα παρακάτω ασαφή σύνολα A και B δεν είναι Ασαφείς Αριθμοί, ενώ το C είναι.

25. Σύγκριση ενός κλασικού πραγματικού αριθμού 3 , (βλ. (a))και του ασαφούς αριθμού «περίπου 3» , ((c) -Τριγωνικός), καθώς και ενός κλασικού διαστήματος [2,4], (βλ. (b)) έναντι του ασαφούς διαστήματος «περίπου [2,4]» , (βλ. (d), Τραπεζοειδής).

26. Παραδείγματα 6 ασαφών αριθμών A,B,C,D,E,F, που εκφράζουν την ίδια ασαφή έννοια: «x είναι περίπου ένα»

27. Αν και είναι δύο ασαφείς αριθμοί με αντίστοιχες α-διατομές τότε γενικά: και , όπου είναι μια από τις 4 βασικές Ασαφείς Αριθμητικές Πράξεις (ασαφής πρόσθεση-αφαίρεση-πολλαπλοσιασμός-διαίρεση). Δηλ. η άλγεβρα των ασαφών αριθμών γίνεταιμέσω των α-διατομών τους και του Θεωρήματος Αναπαράστασης, οπότε η Ασαφής Αριθμητική μετατρέπεται τελικά στην καλά γνωστή αριθμητική των κλασικών διαστημάτων.

28. 3.2. Τριγωνικοί Ασαφείς Αριθμοί(Triangular Fuzzy Numbers-TFN) • Στις εφαρμογές της Ασαφούς Λογικής, συνήθως χρησιμοποιούνται πιο απλοί ασαφείς αριθμοί, όπως οι LR-ασαφείς αριθμοί, οι τριγωνικοί και οι τραπεζοειδείς. • Ιδιαίτερα οι απλούστεροι Τριγωνικοί Ασαφείς Αριθμοί (TFN) μπορούν να εκφραστούν πλήρως από μια τριάδα και έχουν γενικά γραμμικό (τριγωνικό) γράφημα, της ακόλουθης μορφής:

29. όπου, και

30. 3.3. Οι Ασαφείς Αριθμητικές Πράξεις των TFN Ειδικά, αν και είναι θετικοί TFN, δηλ. τότε οι 4 Ασαφείς βασικές Αριθμητικές Πράξεις, απλοποιούνται, ως εξής:

31. 4. ΑΣΑΦΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ • Τα συνήθη κλασικά διαστήματα της δίτιμης παραδοσιακής λογικής, που παριστάνονται μέσω ενός ανώτερου και ενός κατώτερου αριθμητικού ορίου - όπου εμπερικλείεται η υποτιθέμενη ακριβής τιμή, δεν έχουν τη δυνατότητα να εκφράσουν συνορεύουσες μεταβατικές αβέβαιες καταστάσεις, αφού τα κλασικά διαστήματα διαμερίζονται πάντα μεταξύ τους με απόλυτα-ξεκάθαρα σύνορα, με συνέπεια να αγνοούνται και να χάνονται σημαντικότατες πληροφορίες και υπολογισμοί κατά τη μεταβατική συνύπαρξη των διαφόρων ασαφών καταστάσεων, (βλ. επόμενο Σχήμα).

32. : Π.χ. Μια ασαφής-γλωσσική μεταβλητή A(x)=«Ηλικία»με 3 λεκτικές τιμές-ασαφή σύνολα {A1=Νέος, A2=Μεσήλικας, A3=Ηλικιωμένος}, που διαμερίζει την «Ηλικία» των ανθρώπων, κατά μία (υποκειμενική) άποψη.

33. 4.1. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΣΑΦΟΥΣ & ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ • Η σημαντικότητα των γλωσσικών (ασαφών) μεταβλητών έγκειται στο ότι διευκολύνουν βαθμιαίες μεταβάσεις μεταξύ διαφορετικών ασαφών καταστάσεων, μέσω των οριακών επικαλύψεων-overlaps (Ασαφής Διαμέριση) και συνεπώς έχουν τη φυσική ικανότητα να εκφράζουν και να αποδίδουν καλύτερα την αβεβαιότητα ή την υποκειμενικότητα, συγκριτικά με τις κλασικές μεταβλητές που δεν έχουν προφανώς αυτή την ικανότητα. • Αντίθετα στις κλασικές μεταβλητές, οι διαδοχικά ασαφείς και φυσικά αλληλοεπικαλυπτόμενες μεταβατικές καταστάσεις (πολύ χαμηλή θερμοκρασία, χαμηλή, μέτρια, κτλ), εκλαμβάνονται από τα κλασικά σύνολα ως αυστηρά διαχωρισμένες μεταξύ τους καταστάσεις σε ένα συγκεκριμένο σημείο, μέσω μιας απόλυτης (ασπρόμαυρης) δίτιμης- κλασικής διαμέρισης. Πράγμα προφανώς που δεν εκφράζει τη συνεχώς αλληλομεταβαλλόμενη πραγματικότητα.

34. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, π.χ. «Θερμοκρασία στην περιοχή [Τ1,Τ2]», που εκφράζεται: (a) ως ΑΣΑΦΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ-ασαφής διαμέριση, (μέσω ασαφών αριθμών) και (b) ως ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ-κλασική διαμέριση, (μέσω συνήθων αριθμών).

