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Sistemas sencillos II

m 1. . R e. m 2. Sistemas sencillos II. Rotor rígido lineal.

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Sistemas sencillos II

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Presentation Transcript

  1. m1  Re m2 Sistemas sencillos II Rotor rígido lineal El modelo del rotor rígido lineal corresponde al movimiento de rotación de un sistema compuesto de dos partículas de masas m1 y m2 separadas por una distancia fija Re . Esta rotación se produce respecto al centro de masas del sistema. Cambio de variable Masa reducida Modelo de partícula en la superficie de una esfera Coordenadas esféricas

  2. Sistemas sencillos II Rotor rígido lineal Momento de inercia Solución Particular: Armónicos Esféricos Dos números cuánticos (en el caso del átomo hidrogenoide eran l y ml) Los estados son 2J+1 degenerados Constante Rotacional Se utiliza para describir el movimiento de rotación de moléculas diatómicas Se puede generalizar a moléculas poliatómicas rígidas mediante la rotación cuantizada respecto a los tres ejes de inercia

  3. Coordenadas Esféricas Es importante para lo que sigue, conocer la forma del Laplaciano en coordenadas esféricas 1 FQMB-2006 Tema 6

  4. El rotor rígido • Vimos que podemos separar el centro de masas del sistema de su movimiento relativo interno • El movimiento del centro de masas puede describirse como el de una partícula libre o una partícula en una caja si el sistema está confinado de alguna manera • El movimiento relativo de las dos masas unidas por el resorte lo podemos describir recurriendo al modelo del oscilador armónico, lo que resulta en la existencia de una energía vibracional cuantizada • El movimiento de vibración en la molécula diatómica se realiza en la dirección del enlace entra los átomos • El eje en sí mismo, sin embaro, puede rotar en el espacio FQMB-2006 Tema 6

  5. El rotor rígido • Consideremos la mismamolécula diatómica de la quehablamos antes, con masasatómicas m1y m2, separadaspor una cierta distancia r y con distancias respectivas asu centro de masas dadas porr1y r2, tal quer = r1 + r2 • Dado que asumiremos que r es fijo, este modelo se llama modelo de rotor rígido y es sólo una aproximación FQMB-2006 Tema 6

  6. El rotor rígido • La molécula diatómica nomantiene fijo el valor de ladistancia interatómica, sinoque este oscila por la vibraciónmolecular • Sin embargo, el tamaño deldesplazamiento en función dela longitud del enlace es normalmente muy pequeño(a menos que nos encontremosen un estado vibracional muy excitado, próximo al momento deruptura del enlace) por lo que los modelos desacoplados de oscilador armónico y rotor rígido son normalmente apropiados

  7. El rotor rígido • Supongamos que nrot, en ciclos por segundo, es la velocidad de rotación alrededor del centro de masas. • Las velocidades respectivas de las masas seránv1 = 2p r1nrot= r1wrot v2 = 2p r2nrot= r2wrot(1)donde w es la velocidad angular en radianes por segundo • La energía cinética total del sistema seráK = ½(m1v12 + m2v22) = ½(m1r12 + m2r22)w2 = ½ I w2(2)donde I es el momento de inercia

  8. El rotor rígido • Ahora bien, sabemos que, por definición, el centro de masas está localizado dondem1r1 = m2r2(3) • Podemos entonces escribir I = mr2(4)lo que introduce la masa reducida en el problema • Lo que nos queda es que el problema de dos masas rotando alrededor del centro de masas es equivalente a una masa reducida rotando a una distancia r fija de un cierto centro FQMB-2006 Tema 6

  9. El rotor rígido clásico • Dado entonces que este problema es análogo al otro, tendremos que el momento angular L quedará definido comoL = Iw(5) • La energía cinética del sistema seráK = L2 / 2I (6) • La energía potencial del sistema será cero porque en ausencia de campos eléctricos o magnéticos, la energía no depende de la dirección que adopte el eje de la molécula en el espacio.

  10. El rotor rígido cuántico • El rotor rígido es un modelo que nos sirve para explicar la rotación en el espacio de un sistema molecular, como, por ejemplo, una molécula diatómica FQMB-2006 Tema 6

  11. ћ2 ___ - 2m El rotor rígido cuántico • Dado que no tenemos energía potencial, la ES para este sistema será simplemente • Aquí hemos usado directamente el operador Laplaciano, en lugar de simplemente la derivada segunda, porque este es un sistema que tiene simetría esférica, por lo que nos será mas conveniente usar la expresión que ya vimos en coordenadas esféricas, mejor que la expresión en coordenadas cartesianas (7) 2Y(x) = E Y(x) FQMB-2006 Tema 6

  12. El rotor rígido cuántico • El operador Laplaciano en coordenadas esféricas es • Pero ya dijimos que la distancia r entre las dos masas es fija, por lo que desaparece el término de derivación respecto a r FQMB-2006 Tema 6

  13. 1 ћ2 ћ2 2 1 1 1    2  q _____ _____ _____ _____ ___ ___ __ __ __ __ __ __ - - sen2q sen2q senq senq 2mr2 f2 q q 2I f2 q El rotor rígido cuántico • Consecuentemente, vamos a poder escribir H = • Podemos simplificar esta expresión teniendo en cuenta la fórmula para el momento de inerciaH= • La solución de este problema seráH Y(q,f) = E Y(q,f) (10) (8) (senq ( ) + ) (9) (senq ( ) + ) FQMB-2006 Tema 6

  14. 2Y Y  __ __ __ f2 q q Los armónicos esféricos • Las funciones Y(q,f) se llaman armónicos esféricos • Multiplicando la ecuación de Schrödinger por sen2q vemos que la forma de la ecuación diferencial que tenemos que resolver en este caso esdondeb = 2IE/ ћ2 + (b sen2q)Y = 0 (senq ) + senq FQMB-2006 Tema 6

  15. ћ2 ___ 2I La energía del rotor rígido • La solución de la ecuación diferencial arroja que se debe cumplir la condición de cuantizaciónb = J(J+1) (11)donde J es el número cuántico rotacional que puede tomar valores enteros desde cero en adelante. • Reconstruyendo la expresión para la energía tenemosEJ= J (J +1) (12)J = 0, 1, 2, ... FQMB-2006 Tema 6

  16. La energía del rotor rígido • Algo importante que no habíamos encontrado antes, es que en el caso del rotor rígido los niveles energéticos están degenerados • Aunque no profundizaremos aquí sobre ello, lo que encontramos es que hay gJ = 2J+1 funciones que tienen la misma energía • gJ es la degeneración del nivel rotacional y toma valores 1, 3, 5, 7, etc • En los números anteriores reconoceremos mas adelante el número de orbitales s, p, d, f de un átomo y, en otro contexto, la degeneración de las funciones de onda (singulete, triplete, etc) FQMB-2006 Tema 6

  17. La molécula diatómica • Si, al igual que hicimos en el caso de la vibración, calculamos la energía asociada a las transicionesDJ = ± 1 (13)tendremosDE = ћ2(J+1) / I (14) (nobs = h (J+1) / 4p2 I (15) • Esto implica que si medimos las frecuencias de rotación podemos obtener experimentalmente la geometría molecular! FQMB-2006 Tema 6

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