35. 5. Ασαφή Συστήματα (Fuzzy Systems) • Ένα Ασαφές Σύστημα είναι ένας μη-γραμμικός μετασχηματισμός F, που αντιστοιχίζει μια Είσοδο-Γλωσσική (Ασαφή) Μεταβλητή Χ, σε μια Έξοδο-Γλωσσική (Ασαφή) Μεταβλητή Υ, δηλ. , είτε, • Ασαφές Σύστημα είναι ένα σύνολο από “If-Then” ασαφείς κανόνες, που αντιστοιχίζουν ασαφή σύνολα-εισόδους, σε ασαφή σύνολα-εξόδους. • Πιο συγκεκριμένα: Ένα fuzzy σύστημα F αντιστοιχίζει μια ασαφή μεταβλητή είσοδο Χ (με τιμές λέξεις-ασαφή σύνολα) σε μια ασαφή μεταβλητή έξοδο Υ (με τιμές λέξεις-ασαφή σύνολα).

36. Τα ασαφή συστήματα βασίζονται σε ασαφείς κανόνες που είναι γλωσσικές εκφράσεις, όπως π.χ. στο fuzzy πλυντήριο: «If (το απόνερο του πλυντηρίου είναι ακάθαρτο)- Then (πρόσθεσε περισσότερο απορρυπαντικό)», ή «If (το απόνερο του πλυντηρίου είναι πολύ ακάθαρτο)- Then (πρόσθεσε πολύ περισσότερο απορρυπαντικό)». Έτσι, οι συνήθεις λέξεις αντιστοιχούν σε ασαφή σύνολα, ως εξής: η λέξη «απόνερο» πλυντηρίου μπορεί να θεωρηθεί ως υποσύνολο της λέξης «νερό». Το «απόνερο» μπορεί να θεωρηθεί ως ασαφές σύνολο με αόριστα όρια (όπως καθαρό-ακάθαρτο-πολύ ακάθαρτο, κτλ) ή ως κλασικό σύνολο με καθορισμένα όρια. Στην πρώτη περίπτωση τα επίθετα, «καθαρό-ακάθαρτο-πολύ ακάθαρτο, κτλ», είναι fuzzy υποσύνολα του «απόνερου», όπως αντίστοιχα είναι επίσης fuzzy υποσύνολα της ποσότητας του απορρυπαντικού το «λιγότερο ή περισσότερο απορρυπαντικό».

37. Το διάγραμμα λειτουργίας ενός Ασαφούς Συστήματος με m ασαφείς κανόνες

38. Το διάγραμμα λειτουργίας ενός Ασαφούς Συστήματος με m ασαφείς κανόνες • Κατά τη λειτουργία ενός συνήθους Ασαφούς Συστήματος, με m ασαφείς κανόνες της μορφής “IF -THEN” , αντιστοιχίζονται ασαφή σύνολα της εισόδου σε ασαφή σύνολα της εξόδου, οπότε δημιουργούνται παράλληλα «ασαφείς χώροι-μπαλώματα» . • Για κάθε είσοδο, ενεργοποιούνται ορισμένοι από τους ασαφείς κανόνες, σχηματίζοντας μια ασαφή έξοδο, οπότε με αποασαφοποίηση (defuzzification) του ασαφούς συνόλου-εξόδου, παίρνουμε συνήθως στις εφαρμογές ως τελική έξοδο του Ασαφούς Συστήματος κάποιον πραγματικό αριθμό .

39. Το διάγραμμα λειτουργίας ενός Ασαφούς Συστήματος με m=3 ασαφείς κανόνες

40. Το διάγραμμα λειτουργίας ενός Ασαφούς Συστήματος με m ασαφείς κανόνες

41. Ένα Ασαφές Σύστημα είναι ουσιαστικά ένα σύνολο από συνήθεις γλωσσικούς κανόνες της μορφής: «Αν συμβαίνει το Α από το Χ, Τότε θα συμβαίνει το Β από το Υ»,που αντιστοιχίζουν γλωσσικές-ασαφείς έννοιες Α και Β, σύμφωνα με τη φυσική γλώσσα και την κοινή λογική, π.χ. «Αν κάνει κρύο, Τότε air condition στο ζεστό», ή «Αν κάνει πολύ κρύο, Τότε air condition στο πολύ ζεστό», είτε «Αν βρέχει πολύ και ορατότητα μικρή, Τότε χαμηλότερη ταχύτητα στο αυτοκίνητο» , κτλ. Δηλ. στην ουσία τα Ασαφή Συστήματα όπως και η Ασαφής Λογική γενικά, στοχεύουν ώστε να ενσωματώσουν οι «μηχανές» και τα μαθηματικά, τον τρόπο έκφρασης της καθημερινής φυσικής γλώσσας και τη νοοτροπία της κοινής λογικής των ανθρώπων. Σημειωτέον ότι τα μαθηματικά και κατά συνέπεια και οι «μηχανές» λειτουργούν κατά βάση μέχρι σήμερα, με τη δίτιμη (ασπρόμαυρη, 0-1) λογική της Άλγεβρας Boole.